2023年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）第09讲 二次函数

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第09讲  二次函数易错点梳理 易错点01  忽略二次函数中这一隐含条件在根据二次函数的定义解题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数。易错点02  抛物线的平移错误牢记“自变量加减左右移，函数值加减上下移”进行平移。易错点03  利用二次函数解决实际问题时忽略自变量的取值范围利用二次函数解决实际问题时忽略自变量的取值范围内确定函数的最大（小）值。考向01  二次函数的有关概念例题1：（2021·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（    ）A． B．C． D．【答案】A【思路分析】先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【解析】解:当x=0时，y=5，∴C（0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y），∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，由，；∴对应的原抛物线上点的坐标为；代入原抛物线解析式可得：，∴新抛物线的解析式为：；故选：A．【点拨】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．例题2：（2021·四川乐山·中考真题）如图，已知，，，⊙P与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为（    ）A．4 B． C． D．5【答案】D【思路分析】在Rt△AOB中，由勾股定理求得；再求得直线AC的解析式为；设的半径为m，可得P（m，-m+6）；连接PB、PO、PC，根据求得m=1，即可得点P的坐标为（1，5）；再由抛物线过点P，由此即可求得．【解析】在Rt△AOB中，，，∴；∵，，∴OC=6，∴C（0，6）；∵，∴A（6，0）；设直线AC的解析式为，∴ ，解得，∴直线AC的解析式为；设⊙P的半径为m，∵⊙P与相切，∴点P的横坐标为m，∵点P在直线直线AC上，∴P（m，-m+6）；连接PB、PO、PA，∵⊙P与、均相切，∴△OBP边OB上的高为m，△AOB边AB上的高为m，∵P（m，-m+6）；∴△AOP边OA上的高为-m+6，∵，∴，解得m=1，∴P（1，5）；∵抛物线过点P，∴．故选D．【点拨】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出的半径是解决问题的关键．考向02  二次函数的图像与性质例题3：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…-10123…y…30-1m3…以下结论正确的是（    ）A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x增大而增大C．方程的根为0和2 D．当时，x的取值范围是【答案】C【思路分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．【解析】解：将代入抛物线的解析式得；，解得：，所以抛物线的解析式为：，A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；B、抛物线的对称轴为直线，在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意；C、方程的根为0和2，故选项正确，符合题意；D、当时，x的取值范围是或，故选项错误，不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答．例题4：（2021·广西河池·中考真题）二次函数的图象如图所示，下列说法中，错误的是（   ）A．对称轴是直线 B．当时，C． D．【答案】D【思路分析】由与x轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x=-1,判断选项C；令x=1,判断选项D,即可解答．【解析】解：A、对称轴为：直线 ，故选项A正确，不符合题意；B、由函数图象知，当-1<x<2时，函数图象在x轴的下方，∴当-1<x<2时，y<0，故选项B正确，不符合题意；C、由图可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，∴a +c=b，故选项C正确，不符合题意；D、由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0∴a+b<-c，故选项D错误，不符合题意；故选：D．【点拨】本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系．考向03  二次函数图像与系数的关系例题5：（2021·山东日照·中考真题）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【思路分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．【解析】解：①抛物线图象开口向上，，对称轴在直线轴左侧，，同号，，抛物线与轴交点在轴下方，，，故①正确．②，当时，由图象可得，当时，，由图象可得，，即，故②正确．③，，，点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，，故③错误．④抛物线的顶点坐标为，，，无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B．【点拨】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系．例题6：（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【思路分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可【解析】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上， ∴a＞0，∵抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n），∴对称轴x=，∴b=-2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间∴-3＜c＜-2＜0，∴0；故①正确；∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0），∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一个交点（-1，0），∵b=-2a∴c=，∴-3＜＜-2，∴﹣2＜b，故②错误；∵抛物线线x轴的一个交点（-1，0），∴a-b+c=0，∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正确；∵a＞0，∴-a＜0∵b=-2a∴3a+2b=-a＜0∴2c﹣a＞2（a+b+c），∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），∴a+b+c=n，∴2c﹣a＞2n；故④错误；故选：B【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．考向04  二次函数与一元二次方程例题7：（2021·山东滨州·中考真题）对于二次函数，有以下结论：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【思路分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解析】解：∵二次函数，∴该函数的对称轴为直线x=6，函数图象开口向上，当5＜x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y随x的增大而增大，故①不符合题意；当x=6时，y有最小值3，故②符合题意；当y=0时，无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意；图象是由抛物线向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意；故正确的是②，正确的个数是1，故选：A．【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．例题8：（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：①；②；③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；④若点，，均在二次函数图象上，则；⑤（m为任意实数）．其中正确的结论有（    ）
