八年级下册初中数学尖子生同步培优专项训练专题10 平行四边形中的存在性问题

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专题10 平行四边形中的存在性问题训练（时间：60分钟  总分：120）      班级            姓名              得分      解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。一、解答题如图，在中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线，设MN交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F．
求证：；
当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．
【答案】解：

，
，
又平分，
，
，
，
同理：，
                                               
当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．            
当点O运动到AC的中点时，，
又，
四边形AECF是平行四边形，
由可知，，
，
，即，
四边形AECF是矩形．                                  
当点O运动到AC的中点时，且满足为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．                                                 
由知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
，

，
，
，
四边形AECF是正方形．【知识点】矩形的判定、正方形的判定【解析】由平行线的性质和角平分线的定义得出，，得出，，即可得出结论；
先证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；
由正方形的性质得出，得出即可．
本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的性质；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
 如图，在中，，，，点D从点C出发沿CA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D，E运动的时间是于点F，连接DE，EF．求证：四边形AEFD是平行四边形当t为何值时，为直角三角形【答案】证明：，，
，
，
由题意得，，，
，，
，
，
，，
四边形AEFD是平行四边形；
当时，如图，
，
，
，即，
解得，，
当时，如图，
，
，
，即，
解得，，
综上所述，当或12时，为直角三角形．【知识点】平行四边形的判定、三角形内角和定理、含30°角的直角三角形、分类讨论思想【解析】本题考查的是平行四边形的判定、直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理、含的直角三角形的性质是解题的关键．
根据三角形内角和定理得到，根据直角三角形的性质求出DF，得到，根据平行四边形的判定定理证明；
分、两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．
 如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设点P，Q运动的时间为．

边的长度为          cm，t的取值范围为          ．
从运动开始，当t取何值时，
从运动开始，当t取何值时，
在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形若存在，请求出t值若不存在，请说明理由．【答案】解：；；
，
当时，四边形PQCD为平行四边形，
，
，，
，
，
当时；
由得当时四边形PQCD为平行四边形，此时，
当P，Q运动到如图的位置时，
过点P作于点E，过点D作于点F，

则，
，
在和中

≌，
，
由得

，
，
，
综上所述，当t的值为4s或8s时，；
不存在理由如下：
要使四边形PQCD为菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形，
由得当时四边形PQCD是平行四边形，
此时，即，
四边形PQCD不是菱形，
所以不存在t的值使四边形PQCD为菱形．【知识点】菱形的性质、矩形的性质、勾股定理、四边形综合、三角形的面积、全等三角形的判定与性质【解析】【分析】
本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定与性质、勾股定理．
过点D作于点H，先证得四边形ABHD是矩形，利用勾股定理求出CD，即可求出答案；
当时，四边形PQCD为平行四边形，即，根据列出方程求解即可；
过点P作于点E，过点D作于点F，先证得≌，根据列出方程，求出解即可；
要使四边形PQCD为菱形，当时四边形PQCD是平行四边形，，即，故不存在t的值使四边形PQCD为菱形．
【解答】
解：如图所示，过点D作DHBC于点H，
，
，ADBC，
，
四边形ABHD是矩形，
，，
，
，
点P从点A运动到点D用1212s，点Q从点C运动到点B用，
所以t的取值范围是0t9，
故答案为：0t9；见答案．
 如下图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时停止运动，另一个动点也随之停止运动设运动的时间为t秒．
设的面积为S，用含t的式子表示
当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形
分别求出当t为何值时，，．
【答案】当点Q运动到点D时，用时为16秒当点P运动到点C时，用时为秒，因为，所以当点P，Q停止运动时，所用时间为秒
在直角梯形ABCD中，依题意知，，
则，，
如下图，过点P作于点E，则四边形ABPE是矩形，

，
．
当四边形PCDQ是平行四边形时，，
即，解得，符合题意．
当时，四边形PCDQ是平行四边形．
由知，．
当时，，
又，
，则，
，
解得，符合题意．
当时，．
当时，，
在中，，
，即，解得，符合题意．当时，．【解析】略
 如图，在中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．
求证：四边形DBEC是平行四边形．
若，，则在点E的运动过程中：
当______时，四边形BECD是矩形，试说明理由；
当______时，四边形BECD是菱形．【答案】解：证明：，
，，
点F是BC的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形BECD是平行四边形；

