青海省西宁市城西区海湖中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

2022-2023学年青海省西宁市城西区海湖中学九年级（上）期中数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 方程x（x﹣2）＝3x的解为（    ）

A x＝5 B. x1＝0，x2＝5 C. x1＝2，x2＝0 D. x1＝0，x2＝﹣5

2. 下列方程是一元二次方程是（   ）

A.  B.

C.  D.

3. 下列方程中，常数项为零的是（ ）

A. x2+x=1 B. 2x2-x-12=12 C. 2(x2-1)=3(x-1)      D. 2(x2+1)=x+2

4. 关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A. ﹣1 B. 1 C. 1或﹣1 D. 3

5. 某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）

A. 12（1+x）=17

B. 17（1﹣x）=12

C. 12（1+x）2=17

D. 12+12（1+x）+12（1+x）2=17

6. 已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为(   )

A. 11 B. 17 C. 19 D. 17或19

7. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（　　）

A. 2s B. 3s C. 4s D. 5s

8. 是方程的两个实根，若恰成立，则的值为（   ）

A.  B. 或 C.  D. 或1

9. 若关于一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ）

A. 且 B. 且

C.  D.

10. 已知m 、n 是关于 x 的一元二次方程 x2tx  t 2t  4  0 的两实数根，则m  2n  2的最小值是(      )

A. 7 B. 11 C. 12 D. 16

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共18.0分）

11. 如果2x2＋1与4x2－2x－5互为相反数，则x的值为________．

12. 已知3是方程的一个根，则______，另一根为______．

13. 已知2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，则m=_____．

14. 已知x2+6x=﹣1可以配成（x+p）2=q的形式，则q=_____．

15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于x的不等式组的解集是，则所有符合条件的整数m的个数是_______．

16. 关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则偶数m的最大值为_____．

17. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．人行道的宽度为_____米．

18. 如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△________ 0（填：“＞”或“=”或“＜”）．

三、解答题（本大题共6小题，共52.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 解方程：（配方法）．

20. 解方程：（公式法）．

21. 解方程：（因式分解法）．

22. 关于x一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0

（1）若x＝﹣1是方程一个根，求m的值及另一个根．

（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．

23. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：

（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）要使商场平均每天赢利最多，每件衬衫降价多少元？

24. 某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本元，据销售人员调查发现，每月的销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间存在如图所示的变化规律．

求每月销售量与销售单价之间的函数关系式．

若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润元，试求该月茶叶的销售单价为多少元.

2022-2023学年青海省西宁市城西区海湖中学九年级（上）期中数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 方程x（x﹣2）＝3x的解为（    ）

A. x＝5 B. x1＝0，x2＝5 C. x1＝2，x2＝0     D. x1＝0，x2＝﹣5

【答案】B

【解析】

【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【详解】解：x（x﹣2）＝3x，

x（x﹣2）﹣3x＝0，

x（x﹣2﹣3）＝0，

x＝0，x﹣2﹣3＝0，

x1＝0，x2＝5，

故选：B.

【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.

2. 下列方程是一元二次方程是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义：通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程判断求解．

【详解】解：A、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；

B、由原方程得到，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；

C、未知数最高次数是3，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；

D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；

故选：D.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．

3. 下列方程中，常数项为零的是（ ）

A. x2+x=1 B. 2x2-x-12=12 C. 2(x2-1)=3(x-1) D. 2(x2+1)=x+2

【答案】D

【解析】

【分析】要确定常数项，首先要把方程化成一般形式，逐一判断选项即可．

【详解】A．由原方程得 x2+x﹣1=0，常数项是﹣1．故本选项不符合题意；

B．由原方程得 2x2﹣x﹣24=0，常数项是﹣24．故本选项不符合题意；

C．由原方程得 2x2﹣3x+1=0，常数项是1．故本选项不符合题意；

D．由原方程得 2x2-x=0，常数项是0．故本选项符合题意．

故选D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

4. 关于x一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A. ﹣1 B. 1 C. 1或﹣1 D. 3

【答案】C

【解析】

【详解】由题意可得：，解得.

故选C.

5. 某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）

A. 12（1+x）=17

B. 17（1﹣x）=12

C. 12（1+x）2=17

D. 12+12（1+x）+12（1+x）2=17

【答案】C

【解析】

【分析】设游客人数的年平均增长率为x，由2015年约为12万人次，到2017年约为17万人次，增长了2次，可列出方程.

