2022年中考数学分类汇编22讲专题13 相似三角形

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专题13 相似三角形
一．选择题
1．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，相交于点E，，则的长为（       ）


A． B．4 C． D．6
【答案】C
【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE的长，即可求得BD的长．
【详解】∵ ∴ ∴
∵，∴
∵ ∴ 故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．
2．（2022·广西贺州）如图，在中，，则的值是（       ）


A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：∴ ，
∴，故选：B．
【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3．（2022·广西梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（       ）

A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：由题意可知，四边形与四边形相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：，
又四边形的面积是2，∴四边形的面积为18，故选：D．
【点睛】本题考察相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．
4．（2022·四川雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求解再证明可得
【详解】解： ＝，
DE∥BC， 故选D
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．
5．（2022·内蒙古包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（       ）

A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【答案】D
【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．
【详解】如图：由题意可知，，， ∴，
而，∴四边形DCBM为平行四边形，
∴，∴，，
∴，∴．故选：D．


【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．
6．（2022·黑龙江绥化）如图，在矩形中，P是边上的一个动点，连接，，过点B作射线，交线段的延长线于点E，交边于点M，且使得，如果，，，，其中．则下列结论中，正确的个数为（       ）
（1）y与x的关系式为；（2）当时，；（3）当时，．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】（1）证明，得，将，，代入，即可得y与x的关系式；
（2）利用两组对应边成比例且夹角相等，判定；
（3）过点M作垂足为F，在中，由勾股定理得BP的长，证明，求出，，BF的长，在中，求出的值即可．
【详解】解：（1）∵在矩形中，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故（1）正确；
（2）当时，，
∴，
又∵，
∴，
故（2）正确；
（3）过点M作垂足为F，


∴，
∵当时，此时，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
故（3）不正确；故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键．
7．（2022·湖北鄂州）如图，定直线MNPQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC=12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（       ）


A．24 B．24 C．12 D．12
【答案】C
【分析】如图所示，过点F作交BC于H，连接EH，可证明四边形CDFH是平行四边形，得到CH=DF=8，CD=FH，则BH=4，从而可证四边形ABHE是平行四边形，得到AB=HE，即可推出当E、F、H三点共线时，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，延长AE交PQ于G，过点E作ET⊥PQ于T，过点A作AL⊥PQ于L，过点D作DK⊥PQ于K，证明四边形BEGC是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，得到EG=BC=12，然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET和TF的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点F作交BC于H，连接EH，
∵，
∴四边形CDFH是平行四边形，
∴CH=DF=8，CD=FH，
∴BH=4，
∴BH=AE=4，   
又∵，
∴四边形ABHE是平行四边形，
∴AB=HE，
∵，
∴当E、F、H三点共线时，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，
延长AE交PQ于G，过点E作ET⊥PQ于T，过点A作AL⊥PQ于L，过点D作DK⊥PQ于K，
∵，
∴四边形BEGC是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，
∴EG=BC=12，
∴，
同理可求得，，
∴，   
∵AL⊥PQ，DK⊥PQ，
∴，
∴△ALO∽△DKO，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线推出当E、F、H三点共线时，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF是解题的关键．
8．（2022·广西贵港）如图，在边长为1的菱形中，，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（       ）

A． B． C． D．的最小值为
【答案】D
【分析】先证明△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，得DF=CE，判断A项答案正确，由∠GCB+∠GBC=60゜，得∠BGC=120゜，判断B项答案正确，证△BEG△CEB得 ，即可判断C项答案正确，由，BC=1，得点G在以线段BC为弦的弧BC上，易得当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判断D项错误．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，
∴△BAF≌△DAF≌CBE，△ABC是等边三角形，
∴DF=CE，故A项答案正确，
∠ABF=∠BCE，
∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，
∴∠GCB+∠GBC=60゜，
∴∠BGC=180゜-60゜=180゜-（∠GCB+∠GBC）=120゜，故B项答案正确，
∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴ ，
∴，
∵，
∴，故C项答案正确，
∵，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，
∴当点G在等边△ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，
   