  ；【知识点】菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、矩形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质【解析】此题主要考查了菱形和矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等，矩形四个角都是直角．
先证明≌，可得，结合，可证四边形BECD是平行四边形；
根据四边形BECD是矩形时，，再由可得，再根据直角三角形的性质可得；
根据四边形BECD是菱形可得，再由，可得，进而可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得答案．
【解答】
解：见答案；
解：；
当四边形BECD是矩形时，，
，
；
，
，
故答案为：2；
，
四边形BECD是菱形时，，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为：4．
 已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，，，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P的运动时间为t秒

当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？
在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
在线段PB上有一点M，且，当P运动______ 秒时，四边形OAMP的周长最小，并画图标出点M的位置．【答案】解：四边形OABC为矩形，，，
，，
点D时OA的中点，
，
由运动知，，
，
四边形PODB是平行四边形，
，
，
；
当Q点在P的右边时，如图1，

四边形ODQP为菱形，
，
在中，由勾股定理得：      
；
，


当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2，

同的方法得出 ，
，
当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3，

同的方法得出，  ，

，   
如图4，

由知，，
，
，
，
四边形OPMD时平行四边形，
，
四边形OAMP的周长为
，
最小时，四边形OAMP的周长最小，
作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于M，
，
，
，
，
．【知识点】菱形的性质、矩形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、轴对称-最短路线问题、四边形综合、分类讨论思想【解析】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，解的关键是求出OD的值，解的关键时分类讨论的思想，解的关键是找出点M的位置，是一道中等难度的中考常考题．
先求出OA，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论；
分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；
先判断出四边形OAMP周长最小，得出最小，即可确定出点M的位置，再用三角形的中位线得出BM，进而求出PC，即可得出结论．
 如图，在中，，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
求证：；
当D在AB中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由；
若D为AB中点，则当______时，四边形BECD是正方形？
【答案】【知识点】正方形的判定、菱形的判定【解析】证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形ADEC是平行四边形，
；

解：四边形BECD是菱形，
理由是：为AB中点，
，
，
，
，
四边形BECD是平行四边形，
，D为AB中点，
，
四边形BECD是菱形；

当时，，
，
由可知，四边形BECD是菱形，
，
，
四边形BECD是正方形．
先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
求出四边形BECD是平行四边形，求出，根据菱形的判定推出即可；
当，四边形BECD是正方形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 已知，平行四边形ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．
如图，运动过程中，若CP平分，且满足，求的度数．
如图，在问的条件下，连结BP并延长，与CD的延长线交于点F，连结AF，若，求的面积．
如图，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动同时Q点也停止，若，则t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
【答案】解：如图中，

四边形ABCD是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．

如图中，

四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
．

如图中，

，
当时，四边形PDQB是平行四边形，
或或或，
解得或8或，
为或8s或时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．【知识点】平行四边形的性质、四边形综合【解析】如图中，只要证明是等边三角形即可．
如图中，由四边形ABCD是平行四边形，推出，，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题．
如图中，分四种情形列出方程解方程即可．
本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 已知：如图，在▱ABCD中，DE平分，交AB于E，BF平分，交CD于F．
求证：≌；
当AD与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．【答案】证明：▱ABCD，
，，，
，
平分，BF平分，
，
在与中
，
≌，
当时，
平分，
，
，
≌，
，
，
，
四边形DEBF是平行四边形，
，
平行四边形DEBF是矩形．【知识点】平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质【解析】根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，利用全等三角形的判定证明即可；
利用矩形的判定解答即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力，注意：平行四边形的对边平行，对角相等．．
 如图，在菱形ABCD中，，，动点E、F分别从点B、D同时出发，以的速度向点A、C运动，连接AF、CE，取AF、CE的中点G、H，连接GE、设运动的时间为．
    求证：；当t为何值时，四边形EHFG为菱形：探究：是否存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．【答案】证明：动点E、F同时运动且速度相等，
，
四边形ABCD是菱形，
，，
，
四边形AECF是平行四边形，
；
解：当时，四边形EHFG为菱形，理由如下：
过D作于M，连接GH，EF，
，
、H是AF、CE的中点，
，
四边形EGFH是菱形，
，
，，
，
，
四边形DMEF是矩形，
，
，，，
，
，
，
；
解：不存在，假设存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，
四边形EHFG为矩形，
，
，
，
，
解得，，
与原题设矛盾，
不存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形．【知识点】平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质【解析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据菱形的性质得到，，推出，得到四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质定理即可得到结论；
过D作于M，连接GH，EF，推出四边形AECF是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到四边形EGFH是菱形，证得四边形DMEF是矩形，于是得到列方程即可得到结论；
不存在，假设存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，根据矩形的性质列方程即可得到结果．
 如图，在在四边形ABCD中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
 ____cm；当____秒时，四边形PQBA成为矩形．当t为多少时，？是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．【答案】解：；
；
当时，如图，