 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【思路分析】根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断．【解析】解：∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，∴当x=1时，，故结论①正确；根据函数图像可知，当，即，对称轴为，即，根据抛物线开口向上，得，∴，∴，即，故结论②正确；根据抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1，故结论③正确；根据函数图像可知：，故结论④错误；当时，，∴当时，，即，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故选：C．【点拨】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．考向05  二次函数的应用例题9：（2021·辽宁沈阳·中考真题）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．【答案】11【思路分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．【解析】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，则，所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，故答案为11．【点拨】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．例题10：（2021·湖北襄阳·中考真题）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______． 
 【答案】3【思路分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解．【解析】解：∵，∴当x=1时，，故答案是：3．【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．一、单选题1．（2021·河南安阳·模拟预测）若函数是关于x的二次函数，则m的值是（   ）A．2 B．或3 C．3 D．【答案】C【分析】∵函数是关于x的二次函数，∴，且，由得，或，由得，，∴m的值是3，故选：C．2．（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）抛物线y＝（x﹣5）2的顶点坐标是（　　）A．（0，﹣5） B．（﹣5，0） C．（0，5） D．（5，0）【答案】D【分析】解：抛物线y=（x-5）2的顶点坐标是（5，0）．故选：D．3．（2021·福建泉州·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，对称轴为，与轴的交点在和之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论：①抛物线与轴的另一个交点是；②点，，，在抛物线上，且满足，则；③常数项的取值范围是；④系数的取值范围是．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④【答案】D【分析】如图，抛物线与轴交于点，对称轴为，抛物线与轴的另一个交点是，所以①正确；抛物线与轴的交点在和之间（包含这两个点）运动，抛物线开口向下，，所以③正确；当时，随的增大而增大，当，；所以②错误；，，时，，即，，即，而，，，所以④正确．故选：D．4．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）若二次函数y＝（x+4）（x+a）+3（a＞0）的图象经过点A（﹣a，y1）、B（a+1，y2），则y1、y2的大小关系是（    ）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2【答案】B【分析】解：∵∴二次函数的对称轴的对称轴为，开口方向向上，∴点A到对称轴的距离为，点B到对称轴的距离为，∴，∴，∵，∴∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，∴，故选B.5．（2021·浙江·翠苑中学二模）直角坐标系中，一次函数的图象过点，且，与轴，轴分别交于，两点．设的面积为，则的最小值是（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】解：一次函数的图象过点，代入一次函数解析式得：，，，，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点坐标为：，，点的坐标为：，的面积为，；若，，，的最小值为：．故选：A．6．（2021·广东南沙·一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC、BC．已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H．当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（    ）A．h＞ B．0＜h≤ C．h＞2 D．0＜h＜2【答案】C【分析】解：对于抛物线，当时，，解得或，则，的面积为3，，即，解得，，将点代入抛物线解析式得：，解得，则抛物线的解析式为，将抛物线向左平移个单位所得抛物线为，当时，随的增大而增大，设直线的函数解析式，将点代入得：，解得，则直线的函数解析式，当直线与没有公共点时，则只需时，直线的函数值大于抛物线的函数值，即，解得，故选：C．7．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】解：把向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，抛物线解析式为，化简得故选A8．（2021·广东·佛山市华英学校一模）二次函数（，，为常数，且中的与的部分对应值如下表：013353下列结论：①该抛物线的开口向下；②该抛物线的顶点坐标为（1，5）；③当时，随的增大而减少；④3是方程的一个根，其中正确的个数为（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】解：①由表格数据可知，x=0和x=3的函数值都是3，∵二次函数的对称轴为直线x=（0+3）=1.5，从表格看，对称轴右侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向下，故①正确，符合题意；②抛物线的对称轴为直线x=1.5，故②错误，不符合题意；③由①知，x＞1.5时，y随x的增大而减小，故当x＞2时，y随x的增大而减小，正确，符合题意；④方程ax2+（b-1）x+c=0可化为方程ax2+bx+c=x，由表格数据可知，x=3时，y=3，则3是方程ax2+bx+c=x的一个根，从而也是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根，故本选项正确，符合题意；故选：B．9．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）已知点在抛物线上，当时，总有；当时，总有，则的值可以是（   ）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】解：抛物线，抛物线的顶点为，当时，总有，不可能大于0，则，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，当时，总有，当时，总有，且与关于 对称，时，，时，，，，，故选：．10．（2021·江苏吴江·二模）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，设菜园的对角线长为，面积为，则y与x的函数图像大致是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解：设矩形的长为am，宽为bm，由题意得：，∵菜园的对角线长为，∴，∴a2+（10-a）2=x2，