∵△ABC是等边三角形，BC=1，
∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，
∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，
∴ 解得AG=，故D项错误，
故应选：D
【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9．（2022·贵州贵阳）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（       ）


A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解．
【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴△ADC与△ACB的周长比1:2，故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键．
10．（2022·广西）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（       ）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【答案】C
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．
【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：C．
【点睛】本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
11．（2022·山东临沂）如图，在中，，，若，则（     ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，，可得再建立方程即可．
【详解】解： ，，
，
解得：经检验符合题意故选C
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“”是解本题的关键．
12．（2022·山东威海）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为(     )


A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6
【答案】C
【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=，再由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°
∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，
∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，
∴与△AOB位似的三角形为△GOH，
设OA=x，则OB=，
∴OC=，∴OD=，…
∴OG=，∴，∴，
∵，∴，故选：C．
【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键．
二．填空题
13．（2022·贵州黔东南）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则______cm．

【答案】
【分析】根据折叠的性质可得DE=DC=4，EM=CM=2，连接DF，设FE=x，由勾股定理得BF，DF，从而求出x的值，得出FB，再证明，利用相似三角形对应边成比例可求出FG．
【详解】解：连接如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴
∵点M为BC的中点，
∴
由折叠得，∠
∴∠，
设则有
∴
又在中，，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得，（舍去）
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴∠
又∠
∴△
∴即
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
14．（2022·上海）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____．

【答案】或
【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解．
【详解】解：∵D为AB中点，
∴，即，
取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，，
∴，
在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC＝，
∵DE1∥BC，
∴∠DE1E2=60°，
∴△DE1E2是等边三角形，
∴DE1＝DE2＝E1E2＝，
∴E1E2＝，
∵，
∴，即，
综上，的值为：或，
故答案为：或．

【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键．
15．（2022·北京）如图，在矩形中，若，则的长为_______．

【答案】1
【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可．
【详解】解：在矩形中：，，
∴，，
∴，∴，故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
16．（2022·江苏常州）如图，在中，，，．在中，，，．用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是______．

【答案】28
【分析】过点作的垂线交于，同时在图上标出如图，需要知道的是的被染色的区域面积是，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．
【详解】解：过点作的垂线交于，同时在图上标出如下图：


，，，
，
在中，，，．
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得：，   
，
，
，   
，
，
，
同理可证：，   
，
，
，
的外部被染色的区域面积为，
故答案为：28．
【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．
17．（2022·广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．

【答案】12
【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．
【详解】解：设旗杆为AB，如图所示：


根据题意得：，
∴
∵米，米，米，
∴
解得：AB=12米．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
18．（2022·广东深圳）已知是直角三角形，连接以为底作直角三角形且是边上的一点，连接和且则长为______．

【答案】
【分析】将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，利用证明，得，，从而得出，则，即可解决问题．
【详解】解：将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，HE，

是等腰直角三角形，
又是等腰直角三角形，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
19．（2022·广西河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝_____．

【答案】##0.625
【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而判断出△ABG≌△BEH，得出
∠BAG=∠EBH，进而求出∠AOB=90°，再判断出△AOB~△ABG，求出，再判断出△OBM～△OAN，求出BM=1，即可求出答案．
【详解】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴，
∴四边形ABEF是矩形，
由题意知，AD=2AB，
∴AF=AB，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AB=BE，∠ABE=∠BEF=90°，
∵BG=EH，
∴△ABG≌△BEH（SAS），
∴∠BAG=∠EBH，
∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，
∴∠AOB=90°，
∵BG＝EH＝BE＝2，
∴BE=5，
∴AF=5，
∴，
∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，
∴△AOB∽△ABG，
∴，即，
∴，
∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°=∠AOB，
∴∠BOM=∠AON，
∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，
∴∠OBM=∠OAN，
∴△OBM～△OAN，
∴，
∵点N是AF的中点，
∴，
∴，解得：BM=1，
∴AM=AB-BM=4，
∴．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出BM是解本题的关键．
20．（2022·内蒙古赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为_________m．（结果取整数，）

