备战2023年中考数学基础题型专项突破练习（全国通用）冲刺小卷19 锐角三角函数

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冲刺小卷19  锐角三角函数及其应用考点1  锐角三角函数及特殊三角值1.（2021•新蔡县模拟）若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（　　）A． B． C． D．C【解析】∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，∴设三个内角分别为k、2k、3k，∴k+2k+3k＝180°，解得k＝30°，最小角的正切值＝tan30°．故选：C．2.（2021•南岗区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝h，∠A＝α，则AB的长为（　　）A．h•cosα B． C．h•sinα D．D【解析】在△ABC中，∠C＝90°，sinA，∵BC＝h，∠A＝α，∴sinα，∴AB，故选：D．3．（2021•松北区模拟）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（　　）A． B． C．2 D．D【解析】连接BD．则BD，AD＝2，则tanA．故选：D．4．（2021•沁阳市模拟）2sin45°+tan60°＝　　．【解析】原式＝2．故答案为：．考点2  解直角三角形5.（2021•涟源市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC，AB＝2，则∠B等于（　　）A．15° B．20° C．30° D．60°C【解析】∵∠C＝90°，BC，AB＝2，∴cosB，∴∠B＝30°，故选：C．6.（2021 •越秀区月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边中线是3cm，sinA，则S△ABC＝（　　）A．cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2D【解析】∵在Rt△ABC中斜边中线是3cm∴AB＝6∵sinA∴BC＝2，AC＝4∴S△ABC4．故选：D．7.（2021•房山区期末）在△ABC中，BC＝2，AC＝2，∠A＝30°，则AB的长为（　　）A． B．2 C．或4 D．2或4D【解析】作CD⊥AB交AB的延长线于点D，当B2C＝2时，∵∠A＝30°，∠ADC＝90°，AC＝2，∴CD，∴AD3，B2D1，∴AB2＝3﹣1＝2，同理可得，AB1＝3+1＝4，即AB的长为2或4，故选：D．8.（2021•金坛区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD．若BC＝4，CD＝3，则cosB＝　　．【解析】由题易知：△ABC为直角三角形，且CD为斜边上的中线，CD＝3∴AB＝2CD＝2×3＝6，在Rt△ABC中，cosB，故答案为：．9.（2021•太仓市期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sinB．求：（1）线段CD的长；（2）sin∠BAC的值．解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠D＝90°，在Rt△ABD中，∵sinB．∴，又∵AD＝12，∴AB＝15，∴BD9，又∵BC＝4，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5；答：线段CD的长为5；（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵S△ABCBC•ADAB•CE∴4×1215×CE，∴CE，在Rt△AEC中，∴sin∠BAC，答：sin∠BAC的值为．考点3  解直角三角形的实际应用10.如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　）A．m B．4m C．4m D．8mC【解析】作CE⊥AB交AB 的延长线于E，∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝30°，∴CEBC＝4m．故选：C．11.（2021•重庆）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（　　）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米D【解析】∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，∴DE：CE＝5：12，∵DE＝50米，∴CE＝120米，∵BC＝150米，∴BE＝150﹣120＝30（米），∴AB＝tan50°×30+50≈85.7（米）．故选：D．12.（2021•武汉）如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是 　10.4　nmile（1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．10.4【解析】过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得，∠CAE＝60°，∠ABC＝30°，∴∠ABD＝30°，∠ADE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12nmile，在Rt△ACE中，sin∠ACE，∴AE＝AC•sin∠ADE＝610.4（nmile），故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，故答案为10.4．13.（2021•商水县三模）洛阳应天门是中国古代规格最高的城门，其建制对北宋汴梁宣德门、元大都崇天门、明清故宫的午门影响深远，名称更被日本京都•应天门取用，被誉为“隋唐第一门”、“天下第一门”，在中国宫城建筑史上占有重要地位．某数学活动小组希望测量应天门的高度，他们借助测角仪和皮尺讲行了实地测量，测量结果如下表：测量项目测量数据测角仪到地面的距离AB＝2.12m从A处观测建筑物顶部C的仰角∠CAE＝66°从A处观测建筑物底部D的俯角∠EAD＝8°请根据数据计算出应天门的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin66°≈0.91，cos60°≈0.41，tan66°≈2.25，sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.15）解：在Rt△ABD中，AB＝2.12m，∠ADB＝∠EAD＝8°，∴BD14.13（m），在Rt△ACE中，AE＝BD＝14.13m，∠CAE＝66°，∴CE＝tan66°•AE≈31.8（m），∴CD＝CE+ED＝31.8+2.12≈33.9（m），答：应天门的高度约为33.9m．14.（2021•开封二模）一辆小汽车与墙体平行停放，平面示意图如图所示，汽车靠墙一侧OB与墙EF平行且距离为1米，已知小汽车车门宽OA为1.2米，若车门打开的角度为∠AOB＝40°．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）（1）求出车门最宽边缘A处到车身OB的距离．（精确到0.01米）（2）车门打开时会不会碰到墙壁，请说明理由．解：（1）在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，∴AC＝sin∠AOC•AO≈0.64×1.2≈0.77（米），答：车门最宽边缘A处到车身OB的距离为0.77米；（2）车门打开时不会碰到墙壁．∵汽车靠墙一侧OB与墙EF平行且距离为1米，1＞0.77，∴车门打开时不会碰到墙壁．15．（2021•驻马店一模）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行34km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．（1）直接写出∠C的度数；（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）解：（1）如图，由题意得：∠ACB＝20°+42°＝62°；（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝62°，AB＝34，过B作BE⊥AC于E，如图所示：∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠EAB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝34，∴AE＝BEAB＝17，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝62°，tan∠ACB，∴CE，∴AC＝AE+CE＝17，∴A，C两港之间的距离为（17）km．