第十八章 平行四边形 专题复习课件 2022—2023学年人教版数学八年级下册

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专题一：中点四边形问题
专题二：平行四边形中的折叠问题
专题一：中点四边形问题
例1 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH，求证：四边形 EFGH 是菱形.
证明：连接 AC、BD.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∵ 点 E、F、G、H 为各边中点，
∴ EF = FG = GH = EH.
∴ 四边形 EFGH 是菱形.
【变式题】如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD 各边的中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
解：四边形 EFGH 是菱形.
∵点 E、F、G、H 为各边中点，
∴ EF = FG = GH = HE.
理由如下：连接 AC、BD.
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：连接 AC、BD.
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
四边形 EFGH 是矩形.
思考 我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形. 顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
【应对策略】各边中点顺次连接形成的四边形：四边形(对角线无特点) →→→→ 平行四边形矩形(对角线相等) →→→→ 菱形菱形(对角线垂直) →→→→ 矩形正方形(对角线相等且垂直)→→→→正方形
例2 已知：在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 BC，AD、BD、AC 的中点，① 求证：EF与 GH 互相平分；② 当四边形 ABCD 的边满足________条件时， EF⊥GH.
【分析】(1) 连接 GE、GF、HF、EH，根据三角形的中位线定理即可证得 EG = FH，GF = EH，则四边形EHFG 是平行四边形，利用平行四边形的性质即可证得；
【解答】解：(1) 连接 GE、GF、HF、EH.∵ E、G 分别是 BC、BD 的中点，∴ EG = CD.同理 FH = CD，FG = AB，EH = AB.∴EG = FH、GF = EH∴ 四边形 EHFG 是平行四边形.∴ EF 与 GH 互相平分.
(2)当 EF丄GH 时，四边形 EHFG 是菱形，此时 GF = FH = HE = EG，∵ EG = CD，FH = CD，FG = AB， EH = AB，∴ AB = CD.∴当四边形 ABCD 的边满足条件 AB = CD 时，EF⊥GH.
分析： EF⊥GH 时能得到四边形 EHFG 四边相等，从而得到四边形 ABCD 的四边相等.
② 当四边形 ABCD 的边满足________条件时， EF⊥GH.
1. 如图，点 D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 的中点，点 O 是△ABC 内一点，连接 OA，OB，OC，点 F，G分别是 OB，OC 的中点，顺次连接点 D，F，G，E.(1) 求证：四边形 DFGE 是平行四边形；(2) 当 OA⊥DE 时，求证：四边形 DFGE 是矩形；(3) 若四边形 DFGE 是正方形，OA 与 BC 之间满足的 条件是：______________，
【解答】(1)证明：D、E 是 AB、AC 的中点，∴ DE∥BC 且 DE = BC，∵ F、G 是 OB、OC 的中点，∴ GF∥BC 且 GF = BC.∴ DE∥GF 且 DE = GF.∴ 四边形 DFGE 是平行四边形.
(2) 证明：由 (1) 知，四边 DFGE 是平行四边形，∵ D、G 分别是 AB、OB 的中点，∴ DG∥OA，∵ OA⊥DE，∴ DG⊥DE.
∴∠GDE = 90°.∴ 平行四边形 DFGE 是矩形，所以当 OA⊥DE 时，四边形 DFGE 是矩形.(3) 解：若四边形 DFGE 是正方形，OA 与 BC 之间满足的条件是：OA⊥BC 且 OA = BC,由(2)可知，当 OA⊥BC 时，四边形 DFGE 是矩形，∵ D、G、F 分别是 AB、OB、OC 的中点.∴ DG = AO，GF = BC，∴ AO = BC.∴ DG = GF.∴矩形 DGFE 是正方形.故答案为：OA⊥BC 且 OA = BC.
