人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用课时训练

专题28.2特殊角的三角函数值

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2019秋•昌平区期末）已知∠A是锐角，tanA＝1，那么∠A的度数是（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°

【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．

【解析】∵∠A是锐角，tanA＝1，

∴∠A的度数是：45°．

故选：C．

2．（2020•天津模拟）2cos30°的值等于（　　）

A．1 B． C． D．2

【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．

【解析】2cos30°＝2．

故选：C．

3．（2020•顺城区模拟）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB，你认为△ABC最确切的判断是（　　）

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 

C．直角三角形 D．锐角三角形

【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．

【解析】由题意，得

∠A＝45°，∠B＝45°．

∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，

故选：B．

4．（2020•长安区模拟）计算2sin30°﹣2cos60°+tan45°的结果是（　　）

A．2 B． C． D．1

【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．

【解析】2sin30°﹣2cos60°+tan45°

＝221

＝1﹣1+1

＝1．

故选：D．

5．（2019秋•任丘市期末）在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠C＝90°，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．60°

【分析】首先作出图形，可得cosA，继而可求得∠A的度数．

【解析】在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝2，

∴cosA，

则∠A＝45°．

故选：C．

6．（2018•西湖区校级二模）在△ABC中，若||2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　）

A．105° B．90° C．75° D．120°

【分析】直接利用绝对值性质以及特殊角的三角函数值分别得出∠A＝45°，∠B＝30°，进而得出答案．

【解析】∵|sinA|+|cosB|2＝0，

∴sinA，cosB，

∴∠A＝45°，∠B＝30°，

∴∠C的度数是：180°﹣45°﹣30°＝105°．

故选：A．

7．（2020•建邺区二模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案．

【解析】连接BC，

由题意可得：OB＝OC＝BC，

则△OBC是等边三角形，

故sin∠AOC＝sin60°．

故选：D．

8．（2019秋•全椒县期末）已知α为锐角，且sin（α﹣10°），则α等于（　　）

A．70° B．60° C．50° D．30°

【分析】根据特殊角的三角函数值可得α﹣10°＝60°，进而可得α的值．

【解析】∵sin（α﹣10°），

∴α﹣10°＝60°，

∴α＝70°．

故选：A．

9．（2019秋•海陵区校级期末）（cos30°）﹣1的值为（　　）

A．2 B． C． D．

【分析】根据负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数），cos30°计算即可．

【解析】原式＝（）﹣1，

故选：D．

10．（2020•芗城区校级一模）按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是（　　）

A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45° 

C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30°

【分析】根据题意把特殊角的三角函数值代入计算，即可判断．

【解析】A、α＝60°，β＝45°，

α＞β，则y＝sinα；

B、α＝30°，β＝45°，

α＜β，则y＝cosβ；

C、α＝30°，β＝30°，

α＝β，则y＝sinα；

D、α＝45°，β＝30°，

α＞β，则y＝sinα；

故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020•临潭县校级模拟）sin30°+cos60°＝　1　，tan45°+cos60°＝　　．

【分析】把特殊角的三角函数值代入计算，得到答案．

【解析】sin30°+cos60°1，

tan45°+cos60°＝1，

故答案为：1；．

12．（2019秋•和平区校级期中）在△ABC中，若|sinA|+（cosB）2＝0，则∠C的度数是　60°　．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．

【解析】∵|sinA|+（cosB）2＝0，

∴sinA0，cosB0，

∴∠A＝60°，∠B＝60°，

∴∠C的度数是60°．

故答案为：60°．

13．（2019秋•濮阳期末）2sin45°+2cos60°tan60°＝　2　．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．

【解析】原式＝22

1﹣3

2．

故答案为：2．

14．（2019秋•岐山县期末）在△ABC中，若，则△ABC是　等腰　三角形．

【分析】根据非负数的性质可得sinA0，tanB0，然后再得到∠A和∠B的度数，进而可得答案．

【解析】∵，

∴sinA0，tanB0，

∴sinA，tanB，

∴∠A＝30°，∠B＝30°，

∴△ABC是等腰三角形，

故答案为：等腰．

15．（2020•番禺区一模）计算：　3　．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．

【解析】原式

＝3．

故答案为：3．

16．（2019秋•岳阳县期末）△ABC中，如果锐角∠A，∠B满足，则∠C＝　105　度．

【分析】直接利用绝对值的性质结合后偶次方的性质以及特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案．

【解析】由题意得：tanA﹣1＝0，cosB0，

∴tanA＝1，cosB，

∴∠A＝45°，∠B＝30°，

∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°，

故答案为：105．

17．（2018•即墨区自主招生）已知三角函数的变换公式：（a）cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，（b）sin（﹣x）＝﹣sinx，（c）cos（﹣x）＝cosx，则下列说法正确的序号是　②③④　．