【答案】17
【分析】如图容易知道CD⊥BD，AB⊥BD，即∠CDO=∠ABO=90°．由光的反射原理可知∠COD=∠AOB=60°，这样可以得到△COD∽△AOB，然后利用对应边成比例就可以求出AB．
【详解】解：由题意知∠COD=∠AOB=60°，∠CDE=∠ABE=90°，
∵CD=1.7m，
∴OD=≈1(m)，
∴OB=11-1=10(m)，
∴△COD∽△AOB．
∴，即，
∴AB=17(m)，
答：旗杆AB的高度约为17m．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．
21．（2022·湖北鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 _____．

【答案】
【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴，
∴BF=4，
∴，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABP的周长，
故答案为：．


【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
22．（2022·山东潍坊）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为___________．

【答案】
【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；
【详解】解：正方形ABCD的面积为4，
，
，
，
，
所求周长；
故答案为：．
【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD的边长．
23．（2022·内蒙古包头）如图，在中，，，D为边上一点，且，连接，以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点E（异于点C），连接，则的长为___________．

【答案】##
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据题意得出，根据等腰三角形性质得出，根据，，得出，设，则，证明，得出，列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可得出．
【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：

根据作图可知，，
∵DF⊥BC，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，作出辅助线，根据题意求出CF的长，是解题的关键．
24．（2022·江苏泰州）如图上，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为__________.

【答案】2或##或2
【分析】分析判断出符合题意的DE的情况，并求解即可；
【详解】解：①如图，作，，连接OB，则OD⊥AC，


∵，
∴
∵O为的内心，
∴，
∴
∴，
同理，，
∴DE=CD+BE，

∵O为的内心，
∴，
∴
∴
∴
②如图，作，

由①知，，，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键．
25．（2022·黑龙江绥化）如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使.按照此规律，线段的长为________．

【答案】
【分析】解直角三角形分别求得，，，……，探究出规律，利用规律即可解决问题．
【详解】解：，
是直角三角形，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，
同理可得：，，……，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的规律，解直角三角形，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会探究规律的方法．
26．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．

【答案】
【分析】先求出，可得，再根据题意可得，从而得到∽∽∽∽……∽，再利用相似三角形的性质，可得∶∶∶∶……∶= ，即可求解．
【详解】解：当x=1时，，
∴点，
∴，
∴，
∵根据题意得：，
∴∽∽∽∽……∽，
∴∶∶∶：……∶= OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2，
∵，，，，……，
∴，，，……，，
∴∶∶∶∶……∶= ，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．
27．（2022·广西）如图，在正方形ABCD中，，对角线相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作，分别交于点F、G，连接BF，交AC于点H，将沿EF翻折，点H的对应点恰好落在BD上，得到若点F为CD的中点，则的周长是_________．

【答案】##
【分析】过点E作PQAD交AB于点P，交DC于点Q，得到BP=CQ，从而证得≌，得到BE=EF，再利用，F为中点，求得，从而得到，再求出，再利用ABFC，求出，得到，求得，，从而得到EH=AH-AE=，再求得得到，求得EG=，OG=1， 过点F作FM⊥AC 于点M，作FN⊥OD于点N，求得FM=2，MH=，FN=2，证得Rt≌Rt得到，从而得到ON=2，NG=1， ，从而得到答案．
【详解】解：过点E作PQAD交AB于点P，交DC于点Q，


∵ADPQ，
∴AP=DQ，，
∴BP=CQ，
∵，
∴BP=CQ=EQ，
∵EF⊥BE，
∴
∵
∴，
在与中   

∴≌，
∴BE=EF，
又∵，F为中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，   
∴，
∴AE=AO-EO=4-2=2，
∵ABFC，
∴，
∴，
∴，
∵，   
∴，
，
∴EH=AH-AE=，
∵，
，
∴，
又∵，   
∴
∴，
，
∴EG=，OG=1，
过点F作FM⊥AC 于点M，
∴FM=MC==，
∴MH=CH-MC=，   
作FN⊥OD于点N，
，
在Rt与Rt中