专题二：平行四边形中的折叠问题
【知识储备】1. 全等变换：对应边相等、对应角相等．2. 对称轴性质：对称轴上的点到对应点的距离相等， 对应点所连线段被对称轴垂直平分．3. 组合搭配：矩形背景下常出现等腰三角形、两次折 叠常出现直角、60° 角等．4. 作图：核心是找到对应点，作对应点连线的垂直平 分线(折痕)，补全图形．
例2 如图，折叠长方形一边 AD，点 D 落在BC 边的点 F 处，BC = 10 cm，AB = 8 cm，求：(1) FC 的长； (2) EF 的长．
【解决策略1】(1) 遇折叠，考虑全等变换；找折痕(对称轴)，利用对应边相等，对应角相等转移条件，表达线段长；
解：(1) 由题意得 AF = AD = 10 cm，在 Rt△ABF 中，∵ AB = 8，∴ BF = 6 cm，∴ FC = BC - BF = 10 - 6 = 4 (cm)．(2) 由题意可得 EF = DE，可设 DE 的长为 x，在 Rt△EFC 中，(8 - x)2 + 42 = x2，解得 x = 5.即 EF 的长为 5 cm．
【解决策略2】①折叠属于全等变换，找折痕，利用对应边相等，对应角相等转移条件，表达线段长，利用勾股定理建方程；②上述思路进行不下去时，从“对称轴上的点到对应点的连线距离相等”，从折痕与背景图形的交点处入手，结合所求目标，连接对应线段，表达求解；或者考虑“折痕”为对称轴，“对应点所连线段被对称轴垂直平分”，利用垂直平分 (题目中会出现全等或相似) 解题．
例2 如图，将长为 4 cm，宽为 2 cm 的长方形纸片ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边的中点 E 处，压平后得到折痕 MN，则线段 AM 的长为__________．
【解答】解：如图，连接 BM，EM，BE，由折叠的性质可知，四边形 ABNM 和四边形FENM 关于直线 MN 对称．∴ MN 垂直平分 BE，∴ BM＝EM，∵ 点 E 是 CD 的中点，DE＝1，∴ 在 Rt△ABM 和在 Rt△DEM 中， AM 2 + AB2＝BM 2，DM 2 + DE2＝EM 2，
∴ AM 2 + AB2＝DM 2 + DE2．设 AM＝x，则 DM＝4﹣x，∴ x2 + 22＝(4﹣x)2 + 12．解得，即 x＝ cm，即 AM＝ cm．故答案为： ．
2. 如图，矩形 ABCD 中，AB = 3，AD = 7，将此矩形折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF，则 DE =
【解答】解：在矩形 ABCD 中，AD∥BC，∴ ∠DEF = ∠BFE.由折叠可知 BE = DE. ∠DEF = ∠BEF，∴∠BEF =∠BFE. ∴ BE = BF设 BF = x. 则 BE = DE = BF = x.∵ AB = 3，AD = 7，∴ AE = AD - DE = 7 - x.在Rt△ABE 中，AB2 + AE2 = BE2，∴ 32 + (7 - x)2 = x2，解得：x = .
△ABE≌△BCF
△DCE≌△ABF
l总结：“十字结构”模型
例3 如图，将边长为 8 cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边中点 E 处，折痕为MN，则线段 MN 的长是_________．
【解答】解：如图，过点 M 作 MF⊥CD 于 F，易得四边形 AMFD 是矩形，所以 MF＝AD，由翻折变换的性质得 MN⊥DE，∵∠CDE +∠MNF＝90°， ∠CDE +∠DEC＝90°，∴∠MNF＝∠DEC，∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AD＝CD. ∴ MF＝CD.
∴ △DCE≌△MFN (AAS).∴ MN＝DE.∵ 点 E 是 BC 的中点，∴ 2CE＝BC，即 CE＝4 cm.在Rt△CDE中，由勾股定理得， DE＝ cm，所以，MN 的长为 cm．
【解决策略3】当上述两种思路都进行不下去的时候考虑背景提供的条件，如长方形中折叠会出现等腰三角形(以折痕为底)；(原理是：平行 + 角平分线出现等腰三角形)
例4 如图，把长方形纸片 ABCD 折叠，使其对角顶点 C 与 A 重合，折痕 EF，若长方形的长 BC 为 8，宽 AB 为 4，则△AEF 的面积为　 　．
【解答】解：设 FC＝x，则 BF＝8﹣x，∵四边形 ABCD 为长方形，∴△ABF 为直角三角形，∴ AB2 + BF2＝AF2，即 42 + (8﹣x)2＝x2，解得 x＝5，∵ AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC，由图形反折变换的性质可知，∠AFE＝∠EFC，AG＝CD＝AB，∴∠AEF＝∠AFE. ∴ AE＝AF＝CF＝5.∴ △AEF 的面积＝ ×5×4＝10.
3. 如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系内，其中点A(2，0)，点 C(0，4)，点 D 和点 E 分别位于线段 AC，AB 上，将△ABC 沿 DE 对折，恰好能使点 A 与点 C 重合，若 x 轴上有一点 P，能使△AEP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为____________.