2022年中考数学分类汇编22讲专题19 应用题

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专题19 应用题（函数、不等式、方程）
一．解答题
1．（2022·广西梧州）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成的龙眼干．
(1)若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg?
(2)在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出，超出部分平均售价是5元/kg，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．设某果农有新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为w元，请写出w与a的函数关系式．
【答案】(1)龙眼干的售价应不低于36元/kg
(2)
【分析】(1)设龙眼干的售价应不低于x元/kg，新鲜龙眼共3a千克，得到总收益为12×3a=36a元；加工成龙眼干后总收益为ax元，再根据龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益得到不等式ax≥36a，解出即可；
(2)设龙眼干的售价为y元/千克，当千克时求出新鲜龙眼的销售收益为元，龙眼干的销售收益为元，根据“龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，且龙眼干的定价取最低整数价格”得到，解出；然后再当千克时同样求出新鲜龙眼收益与龙眼干收益，再相减即可求解．
(1)解：设龙眼干的售价应不低于x元/kg，设新鲜龙眼共3a千克，总销售收益为12×3a=36a（元），
加工成龙眼干后共a千克，总销售收益为x×a=ax（元），
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴ax≥36a，解出：x≥36，故龙眼干的售价应不低于36元/kg．
(2)解：千克的新鲜龙眼一共可以加工成千克龙眼干，设龙眼干的售价为y元/千克，则龙眼干的总销售收益为元，
当千克时，新鲜龙眼的总收益为元，
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴，解出元，
又龙眼干的定价取最低整数价格，∴，
∴龙眼干的销售总收益为，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差元；
当千克时，新鲜龙眼的总收益为元，
龙眼干的总销售收益为元，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差
元，
故与的函数关系式为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的实际应用等，本题的关键是读懂题意，明确题中的数量关系，正确列出函数关系式或不等式求解．
2．（2022·黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】(1)购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元
(2)有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根
(3)方案三需要费用最少，最少费用是550元
【分析】（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，可列方程组，
解方程组即可求得结果；
（2）根据题意可列出不等式组，解得：，由此即可确定方案；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得，结合函数图像的性质，可知w随m的增大而减小，即当时．
(1)解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得，解得，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
(2)根据题意，得，
解得，
∵m为整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
(3)设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得
∵，∴w随m的增大而减小，
∴当时，w有最小值，即w（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．
【点睛】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．
3．（2022·黑龙江牡丹江）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋
价格
甲
乙
进价（元/双）
m
m﹣20
售价（元/双）
240
160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）m=10；（2）11种；（3）购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双，可获得最大利润
【分析】（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可．
（2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答．
（3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）依题意得，，
去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100．
经检验，m=100是原分式方程的解．∴m=100．
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得，，
解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，
∴不等式组的解集是95≤x≤105．
∵x是正整数，105﹣95+1=11，∴共有11种方案．
（3）设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
∴当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双．
②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样．
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
∴当x=95时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
4．（2022·福建）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
【答案】(1)购买绿萝38盆，吊兰8盆
(2)369元
【分析】（1）设购买绿萝盆，购买吊兰盆，根据题意建立方程组，解方程组即可得到答案；（2）设购买绿萝盆，购买吊兰盆，总费用为，得到关于的一次函数，再建立关于的不等式组，解出的取值范围，从而求得的最小值．
(1)设购买绿萝盆，购买吊兰盆
∵计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆∴
∵采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，绿萝每盆9元，吊兰每盆6元
∴
得方程组解方程组得
∵38>2×8，符合题意∴购买绿萝38盆，吊兰8盆；
(2)设购买绿萝盆，购买吊兰吊盆，总费用为
∴，
∴
∵总费用要低于过390元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍
∴将代入不等式组得
∴∴的最大值为15
∵为一次函数，随值增大而减小
∴时，最小∴∴元
故购买两种绿植最少花费为元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数、不等式组的性质，解题的关键是数量掌握二元一次方程组、一次函数、不等式组的相关知识．
5．（2022·湖北恩施）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．
(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？(2)若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
【答案】(1)甲种客车每辆元，乙种客车每辆元
(2)租用甲种客车5辆，乙种客车3辆，租车费用最低为1900元
【分析】（1）可设甲种客车每辆元，乙种客车每辆元，根据等量关系：一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元，列出方程组求解即可；
（2）设租车费用为元，租用甲种客车辆，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，进而列出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可．
(1)解：设甲种客车每辆元，乙种客车每辆元，依题意知，
，解得 ，
答：甲种客车每辆元，乙种客车每辆元；
(2)解：设租车费用为元，租用甲种客车 辆，则乙种客车 辆，
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
取整数，
最大为，
时，费用最低为（元，
（辆．
答：租用甲种客车5辆，乙种客车3辆，租车费用最低为1900元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
6．（2022·广西梧州）梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干（又叫带壳圆肉）则有利于较长时间保存．已知的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成的龙眼干．
(1)若新鲜龙眼售价为12元/kg，在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元/kg?