∴Rt≌Rt
∴，
∴ON=2，NG=1，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质应用，重点是与三角形相似和三角形全等的结合，熟练掌握做辅助线是解题的关键．
28．（2022·辽宁）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________．

【答案】3
【分析】由正方形的性质可知，，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为3．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
29．（2022·贵州贵阳）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，．若，则的面积是_______，_______度．

【答案】     ##    
【分析】通过证明，利用相似三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出其长度，即可求三角形ABE的面积，过点E作EF⊥AB，垂足为F，证明是等腰直角三角形，再求出，继而证明，可知，利用外角的性质即可求解．
【详解】

，
，
，
，
设，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得或，
对角线，相交于点，
，
，
，
，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
三．解答题
30．（2022·河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．


(1)求∠C的大小及AB的长；
(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）
【答案】(1)，
(2)见详解，约米
【分析】（1）由水面截线可得，从而可求得，利用锐角三角形的正切值即可求解．
（2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，水面截线，即可得DH即为所求，由圆周角定理可得，进而可得，利用相似三角形的性质可得，利用勾股定理即可求得的值，从而可求解．
(1)
解：∵水面截线
，
，
，
在中，，，
，
解得．
(2)
过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：


水面截线，，
，，
为最大水深，
，
，
，且，
，
，即，即，
在中，，，
，即，
解得，
，
最大水深约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．
31．（2022·吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？

解：相等．理由如下：
设与之间的距离为，则，．
∴．
【探究】
(1)如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则．

证明：∵


(2)如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则．

证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
∴ ．
∴ ．
∴．
由【探究】（1）可知 ，
∴．
(3)如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ．

【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据三角形的面积公式可得，由此即可得证；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，先根据平行线的判定可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；
（3）过点作于点，过点作于点，先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式可得，，由此即可得出答案．
(1)
证明：，，
．
(2)
证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，

．
．
．
由【探究】（1）可知，
．
(3)
解：过点作于点，过点作于点，则，

，
，
，
点所对应的刻度值分别为5，，0，
，，
，
又，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
32．（2022·山东青岛）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题：


(1)当时，求t的值；
(2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用得，即，进而求解；
（2）分别过点C，P作，垂足分别为M，N，证得，，求得，再证得，得出，根据即可求出表达式；
（3）当时，易证，得出，则，进而求出t值．
(1)
解：在中，由勾股定理得，
∵绕点A按逆时针方向旋转得到
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
答：当时，t的值为．


(2)
解：分别过点C，P作，垂足分别为M，N
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴

∴




∴
(3)
解：假设存在某一时刻t，使


∵
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
∴存在时刻，使．
【点睛】本题考查了旋转与相似，利用勾股定理求线段长，平行线的性质，根据旋转的性质，找到相似图形是解决问题的关键，是中考中的常考题．
33．（2022·江苏泰州）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.


(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
(2)在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)2
(2)图见详解
(3)直线BC与⊙F相切，理由见详解
【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解；
（2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后问题可求解．
(1)
解：∵DE∥AB，
∴，
∴，
∵AB=5，BD=9，DC=6，
∴，
∴；
(2)
解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
如图所示：点F即为所求，


(3)
解：直线BC与⊙F相切，理由如下：
作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，


∵∠DFA=∠A，
∴四边形ABRF是等腰梯形，
∴，
∵△FBC的面积等于，
∴，
∴CD⊥DF，
∵FD是⊙F的半径，
∴直线BC与⊙F相切．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键．
34．（2022·山东威海）回顾：用数学的思维思考

(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
(2)猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
(3)探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)添加条件CD=BE，见解析
(3)能，0＜CF＜
【分析】（1）①利用ASA证明△ABD≌△ACE．
②利用SAS证明△ABD≌△ACE．
（2）添加条件CD=BE，证明AC+CD=AB+BE，从而利用SAS证明△ABD≌△ACE．
（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，当BD=BF=BA时，可证△CBF∽△BAF，运用相似性质，求得CF的长即可．
(1)
①如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，

∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE =∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴AE=AD，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
(2)
添加条件CD=BE，证明如下：
∵AB=AC，CD=BE，