【详解】设游客人数的年平均增长率为x，由2015年约为12万人次，到2017年约为17万人次，增长2次，可列出方程12(1＋x)2＝17.

故选C

【点睛】本题考核知识点：列一元二次方程解应用题.解题关键点：找出相等关系，列方程.

6. 已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为(   )

A. 11 B. 17 C. 19 D. 17或19

【答案】C

【解析】

【分析】根据方程求得方程的两根，再根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．

【详解】∵,第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根

∴（x-6）(x-8)=0，

∴x1=6；x2=8，

∵2+6=8<9，

∴边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，

∴三角形的周长=2+8+9=19．

故选C．

【点睛】本题考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题关键.

7. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（　　）

A. 2s B. 3s C. 4s D. 5s

【答案】B

【解析】

【分析】设出动点P，Q运动ts，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．

【详解】解：设动点P，Q运动ts后，能使△PBQ的面积为15cm2，

则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，

×（8﹣t）×2t＝15，

解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．

∴动点P，Q运动3s时，能使△PBQ的面积为15cm2．

故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．

8. 是方程的两个实根，若恰成立，则的值为（   ）

A.  B. 或 C.  D. 或1

【答案】A

【解析】

【分析】根据根与系数的关系，结合判别式的取值范围，进行求解即可．

【详解】解：是方程的两个实根，

则：，解得：，

，

∴

整理得：，

解得：或，

∵，

∴；

故选A．

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．解题时要注意判别式的符号．

9. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ）

A. 且 B. 且

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先把方程化为一般式为：有实数，然后根据一元二次方程的定义和的意义可得且，即，再解两个不等式，它们的公共部分即为的取值范围．

【详解】解：方程化为一般式为：有实数，

关于的一元二次方程有实数根，

且，即，解得，

的取值范围是且．

故选：A．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

10. 已知m 、n 是关于 x 的一元二次方程 x2tx  t 2t  4  0 的两实数根，则m  2n  2的最小值是(      )

A. 7 B. 11 C. 12 D. 16

【答案】D

【解析】

【分析】由根与系数的关系可得出m+n=2t、mn=t2-2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．

【详解】∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，
∴m+n=2t，mn=t2-2t+4，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（-2t）2-4（t2-2t+4）=8t-16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．
故选：D．

【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及二次函数的最值，根据根与系数的关系找出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7是解题的关键．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共18.0分）

11. 如果2x2＋1与4x2－2x－5互为相反数，则x值为________．

【答案】1或

【解析】

【详解】根据条件把题转化为求一元二次方程的解的问题，然后用因式分解法求解比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解．

解：∵2x2+1与4x2-2x-5互为相反数，

∴2x2+1+4x2-2x-5=0，

?3x2-x-2=0，

∴（x-1）（3x+2）=0，

解得x1=1，x2=-．

本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

12. 已知3是方程的一个根，则______，另一根为______．

【答案】    ①.
    ②. 3

【解析】

【分析】可将该方程的已知根3代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出值和方程的另一根．

【详解】解：设方程的另一根为，

又，

根据根与系数的关系可得：，

解得：，，

故答案为：，3．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，注意：若是方程的两根，则，．

13. 已知2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，则m=_____．

【答案】±4

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义解答即可.

【详解】∵2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，

∴|m|﹣2=2，

解得m=±4.

故答案为±4.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解决问题的关键.

14. 已知x2+6x=﹣1可以配成（x+p）2=q的形式，则q=_____．

【答案】8

【解析】

【分析】把方程两边加上9，然后把方程作边写成完全平方的形式，从而得到q的值．

【详解】解：x2+6x+9=8，

（x+3）2=8．

所以q=8．

故答案为8．

【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于x的不等式组的解集是，则所有符合条件的整数m的个数是_______．

【答案】4

【解析】

【分析】先根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m-1≠0且△=（-3）2-4（m-1）＞0，解得m＜且m≠1，再利用不等式组的解集可确定m≥-1，所以m的范围为-1≤m＜且m≠1，然后找出此范围内的整数即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m-1）x2-3x+1=0有两个不相等的实数根，
∴m-1≠0且△=（-3）2-4（m-1）＞0，解得m＜且m≠1，
∵解不等式组，得，