(2)在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有6%的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．市场调查还发现，新鲜龙眼以12元/kg最多能卖出，超出部分平均售价是5元/kg，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．设某果农有新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为w元，请写出w与a的函数关系式．
【答案】(1)龙眼干的售价应不低于36元/kg
(2)
【分析】(1)设龙眼干的售价应不低于x元/kg，新鲜龙眼共3a千克，得到总收益为12×3a=36a元；加工成龙眼干后总收益为ax元，再根据龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益得到不等式ax≥36a，解出即可；
(2)设龙眼干的售价为y元/千克，当千克时求出新鲜龙眼的销售收益为元，龙眼干的销售收益为元，根据“龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，且龙眼干的定价取最低整数价格”得到，解出；然后再当千克时同样求出新鲜龙眼收益与龙眼干收益，再相减即可求解．
(1)解：设龙眼干的售价应不低于x元/kg，设新鲜龙眼共3a千克，总销售收益为12×3a=36a（元），
加工成龙眼干后共a千克，总销售收益为x×a=ax（元），
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴ax≥36a，
解出：x≥36，
故龙眼干的售价应不低于36元/kg．
(2)解：千克的新鲜龙眼一共可以加工成千克龙眼干，设龙眼干的售价为y元/千克，则龙眼干的总销售收益为元，
当千克时，新鲜龙眼的总收益为元，
∵龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
∴，解出元，
又龙眼干的定价取最低整数价格，∴，
∴龙眼干的销售总收益为，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差元；
当千克时，新鲜龙眼的总收益为元，
龙眼干的总销售收益为元，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差
元，
故与的函数关系式为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的实际应用等，本题的关键是读懂题意，明确题中的数量关系，正确列出函数关系式或不等式求解．
7．（2022·黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】(1)购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元
(2)有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根
(3)方案三需要费用最少，最少费用是550元
【分析】（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，可列方程组，
解方程组即可求得结果；
（2）根据题意可列出不等式组，解得：，由此即可确定方案；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得，结合函数图像的性质，可知w随m的增大而减小，即当时．
(1)解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得，解得，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
(2)根据题意，得，解得，
∵m为整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
(3)设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得
∵，∴w随m的增大而减小，
∴当时，w有最小值，即w（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．
【点睛】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．
8．（2022·黑龙江牡丹江）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋
价格
甲
乙
进价（元/双）
m
m﹣20
售价（元/双）
240
160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）m=10；（2）11种；（3）购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双，可获得最大利润
【分析】（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可．
（2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答．
（3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）依题意得，，
去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100．
经检验，m=100是原分式方程的解．∴m=100．
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得，，
解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，
∴不等式组的解集是95≤x≤105．
∵x是正整数，105﹣95+1=11，
∴共有11种方案．
（3）设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
∴当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双．
②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样．
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
∴当x=95时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
9．（2022·福建）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？
(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
【答案】(1)购买绿萝38盆，吊兰8盆
(2)369元
【分析】（1）设购买绿萝盆，购买吊兰盆，根据题意建立方程组，解方程组即可得到答案；（2）设购买绿萝盆，购买吊兰盆，总费用为，得到关于的一次函数，再建立关于的不等式组，解出的取值范围，从而求得的最小值．
(1)设购买绿萝盆，购买吊兰盆
∵计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆
∴
∵采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，绿萝每盆9元，吊兰每盆6元
∴
得方程组
解方程组得
∵38>2×8，符合题意
∴购买绿萝38盆，吊兰8盆；
(2)设购买绿萝盆，购买吊兰吊盆，总费用为
∴，
∴
∵总费用要低于过390元，绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍
∴
将代入不等式组得
∴
∴的最大值为15
∵为一次函数，随值增大而减小
∴时，最小
∴
∴元
故购买两种绿植最少花费为元．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数、不等式组的性质，解题的关键是数量掌握二元一次方程组、一次函数、不等式组的相关知识．
10．（2022·湖北恩施）某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生．
(1)租用甲、乙两种客车每辆各多少元？
(2)若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最少？
【答案】(1)甲种客车每辆元，乙种客车每辆元
(2)租用甲种客车5辆，乙种客车3辆，租车费用最低为1900元