，
四边形是平行四边形，
，，
，
秒，
如图，梯形PDCQ是等腰梯形时，，
易证，四边形PDEF是矩形，
，
易证，≌，
，
，
．
是等腰三角形时，分三种情况讨论：
当时，即，
；
当时，，
；
当时，，
．
故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒．【知识点】等腰梯形的性质*、四边形综合、矩形的判定、等腰三角形的判定、分类讨论思想【解析】【分析】
此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
过D点作于E，则四边形ABED为矩形．在直角中，已知DC、DE的长，根据勾股定理可以计算EC的长度，根据即可求出BC的长度；
当时，四边形PQBA为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可；
分两种情况，建立方程求解即可得出结论；
因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程速度时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．
【解答】
解：根据题意得：，，则，
如图，过D点作于E，则四边形ABED为矩形，

，，
在中，，，，
，
．
故答案为18；
，，
当时，四边形PQBA为矩形，
即，
解得秒，
故当秒时，四边形PQBA为矩形；
故答案为；
见答案；
见答案．
 如图，在中，，，，点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒，过点D作于点F，连接DE、EF．
求证：；当四边形BFDE是矩形时，求t的值；四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．【答案】解：证明：在中，
，
，
又，
．
当四边形BFDE是矩形时，有，
中，
，
，
，
．
，
，
，
四边形AEFD是平行四边形，
由知：四边形AEFD是平行四边形，
则当时，四边形AEFD是菱形，
，
解得，
又，
适合题意，
故当时，四边形AEFD是菱形．【知识点】菱形的性质、矩形的判定与性质【解析】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数及特殊角的三角函数值等知识，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
由，，证出；
当四边形BEDF是矩形时，为直角三角形且，求出t的值即可；
先证明四边形AEFD为平行四边形．得出，，若为等边三角形，则四边形AEFD为菱形，得出，，求出t的值即可；
 如图，在中，，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD、BE．求证：；当点D是AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；若点D是AB中点，则当的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？【答案】证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形ADEC是平行四边形，
；
解：四边形BECD是菱形，
理由是：为AB中点，
，
，
，
，
四边形BECD是平行四边形，
，D为AB中点，
，
▱四边形BECD是菱形；
当时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：，，
，
，
为BA中点，
，
，
四边形BECD是菱形，
菱形BECD是正方形，
即当时，四边形BECD是正方形．【知识点】平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定【解析】本题考查了本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用．
先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
求出四边形BECD是平行四边形，求出，根据菱形的判定推出即可；
求出，再根据正方形的判定推出即可．
 如图，在菱形ABCD中，，动点E、F分别从点B、D同时出发，以的速度向点A、C运动，连接AF、CE，取AF、CE的中点G、H，连接GE、设运动的时间为．
求证：；当t为何值时，四边形EHFG为菱形；试探究：是否存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．【答案】证明：
动点E、F同时运动且速度相等，
，
四边形ABCD是菱形，
，，，
在与中，，
≌，
，
，
，
，
；

过D作于M，连接GH，EF，
，
，，
四边形AECF是平行四边形，
、H是AF、CE的中点，
，
四边形EGFH是菱形，
，
，，
，
，
四边形DMEF是矩形，
，
，，，
，
，
，

不存在，假设存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，
四边形EHFG为矩形，
，
，
即，
解得，，
与原题设矛盾，
不存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形．【知识点】菱形的判定与性质、矩形的判定、四边形综合、全等三角形的判定与性质【解析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据菱形的性质得到，，，推出≌，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；
过D作于M，连接GH，EF，推出四边形AECF是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到四边形EGFH是菱形，证得四边形DMEF是矩形，于是得到列方程即可得到结论；
不存在，假设存在某个时刻t，使四边形EHFG为矩形，根据矩形的性质列方程即可得到结果．