①cos（﹣30°）；

②cos75°；

③cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；

④cos2x＝cos2x﹣sin2x．

【分析】根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．

【解析】①cos（﹣30°）＝cos30°，命题错误；

②cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°•cos45°﹣sin30°•sin45°，命题正确；

③cos（x﹣y）＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，命题正确；

④cos2x＝cosx•cosx﹣sinx•sinx＝cos2x﹣sin2x，命题正确；

故答案为：②③④．

18．（2020秋•河口区校级月考）观察下列等式：

①sin30°，cos60°；

②sin45°，cos45°；

③sin60°，cos30°．

（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝　1　．

（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝　44.5　．

【分析】（1）由所提供的等式可得sinα＝cos（90°﹣α）．cosα＝sin（90°﹣α） 且sin2α+cos2α＝1，进而得出答案；

（2）将原式转化为sin21°+sin22°+sin23°+…+cos23°+cos22°+cos21°，再根据sin2α+cos2α＝1，计算即可．

【解析】（1）由所提供的等式可得sinα＝cos（90°﹣α）．cosα＝sin（90°﹣α），sin2α+cos2α＝1，

∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝sin2α+cos2α＝1，

故答案为：1；

（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°

＝sin21°+sin22°+sin23°+…+cos23°+cos22°+cos21°

＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+（sin23°+cos23°）+…+sin245°

＝1+1+1

＝44.5，

故答案为：44.5．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020•灌云县模拟）计算：

（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°

（2）tan260°

【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；

（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．

【解析】（1）原式

；

（2）原式

3

．

20．（2020•崇明区一模）计算：tan260°sin245°．

【分析】代入特殊角的三角函数值即可．

【解析】原式＝（）2（）2

＝3

．

21．（2019秋•阜阳期末）已知∠A为锐角且sinA，则4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A的值是多少．

【分析】先求出∠A＝30°，再根据完全平方公式进行变形，求出cosA，最后代入求出即可．

【解析】∵∠A为锐角，且sinA，

∴∠A＝30°，

∴cosA，2sinA﹣cosA＝21，

∴4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A

＝（2sinA﹣cosA）2

＝（1）2

＝1

．

22．（2018秋•南昌期末）（1）在△ABC中，∠B＝45°，cosA．求∠C的度数．

（2）在直角三角形ABC中，已知sinA，求tanA的值．

【分析】（1）由条件根据∠A的余弦值求得∠A的值，再根据三角形的内角和定理求∠C即可．

（2）根据角A的正弦设BC＝4x，AB＝5x，得AC的长，根据三角函数的定义可得结论．

【解析】（1）∵在△ABC中，cosA，

∴∠A＝60°，

∵∠B＝45°，

∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝75°；

（2）∵sinA，

设BC＝4x，AB＝5x，

∴AC＝3x，

∴tanA．

23．（2020•丛台区校级一模）嘉琪在某次作业中得到如下结果：

sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．

据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．

（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．

（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．

【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；

（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．

【解析】（1）当α＝30°时，

sin2α+sin2（90°﹣α）

＝sin230°+sin260°

＝（）2+（）2

＝1；

（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：

如图，在△ABC中，∠C＝90°，

设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，

∴sin2α+sin2（90°﹣α）

＝（）2+（）2

＝1．

24．要求tan45°的值，可构造直角三角形进行计算，如图所示，作Rt△ABC，使∠C＝90°，直角边AC＝BC＝1，斜边AB．∠ABC＝45°，所以tan45°1．

（1）在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan22.5°的值．请简要写出你添加的辅助线，并求出tan22.5°的值；

（2）仿照（1）求出tan15°的值．

【分析】（1）延长CA到D，使DA＝AC，连结DB，如图1，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝BC＝1，AB．∠ABC＝45°，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠D＝22.5°，然后在Rt△BDC中，根据正切的定义可求出tan22.5°的值；

（2）Rt△ABC，∠C＝90°，AC，BC＝1，AB＝2，∠BAC＝30°，延长CA到D，使AD＝AB＝2，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠D＝15°，然后在Rt△BDC中，根据正切的定义可求出tan15°的值．

【解析】（1）延长CA到D，使DA＝AC，连结DB，如图1，

Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝BC＝1，AB．∠ABC＝45°，

∵AD＝AB，

∴∠D＝∠ABD，

而∠BAC＝∠D+∠ABD＝45°，

∴∠D＝22.5°，

在Rt△BDC中，tanD1，

即tan22.5°1；

（2）Rt△ABC，∠C＝90°，AC，BC＝1，AB＝2，∠BAC＝30°，延长CA到D，使AD＝AB＝2，

∵AD＝AB，

∴∠D＝∠ABD，

而∠BAC＝∠D+∠ABD＝30°，

∴∠D＝15°，

在Rt△BDC中，tanD2，

即tan15°＝2．