【分析】（1）可设甲种客车每辆元，乙种客车每辆元，根据等量关系：一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元，列出方程组求解即可；
（2）设租车费用为元，租用甲种客车辆，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，进而列出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可．
(1)解：设甲种客车每辆元，乙种客车每辆元，依题意知，
，解得 ，
答：甲种客车每辆元，乙种客车每辆元；
(2)解：设租车费用为元，租用甲种客车 辆，则乙种客车 辆，
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
取整数，
最大为，
时，费用最低为（元，
（辆．
答：租用甲种客车5辆，乙种客车3辆，租车费用最低为1900元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
11．（2022·广西河池）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元．
(1)桂花树和芒果树的单价各是多少元？
(2)若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为n，总费用为w元，求w关于n的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？
【答案】(1)桂花树单价90元/棵，芒果树的单价50元/棵；
(2)；当购买35棵挂花树，25棵芒果树时，费用最低，最低费用为4400元．
【分析】（1）设桂花树单价x元/棵，芒果树的单价y元/棵，根据桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元，列出二元一次方程组解出即可；
（2）设购买挂花树n棵，则芒果树为棵，根据题意求出w关于n的函数关系式，然后根据桂花树不少于35棵求出n的取值范围，再根据n是正整数确定出购买方案及最低费用．
(1)解：设桂花树单价x元/棵，芒果树的单价y元/棵，
根据题意得：，
解得：，
答：桂花树单价90元/棵，芒果树的单价50元/棵；
(2)设购买桂花树的棵数为n，则购买芒果树的棵数为棵，
根据题意得，
，
∴w随n的增大而增大，
∴当时，元，
此时，
∴当购买35棵挂花树，25棵芒果树时，费用最低，最低费用为4400元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
12．（2022·辽宁锦州）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．

(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；
(2)40元或20元；
(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
(1)解：由图可知，设一次函数的解析式为，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
(2)解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则
，
解得：，，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
(3)解：根据题意，则
，
整理得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
13．（2022·内蒙古呼和浩特）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
【答案】(1)去年每吨土豆的平均价格是2200元
(2)应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元
【分析】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+200）元，第二次采购的平均价格为（x-200）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的土豆枣数，根据所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．
(1)设去年每吨土豆的平均价格是x元，
由题意得， ，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；
(2)由（1）得，今年的土豆数为：(吨)，
设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375－m）吨加工成淀粉，
由题意得，，
解得：，     
总利润为：，        
当时，利润最大，最大利润为：（元）．
答：应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元．
【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
14．（2022·广西）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图像如图所示．

(1)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润．
【答案】(1)y= -5x+500，50＜x＜100
(2)75元，3125元
【分析】（1）设直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得，确定解析式，结合图像，确定自变量取值范围是50＜x＜100．
（2）设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意构造二次函数，根据函数的最值计算即可．
(1)
设直线的解析式为y=kx+b，根据题意，得
，
解得
∴ 函数的解析式为y= -5x+500，
当y=0时，-5x+500=0，
解得x=100，
结合图像，自变量取值范围是50＜x＜100．
(2)
设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意，得：
W=（x-50）(-5x+500)
=，
∵-5＜0，
∴ w有最大值，且当x=75时，w有最大值，为3125，
故销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大；最大利润是3125元．
【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，正确构造二次函数是解题的关键．
15．（2022·辽宁）某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，且当时，；当时，．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)y与x之间的函数关系式为
(2)这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，然后代值求解即可；
（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得，进而根据二次函数的性质可求解．
(1)
解：设y与x之间的函数关系式为，由题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
(2)
解：设每天获得的利润为w元，由（1）可得：
，
∵，且-10＜0，
∴当时，w有最大值，最大值为160；
答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键．
16．（2022·黑龙江大庆）果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为．在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．



(1)图中点P所表示的实际意义是________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少____________；
(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大产量是多少？
【答案】(1)增种28棵果树时，每棵果树的平均产量为66kg；0.5
(2)y与x的函数关系式为y=-0.5x+80(0