初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数同步达标检测题

这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数同步达标检测题，共22页。试卷主要包含了41，6≈2，3海里B．73，8．等内容，欢迎下载使用。

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•苏家屯区一模）如图，A，B两景点相距20km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距（ ）
A．10kmB．103kmC．102kmD．2033km
【分析】根据题意可得，∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，所以∠ACB＝90°，根据AB＝20km，和特殊角三角函数即可求出A，C两景点距离．
【解析】根据题意可知：
∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝60°+30°＝90°，AB＝20km，
∴AC＝AB×cs30°＝20×32=103（km）．
∴A，C两景点相距103km．
故选：B．
2．（2020•松北区二模）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若
AP＝63千米，则A，B两点的距离为（ ）千米．
A．4B．43C．2D．6
【分析】证明AB＝PB，在Rt△PAC中，求出PC＝33千米，在Rt△PBC中，解直角三角形可求出PB的长，则可得出答案．
【解析】由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠PAB＝∠APB，
∴AB＝PB，
在Rt△PAC中，∵AP＝63千米，
∴PC=12PA＝33千米，
在Rt△PBC中，∵sin∠PBC=PCPB，
∴PB=PCsin60°=3332=6千米．
故选：D．
3．（2020•龙湾区二模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方向，距离灯塔2海里的点A处．若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，则海轮航行的距离AB的长是（ ）
A．2sin50°海里B．2cs50°海里
C．2tan40°海里D．2tan50°海里
【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA＝50°，PA＝2海里，∠ABP＝90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A＝∠NPA＝50°．然后解Rt△ABP，得出AB＝AP•cs∠A＝2cs50°海里．
【解析】由题意可知∠NPA＝50°，PA＝6海里，∠ABP＝90°．
∵AB∥NP，
∴∠A＝∠NPA＝50°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝50°，PA＝2海里，
∴AB＝AP•cs∠A＝2cs50°海里．
故选：B．
4．（2020•广西模拟）如图，在A处的正东方向有港口B．某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B．若取2≈1.41，6≈2.45，结果保留一位小数，则A，B间的距离为（ ）
A．42.3海里B．73.5海里C．115.8海里D．119.9海里
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可得，∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，BC＝20×3＝60，然后根据锐角三角函数即可求出A，B间的距离．
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意可知：
∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，BC＝20×3＝60，
∴在Rt△BCD中，CD＝BD=22BC＝302，
在Rt△ACD中，AD＝CD•tan60°＝306，
∴AB＝AD+BD＝306+302=30（6+2）≈115.8（海里）．
答：A，B间的距离约为115.8海里．
故选：C．
5．（2020•江干区模拟）如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（ ）
A．B地在C地的北偏西40°方向上
B．A地在B地的南偏西30°方向上
C．cs∠BAC=32
D．∠ACB＝50°
【分析】先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可．
【解析】如图所示，
由题意可知，∠1＝60°，∠4＝50°，
∴∠5＝∠4＝50°，即B在C处的北偏西50°，故A错误；
∵∠2＝60°，
∴∠3+∠7＝180°﹣60°＝120°，即A在B处的北偏西120°，故B错误；
∵∠1＝∠2＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴cs∠BAC=32，故C正确；
∵∠6＝90°﹣∠5＝40°，即公路AC和BC的夹角是40°，故D错误．
故选：C．
6．（2020•香坊区二模）如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（ ）
A．12海里B．63海里C．123海里D．243海里
【分析】作CE⊥AB交AB 的延长线于E，根据三角形的外角性质求出∠ACB＝30°，得到BC＝AB＝12，根据正弦的定义列式计算即可．
【解析】作CE⊥AB交AB 的延长线于E，
由题意得，AB＝24×12=12，∠CBE＝60°，∠CAE＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴BC＝AB＝12，
在Rt△CBE中，sin∠CBE=CEBC，
