2023年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）第06讲 分式

第06讲  分式易错点梳理

易错点01  分式值为0时，忽略分母不为0的条件

分式的值为0，必须同时满足两个条件，即分子的值为0，分母不等于0，两者缺一不可。

易错点02  在分式约分过程中出现乱约分或约分不彻底的错误

分式的约分是对分式的分子与分母整体进行的，分子或分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约为要彻底，使分子、分母没有公因式。

易错点03  分式运算时忽视分数线的括号作用

在分式的运算中遇到减法，并且减式的分子是一个多项式，当分子相减时必须给分子加上括号，因为分数线有括号的作用。

易错点04  解分式方程去分母时出现漏乘现象

解分式方程去分母时，方程两边的每一部分都要乘以最简公分母，当单独一个整数作为一项时，容易出现漏乘现象。

易错点05  解分式方程忘记检验

检验所得的解是否为增根是解分式方程的必要步骤，不可忽略。

考向01  分式有意义的条件和分式值为0的条件

例题1：（2021·广西贵港·中考真题）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）

A．x≠－5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞－5

【答案】A

【思路分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．

【解析】解：根据分式有意义的条件，可得：，，故选：A．

【点拨】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是分母不能为零是解题关键．

例题2：（2021·广西桂林·中考真题）若分式的值等于0，则x的值是（　　）

A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3

【答案】A

【思路分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解．

【解析】由题意可得：且，解得．故选A．

【点拨】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质．

考向02  分式的基本性质

例题3：（2021·河北安次·二模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【思路分析】根据分式的基本性质进行判断即可．

【解析】解：A、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；B、改变分式分子和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；C、改变分式分母的符号，其分式的值变为原来的相反数，此选项错误，符合题意；D、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意，故选：C．

【点拨】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，熟记分式符号变化规律是解答的关键．

例题4：（2021·广东·广州市第十六中学二模）下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【思路分析】A、根据积的乘方运算法则判断；B、根据分式的基本性质判断；C、根据二次根式的性质判断；D、根据同底数幂的除法法则判断．

【解析】解：A、，故本选项不合题意；B、当时，，故本选项不合题意；C、由题意可得，所以，故本选项符合题意；D、，故本选项不合题意；故选：C．

【点拨】本题考查了积的乘方，分式的基本性质，二次根式的性质以及同底数幂的除法，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．

考向03  分式的运算

例题5：（2021·山东济南·中考真题）计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【思路分析】根据分式的减法法则可直接进行求解．

【解析】解：；故选B．

【点拨】本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．

例题6：（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【思路分析】根据分式的计算法则，积的乘方计算法则和完全平方公式对每个选项进行计算即可．

【解析】A：，符合题意．B：，不符合题意．

C：，不符合题意．D：，不符合题意．故选：A．

【点拨】本题考查分式的计算法则，积的乘方计算法则和多项式的乘法法则，熟练掌握这些运算法则是解题关键．

考向04  分式方程的概念

例题7：（2021·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程3＝0有解，则实数m应满足的条件是（　　）

A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2

【答案】B

【思路分析】解分式方程得：即，由题意可知，即可得到.

【解析】解：

方程两边同时乘以得：，

∴，

∵分式方程有解，

∴，

∴，

∴，

∴，

故选B.

【点拨】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键.

例题8：（2021·广西百色·中考真题）方程＝的解是（    ）．

A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3

【答案】D

【思路分析】根据解分式方程的方法求解，即可得到答案．

【解析】∵＝

∴

∴

经检验，当时，与均不等于0

∴方程＝的解是：x＝3

故选：D．

【点拨】本题考查了解分式方程的知识点；解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，从而完成求解．

考向05  分式方程的应用

例题9：（2021·四川内江·中考真题）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：

若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．

（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；

（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；

（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．

【思路分析】（1）依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答；

（2）根据题意列不等式组解答；

（3）设总利润为，表示出w与x的函数解析式，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出利润的最大值即可得到答案．

【解析】解：（1）依题意得：，

整理，得：，

解得：，

经检验，是原方程的根，

答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；

（2）设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件，

根据题意得：，

解得：，

为整数，，

答：共有11种进货方案；

（3）设总利润为，则

，

①当时，，随的增大而增大，

当时，最大，

此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；

②当时，，，

（2）中所有方案获利都一样；

③当时，，随的增大而减小，

当时，最大，

此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．

综上：当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，（2）中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．

【点拨】此题考查分式方程的实际应用，不等式组的实际应用，一次函数的性质，正确理解题意熟练应用各知识点解决问题是解题的关键．

例题10：（2021·山东济南·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．

（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？

（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？

【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子

【思路分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；

（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．

【解析】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：

，

解得：，

经检验是原方程的解，

答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．

（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：

，

解得：，

∵m为正整数，

∴m的最大值为87；

答：最多购进87个甲种粽子．

【点拨】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．

一、单选题

1．（2021·重庆八中二模）函数y＝中自变量x的取值范围是（    ）

A．x≠﹣3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≤﹣3

【答案】B

【分析】解：由题意，得3﹣x≠0，解得x≠3．故选：B．

2．（2021·江苏·南京市金陵汇文学校一模）PM2.5是指大气中直径小于或等0.0000025m的颗粒物，将数据0.0000025科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解：0.0000025=2.5×10-6，故选：C．

3．（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）化简的结果是（   ）

A．－a－1 B．a－1 C．－a＋1 D．－ab＋b

【答案】B

【分析】原式=，故选B．

4．（2021·四川省成都市七中育才学校一模）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程的根为2；③方程的最简公分母为；④是分式方程．其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；

方程的根为x=2，故②正确；

方程的最简公分母为2x(x-2)，故③错误；

是分式方程，故④正确；故选：B．

5．（2021·重庆八中二模）若数a使关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于y的分式方程＝1有正整数解，则满足条件的a的个数是（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【分析】解：解不等式组，