整理，得2a2-20a+100=x2，
易得≤x＜10，
∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴102=x2+2ab，∴，∴0≤y＜25，且x=时，y=25，∴y与x函数图象是二次函数的图象，即开口向下的抛物线；故选B．二、填空题11．（2021·广东海珠·一模）将长为的铁丝首尾相连围成扇形（忽略铁丝的粗细），扇形面积为、扇形半径为且，则与之间的函数关系式为__________．【答案】【分析】扇形的面积公式：，其中为扇形的弧长，为扇形半径，由题意得：扇形的弧长为，则，即，故答案为：．12．（2021·内蒙古赛罕·二模）对于二次函数，图象的对称轴为____________，当自变量x满足时，函数值y的取值范围为，则a的取值范围为________．【答案】直线        【分析】解：∵二次函数，∴对称轴为直线；∵，∴当 时，函数有最小值，最小值为 ，当 时，有，解得： ，∴如图所示，点A，B的坐标分别为，∴当时， ，∵时，函数值y的取值范围为，从图象中可得到时，．故答案为：直线；．13．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）二次函数的对称轴为____________．【答案】【分析】解：∵二次函数的对称轴为： ，∴二次函数的对称轴为 ．故答案为：．14．（2021·湖南怀化·三模）已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点．给出下列结论：①；②；③,是关于的一元二次方程的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）．【答案】①③【分析】解：∵抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点,∴ ,∴ ,故①正确．当a > 1时,则b、c均小于0,此时b+c<0,当a= 1时，b+c=0，不符合题意，当0 <a< 1时,则b、c均大于0,此时b+c>0,故②错误．∴关于的一元二次方程可以转化为：,则 或 ,故③正确．故答案为：①③15．（2021·山西实验中学模拟预测）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如表：x﹣2﹣1012y﹣9﹣4﹣10﹣1当x＝4时，对应的函数值y＝__．【答案】﹣9．【详解】【分析】解：由表格可得，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝＝1，∴x＝4和x＝﹣2时的函数值相等，∵x＝﹣2时，y＝﹣9，∴x＝4时，y＝﹣9，故答案为：﹣9．16．（2021·黑龙江道外·一模）二次函数y＝x2﹣2x＋m的最小值为2，则m的值为___．【答案】3【分析】解：y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，∵a＝1＞0，∴当x＝1时，y有最小值为m﹣1，∴m﹣1＝2，∴m＝3．故答案为：3．17．（2021·山东乳山·模拟预测）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…0123…y…30m3…对于下列结论：①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③方程的两根为0和2；④当时，x的取值范围是或．正确的是__________．【答案】③④【分析】解：设抛物线的解析式为，将、、代入得：，解得：，抛物线的解析式为，由知抛物线的开口向上，故①错误；抛物线的对称轴为直线，故②错误；当时，，解得或，方程的根为0和2，故③正确；当时，，解得或，故④正确；正确的是：③④．18．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）抛物线是由原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，则原抛物线解析式为______．【答案】【分析】∵抛物线是由原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到∴把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到原抛物线∴即故答案为：．19．（2021·山东·青岛大学附属中学二模）抛物线（为常数）与轴交点的个数是______．【答案】2个【分析】解：∵抛物线y=-2x2+2（k+1）x-k（k为常数），∴当y=0时，0=-2x2+2（k+1）x-k，∴△=[2（k+1）]2-4×（-2）×（-k）=4k2+4＞0，∴0=-2x2+2（k+1）x-k有两个不相等的实数根，∴抛物线y=-2x2+2（k+1）x-k（k为常数）与x轴有两个交点，故答案为：2个．20．（2021·江苏新吴·二模）如图，二次函数与一次函数的图像相交于点和，则使不等式成立的x的取值范围是__________．【答案】【分析】解：∵当-1 <x<5时，直线在抛物线的上方∴的解集为．故填．三、解答题21．（2021·广东·西南中学三模）某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图（2）所示．（其中图（1）的图象是直线，图（2）的图象是抛物线，其最低点坐标是（6，1））．（1）求每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式；（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益；（3）求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？【答案】（1）每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式为y＝﹣x+7；（2）5月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．【分析】解：（1）设每千克蔬菜销售单价与销售月份之间的关系式为，将和代入得，，解得：．每千克蔬菜销售单价与销售月份之间的关系式为；（2）设每千克成本与销售月份之间的关系式为：，把代入得：，解得．，即．∴收益，，当时，有最大值，．月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益：，当时，，解得：，，，∴抛物线的开口向下，∴当时，，又∵为正整数，一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．22．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，且．对于该抛物线上的任意两点，，，，当时，总有．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点的直线与该抛物线交于另一点，与线段交于点．作，与交于点，求的最大值，并求此时点的坐标；（3）若直线与抛物线交于，两点，不与，重合），直线，分别与轴交于点，，设，两点的纵坐标分别为，，试探究、之间的数量关系．【答案】（1）；（2）有最大值，此时；（3）【分析】解：（1），，或，当时，的两个根为或，，，，，，函数的对称轴为直线，当时，总有，函数的解析式为；当时，的两个根为或，，，，，，函数的对称轴为直线，当时，总有，不符合题意；综上所述：函数的解析式为；（2）分别过点作，，如下图：则，∴，∴，∴由题意可得，，∴，∴直线解析式为，∵，设直线的解析式为，∴，解得，即，联立直线和得：解得，解得联立直线和抛物线得：，化简得：，∴，∴，，，，，，，抛物线开口向下，对称轴为，当时，有最大值，此时；（3）直线经过点，，直线的解析式为，联立，解得，，直线经过，，直线的解析式为，联立，解得，，直线经过定点，、在直线上，，，化简得：∵，两点不重合，∴∴