∴CE＝BC×sin∠CBE＝12×32=63（海里），
故选：B．
7．（2020•无棣县二模）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西30°的方向行驶50海里到达B地，再由B地向北偏西30°的方向行驶50海里到达C地，则A、C两地相距（ ）
A．100海里B．502海里C．50海里D．25海里
【分析】由已知可得△ABC是等边三角形，即可得出结果．
【解析】∵由海平面上A地出发向南偏西30°的方向行驶50海里到达B地，再由B地向北偏西30°的方向行驶50海里到达C地，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝50海里，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝50海里，
故选：C．
8．（2020•吴江区一模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，则这时海轮所在的B处距离灯塔P的距离是（ ）
A．802sin25°B．402sin25°C．802cs25°D．402cs25°
【分析】首先根据题意得出∠MPA＝∠A＝65°，以及∠DBP＝∠DPB＝45°，再利用解直角三角形求出即可．
【解析】如图，过点P作PD⊥AB于点D．
由题意知∠DPB＝∠DBP＝45°．
在Rt△PBD中，cs45°=PDPB=22，
∴PB=2PD．
∵点A在点P的北偏东65°方向上，
∴∠APD＝25°．
在Rt△PAD中，cs25°=PDPA．
∴PD＝PAcs25°＝80cs25°，
∴PB＝802cs25°（海里）．
故选：C．
9．（2020•莒县一模）我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学组织学生利用导航到C地进行社会实践活动，到达A地时，发现C地恰好在A地正北方向，导航显示路线应沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走才能到达C地．如图所示，已知A，B两地相距6千米，则A，C两地的距离为（ ）（参考数据sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.32）
A．12千米B．（3+43）千米
C．（3+53）千米D．（12﹣43）千米
【分析】作BD⊥AC于点D，根据题意可得，∠A＝60°，AB＝6，∠CBD＝53°，再根据锐角三角函数即可求出AD和CD的值，进而求出A，C两地的距离．
【解析】如图，作BD⊥AC于点D，
根据题意可知：
在Rt△ADB中，∠A＝60°，AB＝6，
∴AD＝3，BD＝33，
在Rt△CDB中，∠CBD＝53°，
∴CD＝BD•tan53°≈33×1.32≈33×43≈43，
∴AC＝AD+CD＝3+43．
则A，C两地的距离为（3+43）千米．
故选：B．
10．（2019•河北模拟）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行20海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为（ ）
A．52海里B．6海里C．102海里D．3海里
【分析】根据题意画出图形，利用方向角和三角函数即可求解．
【解析】如图，
过点B作BD⊥AC于点D，
根据题意得，
∠CAB＝90°﹣60°＝30°，
∠CBE＝90°﹣15°＝75°，
∴∠ACB＝75°﹣30°＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴BD＝DC，
∵∠ADB＝90°，AB＝20，∠BAD＝30°，
∴BD=12AB＝10，
∴BC=2BD2=102（海里）．
答：此时轮船与小岛C的距离为102海里．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•广西一模）如图，码头A在码头B的正东方向，两个码头之间的距离为10海里，今有一货船由码头A出发，沿北偏西60°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏东45°方向，则码头A与小岛C的距离为 （10+103） 海里（结果保留根号）．
【分析】作CD⊥AB交AB延长线于点D，设CD＝x，由∠BCD＝45°知BD＝CD＝x，由tan∠CAD=CDAD建立关于x的方程，解之求得x的值，从而得出CD的长，根据AC＝2CD可得答案．
【解析】作CD⊥AB交AB延长线于点D，
由题意，得∠DCB＝45°，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，AB＝10海里，
设CD＝x海里，
在Rt△DCB中，tan∠DCB=BDCD，tan45°=CDx=1，
∴BD＝x，
则AD＝AB+BD＝10+x，
由tan30°=xx+10=33，
解得x＝5+53，
∵∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，
∴AC＝2CD＝（10+103）海里．
故答案为：（10+103）．
12．（2020•葫芦岛一模）如图，甲，乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则甲船每小时行驶 15（3-1） 海里．
【分析】设甲船每小时行驶x海里，则AB＝2x海里，如图，作BD⊥AC于点D，在AC上取点E，使BE＝CE，根据题意可得，∠BAD＝30°，∠C＝15°，可得AD＝DE=3x，CE＝BE＝AB＝2x，根据AD+DE+CE＝60，列出方程即可求出x的值．
【解析】设甲船每小时行驶x海里，则AB＝2x海里，
如图，
作BD⊥AC于点D，在AC上取点E，使BE＝CE，
根据题意可知：
∠BAD＝30°，∠C＝15°，
∴∠BED＝30°，
∴AD＝DE=3x，
CE＝BE＝AB＝2x，
∴AD+DE+CE＝60，
即3x+3x+2x＝60，
解得x＝15（3-1）（海里）．
答：甲船每小时行驶15（3-1）海里．
故答案为：15（3-1）．