解得：，

∵不等式组有且仅有4个整数解，

∴﹣1＜≤0，

∴﹣8＜a≤﹣3．

解分式方程＝1，得y＝，

∵y＝≠2为整数，

∴a≠﹣6，

∴所有满足条件的只有﹣4，故选：B．

6．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）若关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ）

A． B．b≤6且b≠4 C．b＜6且b≠4 D．b＜6

【答案】B

【分析】解：去分母得，2x－b＝3x－6，∴x＝6－b，∵x≥0，∴6－b≥0，解得，b≤6，又∵x－2≠0，∴x≠2，

即6－b≠2，b≠4，则b的取值范围是b≤6且b≠4，故选：B．

7．（2021·甘肃庆阳·二模）关于x的分式方程的解为，则常数a的值为（    ）

A．-1 B．1 C．2 D．5

【答案】A

【分析】解：方程两边都乘以x（x-a），得：3x=2（x-a），将x=2代入，得：6=2（2-a），解得a=-1，故选：A．

8．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若解关于x的方程＝1时产生增根，那么常数m的值为（    ）

A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3

【答案】D

【分析】解：方程两边都乘以x﹣2，得：x﹣5﹣m＝x﹣2，∵方程有增根，∴x＝2，将x＝2代入x﹣5﹣m＝x﹣2，得：m＝﹣3，故选D．

9．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）“五一”节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解：设实际参加游览的同学共x人，根据题意得：，故选：D．

10．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x小时，据题意可列出方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半，∴甲队的工作效率为，设乙队单独完成此项工程需要x小时，∴甲队的工作效率为，由题意可得，，故选：C．

11．（2021·福建·厦门双十中学思明分校二模）数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（    ）

A． B．

C．10x＝40（x+6） D．10（x﹣6）＝40x

【答案】A

【分析】解:设第二次分钱的人数为人,则第一次分钱的人数为人,依据题意:,故选A．

12．（2021·内蒙古东胜·二模）随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x万份，据题意可列方程（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解：设更新技术后每天生产x万份疫苗，则更新技术前每天生产（x-10）万份疫苗，依题意得，，故选：B．

二、填空题

13．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）若分式有意义，则x的取值范围是_________．

【答案】

【分析】解：∵分式有意义，∴，解得：，故答案为：x≠-6．

14．（2021·北京·101中学三模）分式的值等于0，则x＝_______．

【答案】-2

【分析】解：根据题意，得x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）＝0且x﹣2≠0．所以x+2＝0．所以x＝﹣2．故答案是：﹣2．

15．（2021·广东实验中学三模）代数式有意义时，x应满足的条件为______．

【答案】x≠1

【分析】解：根据题意得：x−1≠0，解得：x≠1．故答案为：x≠1

16．（2021·福建·模拟预测）化简的结果是_____．

【答案】m

【分析】．故答案为 ：．

17．（2021·湖北青山·一模）计算的结果是______．

【答案】1

【分析】解：．

18．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校一模）分式方程的解是______．

【答案】

【分析】解：，方程两边同乘，得，去括号，得，移项得：，经检验，是原方程的解，故答案为：．

19．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）已知关于x的方程无解，则m的值是___．

【答案】或1

【分析】解：①当方程有增根时，方程两边都乘，得，∴最简公分母，解得，当时，，故m的值是1，

②当方程没有增根时，方程两边都乘，得，解得，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时，解得，∴综上所述，当或1时，方程无解.故答案为：或1.

20．（2021·广东·江门市第二中学二模）方程的解是______．

【答案】

【分析】解：，两边同乘(x+1)(x-1)得：x(x-1)=5(x+1)，解整式方程得，x=；经检验，x=是原分式方程的解．故答案为：x=．

三、解答题

21．（2021·安徽·三模）解方程：．

【答案】x＝3

【分析】解：方程的两边同乘x−1，得：，解这个方程，得：x＝3，检验，把x＝3代入x−1＝3－1＝2≠0，∴原方程的解是x＝3．

22．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）解分式方程：．

【答案】无解

【分析】解：去分母得：1-x=-1-2x+4，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．

23．（2021·广东实验中学三模）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同.其中购进一次性医用外科口罩花费2000元N95口罩花费10000元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少8元．

（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元?

（2）该药店计划再次购进两种口罩共1800只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次外科口罩多少只?

【答案】(1)一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是10元；(2)至少购进一次性医用外科口罩1000只．

【分析】解：(1)设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+8)元，由题意可知：，解得：，经检验，是原方程的解，x+8=2+8=10，故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是10元；

(2)设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+10(1800-y)≤10000，解得y≥1000，故至少购进一次性医用外科口罩1000只．

24．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）为提升青少年的身体素质，我市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的．

（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？

（2）学校计划购买篮球、足球共60个，总费用不多于5200元，并且要求篮球数量不能低于15个，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？

【答案】（1）篮球每个100元，足球每个80元；（2）当篮球购买15个，足球购买45个时，费用最少，最少为5100元．

【分析】解：（1）设篮球每个x元，足球每个x元，由题意得：，解得：x=100，经检验：x=100是原方程的解且符合题意，则足球的单价为：x＝×100＝80（元），答：篮球每个100元，足球每个80元；

（2）足球m个，总费用为w元，则篮球（60-m）个，由题意得， w=80m+100（60-m）=-20m+6000，再由题意可得，，解得，40≤m≤45，由w=-20m+6000，∵-20＜0，∴w随m的增大而减小，

∴当m=45时，w取得最小值，此时w=5100元，其中60-m=15，答：当篮球购买15个，足球购买45个时，费用最少，最少为5100元．