∴AC+CD=AB+BE，
∴AD=AE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
(3)
能
在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，

当BD=BF=BA时，E与A重合，
∵∠A＝36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，
∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，
∴△CBF∽△BAF，
∴，
∵AB＝AC＝2=BF， 设CF=x，
∴，
整理，得，
解得x=，x=（舍去），
故CF= x=，
∴0＜CF＜．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定性质是解题的关键．
35．（2022·山东烟台）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
(1)
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
(2)
解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
(3)
解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
36．（2022·黑龙江绥化）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．

(1)如图一，在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G.利用面积证明：．
(2)如图二，将矩形沿着折叠，使点A与点C重合，点B落在处，点G为折痕上一点，过点G作于M，于N.若，，求的长．
(3)如图三，在四边形中，E为线段上的一点，，，连接，且，，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，利用等面积法，根据等腰中，，即可得到结论；
（2）根据题中条件，利用折叠性质得到，结合矩形中得到，从而有，从而确定是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论；
（3）延长交于，连接，过点作于，根据，，，得到是等腰三角形，从而由（1）知，在中，，在中，，，联立方程求解得，从而得到结论．
(1)
证明：连接，如图所示：


在等腰中，，边上有一点D，过点D作于E，于F，过点C作于G，
由得，
；
(2)
解：连接，过点作于，如图所示：


根据折叠可知，
在矩形中，，则，
，即是等腰三角形，
在等腰中，，边上有一点G，过点G作于M，于N，过点作于，由（1）可得，
在中，，，则，
在四边形中，，则四边形为矩形，
，即；
(3)
解：延长交于，连接，过点作于，


在四边形中，E为线段上的一点，，，则，
又，
，
，即是等腰三角形，
由（1）可得，
设，
，，，
在中，，
在中，，，
，解得，
，即．
【点睛】本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（1）中的证明过程与结论并运用到其他情境中是解决问题的关键．
37．（2022·黑龙江齐齐哈尔）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：

(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)图③中，AB=2，BC=3，则 ；
(3)当AB=m , BC=n时． ．
(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 ．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先证明△ABF≌△CBE，得AF=CE，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可；
（2）连接AF，先证明△ABF∽△CBE，得到AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可；
（3）连接AF，先证明△ABF∽△CBE，用含m、n的代数式表达出AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=，等量代换即可；
（4）过M作MH⊥AB于H，根据折叠性质得∠C=∠MPN，根据角平分线证明出∠C=∠PMH，设CM=PM=x，HM=y，根据三角函数定义找到x、y之间的关系，再利用△AHM∽△ABC，得到，代入解方程即可．
(1)
解：，理由如下：
∵AB=BC，四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠CBE=90°，
∵E、F为BC，AB中点，
∴BE=BF，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，
∵H为DF中点，G为AD中点，
∴GH=，
∴．
(2)
解：，
连接AF，如图所示，


由题意知，BF==1，BE==，
∴，
由矩形ABCD性质及旋转知，∠ABC=∠CBE=90°，
∴△ABF∽△CBE，
∴AF：CE=2:3，
∵G为AD中点，H为DF中点，
∴GH=，
∴．
故答案为：．
(3)
解：，
连接AF，如图所示，


由题意知，BF==，BE==，
∴，
由矩形ABCD性质及旋转知，∠ABC=∠CBE=90°，
∴△ABF∽△CBE，
∴AF：CE=m：n，
∵G为AD中点，H为DF中点，
∴GH=，
∴．
故答案为：．
(4)
解：过M作MH⊥AB于H，如图所示，


由折叠知，CM=PM，∠C=∠MPN，
∵PM平分∠APN，
∴∠APM=∠MPN，
∴∠C=∠APM，
∵AB=2，BC=3，
∴AC=，
设CM=PM=x，HM=y，
由知，，
即，，   
∵HM∥BC，
∴△AHM∽△ABC，
∴，
即，，
∴，
解得：x=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的性质与判定、三角函数定义等知识点，找到相似三角形是解题关键．
38．（2022·湖南郴州）如图1，在矩形ABCD中，，．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于点F．