13．（2020•宁波模拟）如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为 38 海里（精确到1海里，参考数据2≈1.414，3≈1.732）．
【分析】根据题意可得，AB＝60海里，∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，如图，作CD⊥AB于点D，根据锐角三角函数即可求出CD的长，即为轮船在航行中离小岛最近的距离．
【解析】根据题意可知：
AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，
如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，CD＝AD，
在Rt△CBD中，BD＝AB﹣AD＝60﹣CD，
∴tan30°=BDCD，
即33=60-CDCD，
解得CD≈38（海里）．
答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里．
故答案为：38．
14．（2019秋•泰山区期末）一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向10海里的C处是港口，点A、B、C在一条直线上，则这艘货轮由A处到B处航行的路程为 103-10 海里（结果保留根号）．
【分析】根据题意得：PC＝4海里，∠PBC＝45°，∠PAC＝30°，在直角三角形APC中，由勾股定理得出AC=3PC＝103（海里），在直角三角形BPC中，得出BC＝PC＝10海里，即可得出答案．
【解析】根据题意得：PC＝10海里，∠PBC＝90°﹣45°＝45°，∠PAC＝90°﹣60°＝30°，
在直角三角形APC中，∵∠PAC＝30°，∠C＝90°，
∴AC=3PC＝103（海里），
在直角三角形BPC中，∵∠PBC＝45°，∠C＝90°，
∴BC＝PC＝10海里，
∴AB＝AC＝BC＝（103-10）海里；
故答案为：（103-10）．
15．（2020秋•九龙坡区校级月考）如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为 43 千米．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出AC和BC的长，然后即可得到AB的长，从而可以解答本题．
【解析】∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，
∴∠PCA＝90°，∠PAC＝30°，
∵AP＝12千米，
∴PC＝6千米，AC＝63千米，
∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，
∴∠PBC＝60°，
∴BC=PCtan60°=63=23千米，
∴AB＝AC﹣BC＝63-23=43（千米），
故答案为：43千米．
16．（2019春•雁塔区校级期末）如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行5海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行12海里，这时两轮船相距 13 海里．
【分析】根据题意可得，∠AOB＝25°+65°＝90°，OA＝5，OB＝12，再根据勾股定理可得AB的长，即可得两轮船的距离．
【解析】如图，
根据题意可知：
∠AOB＝25°+65°＝90°，
OA＝5，OB＝12，
∴AB=OA2+OB2=13（海里）．
所以两轮船相距13海里．
故答案为：13．
17．（2019秋•宝安区期末）如图，l是一条笔直的公路，道路管理部门在点A设置了一个速度监测点，已知BC为公路的一段，B在点A的北偏西30°方向，C在点A的东北方向，若AB＝50米．则BC的长为 （25+253） 米．（结果保留根号）
【分析】由题意知AD⊥BC于点D，且∠BAD＝30°，∠DAC＝∠ACD＝45°，根据AB＝50米可求得BD＝ABsin∠BAD＝25（米），AD＝ABcs∠BAD＝253（米），再由AC＝CD＝253米可得答案．
【解析】如图所示，
由题意知AD⊥BC于点D，且∠BAD＝30°，∠DAC＝∠ACD＝45°，
∵AB＝50米，
∴BD＝ABsin∠BAD＝50×12=25（米），AD＝ABcs∠BAD＝50×32=253（米），
在Rt△ACD中，∵∠DAC＝∠ACD＝45°，
∴AC＝CD＝253（米），
则BC＝BD+CD＝25+253（米），
故答案为：（25+253）．
18．（2019秋•金凤区校级期末）如图，某海防哨所（O）发现在它的北偏西30°，距离为500m的A处有一艘船，该船向正东方向航行，经过几分钟后到达哨所东北方向的B处，此时该船距哨所的距离（OB）为 2506 米．
【分析】在Rt△AOC中，由∠COA＝30°，0A＝500，可求出OC，再在Rt△BOC中，由∠BOC＝45°，可得OB=2OC即可．
【解析】如图，由题意可知，∠AOC＝30°，∠BOC＝45°，OA＝500，AB⊥OC，
在Rt△AOC中，OC＝OA•cs30°＝500×32=2503，
在Rt△BOC中，OB=2OC＝2503×2=2506，
故答案为：2506．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
【分析】过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．
【解析】如图，过点D作DH⊥AC于点H，
在Rt△DCH中，∠C＝37°，
∴CH=DHtan37°，
在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，
∴BH=DHtan45°，
∵BC＝CH﹣BH，
∴DHtan37°-DHtan45°=6，
解得DH≈18km，
在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，
∴AD=DHcs26°≈20km．
答：轮船航行的距离AD约为20km．
