初中数学湘教版八年级下册4.5 一次函数的应用一等奖ppt课件

教学目标

1.理解一次函数与一元（二元）一次方程之间的联系，并能通过函数图象来解决一元（二元）一次方程的问题.

2.学习从函数的角度看待方程的方法，感受用全面的观点处理局部问题的思想.

教学重难点

重点：理解一次函数与一元（二元）一次方程之间的联系.

难点：根据图象解决一元（二元）一次方程问题.

教学过程

导入新课

思考：

问题①：解方程2x+20＝0.

问题②：当x为何值时，函数y＝2x+20的值为0？

问题③：画出函数y＝2x+20的图象，并确定它与x轴的交点坐标.

问题④：问题①②有何关系？①③呢？

问题⑤：能从函数的角度来解一元一次方程2x+20＝0吗？

师生活动：学生先独立思考，小组交流，最后请学生代表回答，教师归纳并点拨：

①方程的解为x＝-10.

②当x＝-10时，函数y＝2x+20的值为0.

③图象略，函数y＝2x+20的图象与x轴的交点坐标是（-10，0）.

④问题①②的解相同，问题③的横坐标是问题①的解.

⑤一元一次方程2x+20＝0的解就是函数y＝2x+20的图象与x轴交点的横坐标.

总结：从函数的观点可以求解一元一次方程，方程与函数之间有着密切的联系，下面我们从函数的角度来看一次方程，并用函数的方法来解一次方程.

探究新知

探究一：一次函数与一元一次方程

问题：下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？

（1）2x+1＝3；

（2）2x+1＝0；

（3）2x+1＝-1.

思考：代数式2x+1的值的变化是由谁的变化造成的？它的每一个值的确定又是与谁的确定相对应？

图1

师生共同分析：这3个方程的等号左边都是2x+1，等号右边分别是3，0，-1.从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y＝2x+1的函数值分别为3，0，-1时，求自变量x的值，或者说，在直线y＝2x+1上取纵坐标分别为3，0，-1的点，看它们的横坐标分别为多少，即图1中A，B，C三点的横坐标.

归纳总结：如何用函数的方法解一元一次方程？

师生活动：学生先独立思考，小组交流，最后请学生代表回答，教师归纳并点拨：

因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b＝0（a≠0）的形式，所以

（1）从函数的角度考虑，就是求y＝ax+b的函数值为0时对应的自变量x的值；

（2）从函数图象的角度考虑，就是确定直线y＝ax+b与x轴交点的横坐标.

例1  已知一次函数y＝2x+6，求这个函数的图象与x轴交点的横坐标.

解法一

令y＝0，解方程2x+6＝0，

得x＝-3.

所以一次函数y＝2x+6的图象与x轴交点的横坐标为-3.

解法二

画出函数y＝2x+6的图象，如图2.

图2

因为直线y＝2x+6与x 轴交于点（-3，0），

所以该图象与x轴交点的横坐标为-3.

练一练

1.如图3，直线y＝ax+b过点A(0，2)和点B(-3，0)，则方程ax+b＝0的解是(　　)

A.x＝2        

B.x＝0 

C.x＝－1      

D.x＝－3

图3

2.解方程2x+3＝5，就是求当y＝       时，函数y＝2x+3的自变量x的取值.

答案：1.D   2.5

探究二：一次函数与二元一次方程

一次函数y＝5-x的图象如图4所示.

图4

问题：（1）方程x+y＝5的解有多少个？写出其中的几个.

（2）在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y＝5-x的图象上吗？

（3）在一次函数y＝5-x的图象上任取一点，它的坐标满足方程x+y＝5吗？

（4）以方程x+y＝5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5-x的图象相同吗？

师生活动：学生先独立思考，小组交流，最后请学生代表回答，教师归纳并点拨：

回答问题：

（1）方程x+y＝5 的解有无数个，

（2）都在一次函数y＝5-x的图象上.

（3）一次函数y＝5-x的图象上任意一点的坐标都满足方程x+y＝5.

（4）相同.

思考1：一次函数与二元一次方程从数的角度看有什么关系？

思考2：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？

由函数图象的定义可知：

直线上每个点的坐标（x，y）都是这个二元一次方程的解.

探究三：一次函数与一元一次不等式（拓展）

问题：下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？

（1）3x+2>2；

（2）3x+2<0；

（3）3x+2<-1.

思考：你能类比一次函数与一元一次方程的关系，试着从函数角度解一元一次不等式吗？

图5

师生共同分析：这3个不等式的不等号左边都是3x+2 ，而不等号及不等号右边却有不同.从函数的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数y＝3x+2的函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求自变量x的取值范围，或者说，在直线y＝3x+2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于-1的点，如图5，看它们的横坐标分别满足什么条件，即可得到自变量x的取值范围.

归纳总结：如何用函数的方法解一元一次不等式？能把你得到的结论推广到一般情形吗？

师生活动：学生先独立思考，小组交流，最后请学生代表回答，教师归纳并点拨.

归纳：因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式，所以

（1）从函数的角度看，就是求一次函数y＝ax+b的函数值大于（或小于）0时自变量x的取值范围；

（2）从函数图象的角度看，就是确定直线y＝ax+b在x轴上（或下）方部分的自变量x的取值范围.

或（1）不等式ax+b>c的解集就是使函数y＝ax+b的函数值大于c的对应的自变量x的取值范围；

（2）不等式ax+b<c的解集就是使函数y＝ax+b的函数值小于c的对应的自变量x的取值范围.

例2  画出函数y＝-3x+6的图象，结合图象求：

（1）不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集;

（2）当x取何值时，y<3?

解：作出函数y＝-3x+6的图象，如图6所示，图象与x轴交于点B(2，0).

图6

（1）由图象可知，不等式-3x+6>0 的解集是图象位于x轴上方的部分对应的x的取值范围，即x<2；

不等式-3x+6<0的解集是图象位于x轴下方的部分对应的x的取值范围，即x>2.

（2）由图7可知，当x>1时，y<3.

图7

合作学习：

用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10.

解法1：不等式可化为3x-6<0，画出直线y＝3x-6，可以看出图象在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围是x<2.

所以不等式的解集为x<2.

解法2：将原不等式两边分别看成一次函数y＝5x+4和y＝2x+10，画出两个函数的图象如图8，

图8

可得交点的横坐标为2，当x<2时，对于同一个x，直线y＝5x+4上的点在直线y＝2x+10上相应点的下方，这时5x+4<2x+10，所以不等式的解集为x<2.

课堂小结

    布置作业

教材第140页习题4.5第5，6题.

板书设计

4.5  一次函数的应用

第3课时  一次函数与一次方程的关系

1. 一次函数与一元一次方程的关系

2. 一次函数与二元一次方程的关系

3. 一次函数与一元一次不等式的关系