初中数学人教版八年级下册16.2 二次根式的乘除第2课时教案设计

16.2 二次根式的乘除
第2课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.会进行简单的二次根式的除法运算.

2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.

3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

【过程与方法】

1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.

2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.

【情感态度与价值观】

在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.

二、课型

新授课

三、课时

第2课时 共2课时

四、教学重难点

【教学重点】 

会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.

【教学难点】 

二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺等.

学生：三角尺、铅笔.

六、教学过程

（一）导入新课（出示课件2-3）

站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为d=8 .

问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即时，他看到的水平线的距离d1是多少？

学生答：d1=8=16

问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？

学生答：d1=8=16

问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？

解：

教师提出问题：乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？除法有没有类似的法则？

（二）探索新知

1.探究二次根式的除法（出示课件5）

教师依次出示下列问题：

计算下列各式：

（1） =___÷___=__;=_____;

（2） =___÷___=__;=______;

（3） =___÷___=__;=_______;

学生依次解答如下：

学生1答：（1） =2÷3=;=;

学生2答：（2） =4÷5=;=;

学生3答：（3） =6÷7=;=;

教师问： 观察两者有什么关系？

出示课件6： 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：

依次展示学生答案：

学生1答：（1） =;

学生2答：（2） =;

学生3答：（3） =

教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？（出示课件7）

学生回答： =

教师问：在前面发现的规律 = 中，a,b的取值范围有没有限制呢？

学生讨论回答：a≥0，b＞0

师生一起归纳总结：（出示课件8）

二次根式的除法法则:

=（a≥0，b＞0）

教师问：你能利用文字描述二次根式的除法法则吗？

学生答：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.

教师追问：当二次根式根号外的因数(式)不为1时，如何处理呢？

学生答：类比单项式除以单项式法则进行化简.

教师总结如下：

文字叙述:

算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.

当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得 =（a≥0，b＞0,n≠0）

考点1：利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根式

计算：（出示课件9）

（1）;（2）;

师生共同讨论解答如下：

解：（1） ==;

（2）=;

教师追问：像（2）除式中有分数或分式时，如何化简呢？

学生答：先要转化为乘法再进行运算.

出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正.

考点2：利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次根式

计算: （出示课件11）

（1）;（2）2;

学生独立思考后，师生共同解答.

解：（1） =;

（2）2=;

教师问：类似（2）中被开方数中含有带分数的怎样计算呢？

学生答：应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.

出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正.

2.探究商的算术平方根的性质

从前面知识点1的题目我们可以得到下面三个等式：

（1） ;

（2） ;

（3） .

教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？

学生回答:.

教师问：在前面发现的规律 中，a,b的取值范围有没有限制呢？

学生回答：a≥0，b＞0

师生一起归纳总结：（出示课件13）

二次根式的商的算术平方根的性质:

（a≥0，b＞0）

教师问：你能利用语言描述商的算术平方根的性质吗？

学生答:商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

考点1：商的算术平方根的性质的应用

化简:（出示课件14-15）

（1） ;（2） ; （3） ;

（4） (x>0); （5） .

学生独立思考后，师生共同解答.

展示学生答案如下：

学生1解：（1） =;

学生2解：（2） =;

学生3补充解法： =.

学生4解：（3） = =;

学生5解：（4） ==;

学生6解：（5） = =.

教师问：像（5）可以如何计算的呢？

学生答：可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根性质.

出示课件16，学生自主练习，教师给出答案。

3.出示课件17，探究最简二次根式的定义

教师依次展示下列问题：

计算：（1）;（2） ;（3）

学生讨论后分别解答：

学生1解：（1）==;

学生2解：（2） ===;

学生3解：（3） =

教师问：观察上面各小题计算的最后结果并思考：

（1）你觉得这些结果能否再化简，它们是否已经最简了？

学生回答：是最简.

（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？

教师引导学生归纳总结（出示课件19）

最简二次根式应满足的条件：

(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式；

(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式.

教师强调：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简二次根式.

考点1：分母有理化

计算:（出示课件20）

（1）;（2） ;（3）

学生独立思考后，师生共同解答.

解：（1）=;

（2） ===;

（3） =

总结点拨：

分母形如的式子，分子、分母同乘以可使分母不含根号.

方法点拨：（出示课件21）

师生总结归纳：化成最简二次根式的一般方法:

(1)将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行开方,如 =;

(2)若被开方数中含有带分数,应先将带分数化成假分数,再去分母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如 = = 

(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进行化简,如 = =   .

出示课件22，学生自主练习，教师给出答案。

4.二次根式的应用

设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=2，b=，求a的值.（出示课件20）

学生独立思考后，师生共同解答.

解：∵S=ab,

∴a= ===;

出示课件24，学生自主练习，教师给出答案。

教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧。

（三）课堂练习（出示课件25-29）

练习课件第19-23页题目，约用时20分钟.

（四）课堂小结（出示课件30）

（五）课前预习

预习下节课（16.3第1课时）的相关内容.

知道二次根式加减运算的法则.

七、课后作业

教材第10页练习第1,2,3题.

八、板书设计

二次根式的乘除 第2课时

　1.二次根式的除法

　考点1　考点2

　2.商的算术平方根的性质

　考点1

　3.最简二次根式

  考点1

  4. 二次根式的应用

　5.练习

九、教学反思

成功之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,运用类比学习的方法探究得出二次根式的除法法则.在探究过程中注意观察知识产生、发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.

存在问题：由于本节课内容较多,练习量大,学生基本掌握了二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,但一些学生在计算时,没有把结果化成最简二次根式.

补救措施：在总结二次根式乘法一课的学习方法之后,进一步放手让学生自学本节内容,让学生观察、归纳出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质,重点进行计算练习,提高二次根式乘除运算的能力.