(1)求证：；
(2)如图2，连接CF，过点B作，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．
①求的最小值；
②当取最小值时，求线段DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)①5；②或
【分析】（1）证明出即可求解；
（2）①连接AM．先证明．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时，．此时，取最小值．在中利用勾股定理即可求出AM，则问题得解．②先求出AF，求AF的第一种方法：过点M作交FC于点N，即有，进而有．设，则，．再根据，得到，得到，则有，解方程即可求出AF；求AF的第二种方法：过点G作交BC于点H．即有．则有，根据，可得，进而求出，．由得，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的结论可得．设，则，即有，解得解方程即可求出DE．
(1)
证明：如图1，


∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)
①解：如图2-1，连接AM．


∵，
∴是直角二角形．
∴．
∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．
当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：，
当A，G，M三点共线时，．
此时，取最小值．在中，．
∴的最小值为5．
②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作交FC于点N，


∴．
∴．
设，则，
∴．
∵，
∴，
∴，
由①知的最小值为5、即，
又∵，
∴．
∴，解得，即．
（求AF的方法二）
如图2-3，过点G作交BC于点H．


∴．
∴，
由①知的最小值为5，即，
又∵，
∴．
∴，．
由得，
∴，即，
解得．
∴．
由（1）的结论可得．
设，则，
∴，
解得或．
∵，，
∴或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
39．（2022·山东潍坊）【情境再现】
甲、乙两个含角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接，如图③所示，交于E，交于F，通过证明，可得．
请你证明：．

【迁移应用】
延长分别交所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明与的位置关系．

【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系．

【答案】证明见解析；垂直；
【分析】证明，即可得出结论；通过，可以求出，得出结论；证明，得出，得出结论；
【详解】证明：，
，
，
，
，
，
；
迁移应用：，
证明：，
，
，
，
，
，
，
；
拓展延伸：，
证明：在中，，
在中，，
，
由上一问题可知，，
，
，
．
【点睛】本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质．
40．（2022·广西贵港）已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O．

(1)如图1，若连接，则的形状为______，的值为______；
(2)若将沿直线l平移，并以为一边在直线l的上方作等边．
①如图2，当与重合时，连接，若，求的长；
②如图3，当时，连接并延长交直线l于点F，连接．求证：．
【答案】(1)等腰三角形，
(2)①；②见解析
【分析】（1）过点C作CH⊥BD于H，可得四边形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，进而可判断△BCD的形状，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根据三角形相似的性质即可求解．
（2）①过点E作于点H，AC，BD均是直线l的垂线段，可得，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求解．
②连接，根据，得，即是等边三角形，把旋转得，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到，则可得，根据三角形相似的性质即可求证结论．
(1)
解：过点C作CH⊥BD于H，如图所示：

∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，
∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，
∴四边形ABHC是矩形，
∴AC=BH，
又∵BD=2AC，
∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，
∴的形状为等腰三角形，
∵AC、BD都垂直于l，
∴△AOC∽△BOD，
，即，
，
故答案为：等腰三角形，．
(2)
①过点E作于点H，如图所示：

∵AC，BD均是直线l的垂线段，
∴，
∵是等边三角形，且与重合，
∴∠EAD=60°，
∴，
∴，
∴在中，，，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
又由（1）知，
∴，则，
∴在中，由勾股定理得：．
②连接，如图3所示：

∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
又∵是等边三角形，
∴绕点D顺时针旋转后与重合，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．
41．（2022·辽宁）如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接．
　　 　　

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）连接，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可得证；
（2）证明，根据（1）的结论即可得；
（3）连接，过点作于，证明，可得，勾股定理求得，根据，，可得，进而求得，根据求得，根据（2）的结论，即可求解．
(1)
证明：如图，连接，

，D，E，F分别为的中点，
，，
，
，
(2)
，理由如下，
连接，如图，
，D，E，F分别为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，

将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，
，
，
，
，
，
，
(3)
如图，连接，过点作于，

中，,
，
，
，
，
，
，
，
中，
，
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
42．（2022·辽宁营口）如图1，在正方形中，点M为边上一点，过点M作且，连接，点P，Q分别为的中点，连接．