而此不等式组的解集是x＜-1，
∴m≥-1，
∴-1≤m＜且m≠1，
∴符合条件的整数m为-1、0、2、3．
故答案为4．

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解不等式组．

16. 关于x方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则偶数m的最大值为_____．

【答案】2

【解析】

【分析】由方程有实数根，可得出b2﹣4ac≥0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得m的取值范围，再找出其内的最大偶数即可．

【详解】解：当m﹣2＝0时，原方程为2x+1＝0，

解得：x＝﹣，

∴m＝2符合题意；

当m﹣2≠0时，△＝b2﹣4ac＝22﹣4（m﹣2）≥0，

即12﹣4m≥0，

解得：m≤3且m≠2．

综上所述：m≤3，

∴偶数m的最大值为2．

故答案为2．

【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，分方程为一元一次或一元二次方程两种情况找出m的取值范围是解题的关键．

17. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．人行道的宽度为_____米．

【答案】1

【解析】

【分析】设人行道的宽度为米，则矩形绿地的长为米，宽为米，再结合题意可列出关于x的一元二次方程，解出x的值，再舍去不合题意的值即可．

【详解】设人行道的宽度为米，则矩形绿地的长为米，宽为米，

∵这两块相同的矩形绿地的面积之和为60平方米，

∴，

解得：，（舍）．

∴人行道的宽度为1米．

故答案为：1．

【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题的关键．

18. 如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△________ 0（填：“＞”或“=”或“＜”）．

【答案】＞

【解析】

【详解】根据一次函数图像可得：，

则，

．

故答案为：>

三、解答题（本大题共6小题，共52.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 解方程：（配方法）．

【答案】

【解析】

【分析】先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【详解】解：，

配方得：，

即，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

20. 解方程：（公式法）．

【答案】，

【解析】

【分析】直接利用公式法解一元二次方程即可．

【详解】解：，

，

，

，

．

【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握公式法的公式．

21. 解方程：（因式分解法）．

【答案】，．

【解析】

【分析】移项，把看作一个整体，进行因式分解，然后求解．

【详解】解：，

∴，

∴或，

∴，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

22. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0

（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．

（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．

【答案】（1）m=2，另一根是2   （2）m>且m≠1

【解析】

【分析】（1）将x=-1代入原方程求出m值，将m的值代入原方程利用分解因式法解方程即可得出结论；

（2）根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数非零即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．

【详解】解： (1)将x=−1代入原方程，得：m−1+1−2=0，

解得：m=2，

∴原方程为x2−x−2=(x+1)(x−2)=0，

解得：x1=−1，x2=2

∴m的值为2，方程的另一个根为2

(2)∵方程(m−1)x2−x−2=0有两个不同的实数根，

∴，

解得：m>且m≠1

∴当m>且m≠1时方程有两个不同的实数根．

23. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：

（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）要使商场平均每天赢利最多，每件衬衫降价多少元？

【答案】（1）每件衬衫应降价20元   

（2）当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元

【解析】

【分析】（1）解：设每件衬衫降价x元，则商场平均每天可销售件，根据“商场平均每天要赢利1200元，”列出方程，即可求解；

（2）设每天利润为w元，每件衬衫降价a元，则商场平均每天可销售件，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．

【小问1详解】

解：设每件衬衫降价x元，则商场平均每天可销售件，根据题意得：

解之得：，

根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元

答：每件衬衫应降价20元；

【小问2详解】

解：设每天利润为w元，每件衬衫降价a元，则商场平均每天可销售件，根据题意得：

商场每天盈利w=

∵-2＜0

∴抛物线开口向下

∴当x=15时，w有最大值，w的最大值为1250 ，

所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元，

答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

24. 某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本元，据销售人员调查发现，每月的销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间存在如图所示的变化规律．

求每月销售量与销售单价之间的函数关系式．

若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润元，试求该月茶叶的销售单价为多少元．

【答案】（1）    （2）销售单价为元或元．

【解析】

【分析】设函数解析式为，将（90，100），（100，80）代入即可；

要求每月销售量不得低于70千克和每月获得的利润等于1350元，求出x的值．

【详解】解：（1）设一次函数解析式为，

把（90，100），（100，80）代入得，

解得

y与销售单价x之间的函数关系式为．

(2)要求每月销售量不得低于70千克，
即-2x+280≥70，
解得x≤105，
利润的表达式

当时，
得到，
解得，
解得

所以销售单价为元或元．

【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，还考查抛物线的基本性质，解题关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，同时要熟悉二次函数和一元二次方程的关系