2023年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）第07讲 一元二次方程

第07讲  一元二次方程易错点梳理

易错点01  忽略一元二次方程中这一条件

在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。

易错点02  利用因式分解法解一元二次方程时出错

（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；

（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；

（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。

易错点03  利用公式法解方程时未将方程化为一般形式

在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定，然后再代入公式。

易错点04  根的判别式运用错误

运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定。

易错点05  列方程解应用题时找错等量关系

列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。

考向01  一元二次方程的有关概念

例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（    ）

A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2

例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）

A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0

考向02  一元二次方程的解法

例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ）

A． B． C． D．

例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程，配方后可形为（    ）

A． B．

C． D．

考向03  一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．实数根的个数由m的值确定

例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

考向04  列一元二次方程解应用题

例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．

（1）求该商品每次降价的百分率；

（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？

例题8：（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．

一、单选题

1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程，下列说法：

①若，则；

②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；

③若是方程的一个根，则一定有成立；

④若是一元二次方程的根，则．

其中正确的有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ）

A．0 B．±3 C．3 D．－3

3．（2021·广西玉林·一模）关于x的一元二次方程：的解与方程的解相同，则（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（2021·河南涧西·三模）定义，例如，若方程的一个根是，则此方程的另一个根是（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·广东·惠州一中一模）若，为方程的两根，则的值为（    ）

A．1 B． C． D．3

6．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）

A．2x2﹣4x+3＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．x2﹣2x＝0 D．3x2＝5x﹣2

7．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则的值为（    ）

A．3 B．2 C．2或 D．2或3

8．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线经过第一、三、四象限，则关于的方程实数解的个数是（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都有可能

9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（    ）

A．0.2% B．－2.2% C．20% D．220%

10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（    ）

A．50元 B．60元 C．70元 D．50元或70元

12．（2021·河北桥东·二模）若比与的积小1，则关于的值，下列说法正确的是（    ）

A．不存在这样的值 B．有两个相等的的值

C．有两个不相等的的值 D．无法确定

二、填空题

13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知是一元二次方程的解，则的值是___________．

14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a为一元二次方程的一个实数根，则______．

15．（2021·内蒙古包头·三模）已知是方程的解，求_____________．

16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x2＝x的解为 ___．

17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．

18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x的一元二次方程的根都是整数，则整数m的最大值是________．

三、解答题

19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．

（1）．   

（2）．

20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x(x﹣3)+x=3

21．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：

22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x2﹣2x，请按照下列要求分别求值：

（1）当x＝1时，代数式的值．

（2）当5x2﹣2x＝0时，求x的值．

23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于的一元二次方程有实数根．

（1）求的取值范围；

（2）取，用配方法解这个一元二次方程．

24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．

（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？

（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了%，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了%，黄冠梨的进价减少了%，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求的值．

25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为（元），日销售量为（个）．

（1）求与之间的函数关系式．

（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？

（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？