(1)证明：；
(2)将图1中的绕正方形的顶点D顺时针旋转．
①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由；
②若，在绕点D旋转的过程中，当B，M，N三点共线时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)①成立，见解析；②的长为或
【分析】（1），连接，取的中点，连接，证明是等腰直角三角形，根据中位线的性质即可得证；
（2）①如图，连接，取的中点，连接，证明，证明，过点作于点，证明，则，根据中位线的性质即可得证；
②分情况讨论，根据勾股定理即可求的的长，根据①的结论即可求解．
(1)
如图，连接，取的中点，连接，

且，
是等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，则，
且D,N,B在边CD的同侧，
三点共线，
设，，则，，
分别为的中点，
，
分别为的中点，
，，

过点作
则是等腰直角三角形

垂直平分
，
，
，
(2)
①如图，连接，取的中点，连接，

，
，
，
，
，
，，
分别为的中点，
，，
，，
分别为的中点，
，，
，，
，



过点作于点，

则是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
②如图，当共线，在的上方时，

，
，
中，，
，
，
，
，
，
，
如图，当共线，在的左边时，

中，，
，
，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．
43．（2022·四川内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．

(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
(2)若＝2，求的值；
(3)若MN∥BE，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF≌ △ECF，得BM＝CE，再利用点E为CD的 中点，即可证明结论；
(2)利用△BMF∽△ECF，得，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC ，得 ，求出AN的长，可得答案；
(3)首先利用同角的余角相等得 ∠CBF＝ ∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，得 ，可得BM的长，由（2）同理可得答案．
(1)
证明：∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，
∵∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF≌△ECF（AAS），
∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝CD，
∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴AM＝CE；
(2)
∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF∽△ECF，
∴，
∵CE＝3，
∴BM＝，
∴AM＝，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，
∴△ANM∽△BMC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴；
(3)
∵MN∥BE，
∴∠BFC＝∠CMN，
∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，
∴∠CBF＝∠CMB，
∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）同理得，，
∴，
解得：AN＝，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键．
44．（2022·贵州铜仁）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值．

【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）
【分析】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到，设，则，证明△OGF∽△OHN，推出，，则，由（2）结论求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；


（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴，
∴，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴；
∴；


（3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，
∵，
∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，
∴△OEF≌△OCD（AAS），
∴OD=OF，
∵，
∴△OEF∽△OAM，
∴，
设，则，
∵H是AB的中点，N是BM的中点，
∴HN是△ABM的中位线，
∴，
∴△OGF∽△OHN，
∴，
∵OG=2GH，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由（2）可知．


【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
45．（2022·湖南）如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】（1）连接，根据圆周角推论得，根据点是的中点得，，用ASA证明，即可得；
（2）根据题意和全等三角形的性质得，根据四边形ABCD内接于圆O和角之间的关系得，即可得，根据相似三角形的性质得，即可得
(1)
证明：如图所示，连接，

为直径，
，
又点是的中点
，，
在和中，

，
，
；
(2)
解：，，
，
又四边形内接于圆，
，
又，
，
又，
，
，
即：，
解得：，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．
46．（2022·吉林长春）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)网格中的形状是________；
(2)在图①中确定一点D，连结、，使与全等：
(3)在图②中的边上确定一点E，连结，使：
(4)在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2．
【答案】(1)直角三角形
(2)见解析（答案不唯一）
(3)见解析
(4)翙解析
【分析】（1）运用勾股定理分别计算出AB，AC，BC的长，再运用勾股定理逆定理进行判断即可得到结论；
（2）作出点A关于BC的对称点D，连接BD，CD即可得出与全等：
（3）过点A作AE⊥BC于点E，则可知：
（4）作出以AB为斜边的等腰直角三角形，作出斜边上的高，交AB于点P，交BC于点Q，则点P，Q即为所求．
(1)
∵
∴,
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
(2)
如图，点D即为所求作，使与全等：

(3)
如图所示，点E即为所作，且使：

(4)
如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．