2022年中考数学分类汇编22讲专题09 二次函数

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专题09 二次函数
一．选择题
1．（2022·陕西）已知二次函数的自变量对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将抛物线配成顶点式，求出对称轴为，再求出抛物线与x轴的两个交点坐标为和，根据开口向上即可判断．
【详解】解：抛物线，
∴对称轴，顶点坐标为，
当时，，
解得或，
∴抛物线与轴的两个交点坐标为：，，
∴当，，时，，故选：．
【点睛】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
2．（2022·山东潍坊）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（       ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值．
【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1-4c=0，
解得：c=．故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．
3．（2022·湖南郴州）关于二次函数，下列说法正确的是（       ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
【详解】解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为（1，5），故B错误；
该函数有最小值，是小值是5，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
4．（2022·山东青岛）已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】图象开口向下，得a0，a0，
若a0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a>0，则-0)，
由题意得，
解得：，
∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；
检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意；
②号田符合y=−0.1x2+ax+c，
由题意得，
解得：，
∴②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；
检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意；
(3)
解：设总年产量为w，
依题意得：w=−0.1x2+x+1+0.5x+1=−0.1x2+1.5x+2
=−0.1(x2-15x+-)+2
=−0.1(x-7.5)2+7.625，
∵−0.1-1，
∵
∴，
∴-10时，e=f< cd；
当a>0时，画出草图如图：


∴e=f< c0）的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【答案】(1)m=1
(2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；
（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
(1)
解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，
解得：m1=1，m2=−3，
又∵m>0，
∴m=1；
(2)
解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，
∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
60．（2022·四川内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．

(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，点D的坐标为（﹣2，2）；
(3)点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用得到，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；
（3）根据S△PCB：S△PCA=即可求解．
(1)
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
(2)
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．

设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴
∴，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+∠DGE＝∠AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴＝＝，
∴，
∴，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．
此时，
即点D的坐标为（﹣2，2）；
(3)
如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝，
则EB：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
联立方程组或，
解得：x＝6或﹣（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图形面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．
61．（2022·湖北武汉）抛物线交轴于A，两点（A在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．


(1)直接写出A，两点的坐标；
(2)如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
(3)如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)，；
(2)0，或；
(3)．
【分析】（1）令求出x的值即可知道A，两点的坐标；
（2）求出直线的解析式为，分情况讨论：①若点在下方时，②若点在上方时；
（3）设点的横坐标为．过点的直线解析式为．联立，得． 利用A，B点的横坐标求出，，设直线的解析式为，求出，进一步求出，即可求出答案．
(1)
解：令，解得：，，
∴，．
(2)
解：∵，
∴，
∴直线的解析式为．
①若点在下方时，
过点作的平行线与抛物线的交点即为．


∵，，
∴的解析式为．
联立，
解得，，（舍）．
∴点的横坐标为0．
②若点在上方时，点关于点的对称点为．
过点作的平行线，则与抛物线的交点即为符合条件的点．
直线的解析式为．
联立，得，
解得，，．
∴点，的横坐标分别为，．
∴符合条件的点的横坐标为：0，或．
(3)
解：设点的横坐标为．过点的直线解析式为．
联立，得．
设，是方程两根，则．（*）
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
同（*）得，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，难度较大，需要掌握函数与x轴交点坐标，（1）的
关键是令进行求解；（2）的关键是分点在下方和在上方时两种情况讨论：（3）的关键是求出OP，FP．
62．（2022·湖南常德）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．

(1)求此抛物线的解析式；(2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；(3)在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值
【答案】(1)
(2)
(3) 的最大值为
【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设 且 记OA与对称轴的交点为Q，设直线为： 解得： 可得直线为： 则 利用列方程，再解方程即可；
（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．
(1)
解： 抛物线经过点，
∴设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
∴抛物线为：
(2)
解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，
设 且 记OA与对称轴的交点为Q，

设直线为：
解得：
直线为：



解得：或
∵ 则

(3)
如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，



设AB为： 代入A、B两点坐标，
解得：
∴AB为：

解得：

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定最大时P的位置是解本题的关键．
63．（2022·湖南娄底）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．


(1)请直接写出点，，的坐标；(2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．(3)点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；(2)，面积的最大值；
(3)存在，或或．
【分析】（1）令得到，求出x即可求得点A和点B的坐标，令，则即可求点C的坐标；
（2）过P作轴交BC于Q，先求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，利用三角形面积公式求解；（3）根据点是抛物线上的动点，作//交轴于点得到，设，当点F在x轴下方时，当点F在x轴的上方时，结合点，利用平行四边形的性质来列出方程求解．
(1)解：令，则，
解得，，∴，，
令，则，∴；
(2)解：过P作轴交BC于Q，如下图．

设直线BC为，将、代入得
，解得，∴直线BC为，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，
∵， ∴ ，，
∴，
∵，∴时，PQ最大为，
而，∴的面积最大为；
(3)解：存在．∵点是抛物线上的动点，作//交轴于点，如下图．
∴，设．
当点F在x轴下方时，∵，即，∴，
解得（舍去），，∴．
当点F在x轴的上方时，令，则 ，
解得，， ∴或．
综上所述，满足条件的点F的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数与平行四边形、二次函数与面积等问题的综合题，主要考查求点的坐标，平行四边形的性质，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等．
64．（2022·广东深圳）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．













(1)的值为                                     ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则                                 （填“”或“”或“”）
【答案】(1)
(2)图见解析，和
(3)或
【分析】（1）把点代入即可求解．
（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．
（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解．
【解析】(1)解：当时，，
∴．
(2)平移后的图象如图所示：

由题意得：，解得，
当时，，则交点坐标为：，
当时，，则交点坐标为：，
综上所述：与的交点坐标分别为和．
(3)由平移后的二次函数可得：对称轴，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，
当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，
综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．