20．（2020•淮北一模）如图，一艘船由A港沿北偏东70°方向航行以302海里/时的速度航行2小时达到小岛B处，稍作休整，然后再沿北偏西35°方向航行至C港，C港在A港北偏东25°方向，求A，C两港之间的距离．（精确到1海里）（参考数据：2～1.41，3=1.73）
【分析】作BD⊥AC，根据题意表示出∠CAB、∠CBA，根据等腰直角三角形的性质分别求出AD、BD，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．
【解析】作BD⊥AC于D，
由题意得，∠CAB＝70°﹣25°＝45°，∠CBA＝180°﹣70°﹣35°＝75°，AB＝302×2＝602，
∴∠CBD＝75°﹣45°＝30°，
在Rt△ADB中，∠CAB＝45°，
∴AD＝BD=22AB＝60，
在Rt△CBD中，CD＝BD×tan∠CBD＝60×33=203，
∴AC＝AD+DC＝60+203≈95，
答：A，C两港之间的距离约为95海里．
21．（2020•河南模拟）如图，从A城市到B城市要翻过一座大山，现需要打通隧道，修建高铁方便两地出行，已知在A城市的北偏东30°方向和B城市的北偏西67°方向有一C地，A，C相距230km，求A，B两个城市之间的距离．（参考数据：sin67°≈1213，cs67°≈513，tan67°≈125，3≈1.7，结果精确到1km）
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及BD的长，进而可得出结论．
【解析】过点C作CD⊥AB于点D，
∵C在A城市的北偏东30°方向，距离A地230km，
∴∠ACD＝30°，
∴AD=12×230=115（km），CD＝1153（km），
∵B城市的北偏西67°方向有一C地，
∴∠BCD＝67°，
∴BD＝CD•tan67°≈1153×125≈469（km）．
∴AB＝AD+BD＝115+469＝584（km）．
答：A，B两个城市之间的距离为584km．
22．（2020•朝阳）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+303）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
【分析】过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中证得BD＝CD，设BD＝x，则CD＝x，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，利用三角函数定义表示出AD的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD＝AC列出方程问题得解．
【解析】作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝x，则CD＝x，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2x，tan30°=BDAD，
∴33=xAD，
∴AD=3x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB=BDBC=22，
∴BC=2x，
∵CD+AD＝30+303，
∴x+3x=30+303，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60，BC=2x=302，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：302÷30=2（h），
∵2＜1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时2小时，第二组先到达目的地．
23．（2019秋•大东区期末）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行902km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．
【分析】过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．
【解析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝902，
过B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝902，
∴AE＝BE=22AB＝90km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE=33BE＝303km，
∴AC＝AE+CE＝90+303，
∴A，C两港之间的距离为（90+303）km．
24．（2020•锦州）如图，某海岸边有B，C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东30°方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东60°方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号）
【分析】过D作DF⊥BE于F，根据等腰三角形的性质得到AE＝DE，求得AC＝2BC＝80海里，AB=3BC＝403海里，得到DE＝（403-30）海里，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】过D作DF⊥BE于F，
∵∠ADE＝∠DEB﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝40（海里），
∴AC＝2BC＝80（海里），AB=3BC＝403（海里），
∵BE＝30（海里），
∴AE＝（403-30）（海里），
∴DE＝（403-30）（海里），
在Rt△DEF中，∵∠DEF＝60°，∠DFE＝90°，
∴∠EDF＝30°，
∴EF=12DE=12x，DF=32DE＝（60﹣153）（海里），
∵∠A＝30°，
∴AD＝2DF＝120﹣303（海里），
∴CD＝AC﹣AD＝80﹣120+303=(303-40)海里，
答：乙船与C码头之间的距离为(303-40)海里．