第36讲 指对函数问题之分离与不分离-突破 新高考数学导数压轴解答题精选精练

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第36讲 指对函数问题之分离与不分离 1．若关于不等式恒成立，求实数的取值范围【解答】解：【方法一】设，，则，且（1），是的极值点，也是最值点；恒成立，又时，恒成立，的取值范围是，．【方法二】不等式可化为，设，，其中；，令，解得或（舍去），时取得极大值，也是最大值，为0；又，令，解得，时取得极值，也是最值，时取得最小值为；由题意知实数的取值范围是．故选：．2．若关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的最小值【解答】解：对任意的，不等式恒成立，即恒成立，函数与函数互为反函数，又时，，原问题等价于恒成立，则，即在恒成立，设，则，令，解得，当时，递减，时，递增，则（1），故，即，故答案为：，．3．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：．【解答】（1）解：，，①若时，，在上单调递减；②若时，当时，，单调递减；当时，，单调递增；综上，若时，在上单调递减；若时，在上单调递减；在上单调递增；（2）证明：要证，只需证，由（1）可知当时，，即，当时，上式两边取以为底的对数，可得，用代替可得，又可得，所以，，即原不等式成立．4．已知．（1）时，求的单调区间和最值；（2）①若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围；②求证：．【解答】解：（1）当时，，则，易知函数在，上为增函数，而（1），故当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数的减区间为，增区间为，最小值为（1），无最大值；（2）①不等式即为，令，若，则，令，易知函数（a）在上单调递增，故（a）（1），矛盾；若，即为，令，这可以看作关于的二次函数，其对称轴为，现比较与1的大小：作差可得，令，则，即函数在上单调递减，故，即，故函数（a）在，上单调递增，故（a）（1），而，设，则，易知函数在上单调递增，而（1），故当时，，单调递减；当时，，单调递减，故（1），即（1），即不等式恒成立，综上，实数的取值范围为，；②证明：由①知，要证，只需证，即证，易知，故，即得证．5．已知函数．（1）为正实数，若在上恒成立，求的取值范围；（2）证明：当时，有成立．【解答】解：（1）令，则，是增函数，令时，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，而，故，解得：，所以的取值范围为，．（2）证明：对的取值范围分类讨论：①时，，，所以，有，令，则，所以在上单调递减，所以，即，故时，不等式成立．②时，由（1）中结论，在，上恒成立，而此时，于是有，要证成立，可证其加强条件：，即证在时成立，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，由于，因此，所以，所以，即，即，所以，故时，命题成立．综上，当时，有成立．6．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）对任意的，恒成立，请求出的取值范围．【解答】解：（1），，当时，，在递增；当时，对于，△，故有在时，有一个解，当时，，递减；当时，，递增；综上，当时，在递增；当时，在，递增；在递减；（2）根据题意，任意的，恒成立，即，分离参数得，令，，，单调递增，，（1），故存在唯一的零点，，当，时，，递减，当时，，递增，故，故在递增，故．7．已知函数．（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）对任意的，恒成立，请求出的取值范围．【解答】解：（1）因为，所以，（1），（1），所以切线方程为．（2）不等式，对任意的恒成立，即对任意的恒成立．令，则，令，则，易知在上单调递增，因为，（1），且的图象在上连续，所以存在唯一的，使得，即，则．当时，单调递减；当，时，单调递增．则在处取得最小值，且最小值为，所以，即在上单调递增，所以．8．已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点，（1）处的切线与轴平行．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设，其中为的导函数．证明：对任意，．【解答】解：（Ⅰ），，且在，（1）处的切线与轴平行，（1），；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，，令，，当时，，当时，，又，时，，时，，在递增，在递减；证明：（Ⅲ），，，，，由（Ⅱ），，，，时，，递增，，时，，递减，，，设，，时，，递增，，时，，即，，，．9．已知函数，，其中（1）若，其函数在，的值域；（2）若对任意的，恒成立，求正实数的取值范围．【解答】解：（1）时，，；故当，时，；故在，上是增函数，故（3），（1）；（3）令，，；则；令，则，故在上是增函数，，且当时，；，使；当时，，即，故在上单调递减；当，时，，即，故在，上单调递增；，①由得，，故，②代入①中得，；对任意的，恒成立可化为；又，，又由解得，，由②得，，易知在，上是增函数，故；故，故实数的取值范围为，．10．已知函数（1）令，若时，恒成立，求实数的取值范围；（2）当时．证明【解答】解：（1）由题意可得，所以，令，所以，当时，，在，上单调递增，所以，①当时，即时，恒成立，即，所以在，上单调递增，所以，解得，所以，②当时，即时，在，上单调递增，且，因为当时，，所以存在，，使，即，所以当时，，即，单调递减，当，时，，即，单调递增，所以，所以，所以，由得，记，，，所以，所以在，上单调递增，所以，所以，综上所述，，．（2）证明：要证，即证，即证，因为，所以即证，令，则，因为，所以，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处有极小值，即最小值，所以（1），所以当时，成立．11．已知函数．（1）曲线在点，（1）处的切线斜率为0，求的值；（2）若恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）函数的导数为，则曲线在点，（1）处的切线斜率为，解得；（2）可化为，即，设，，由的导数为，当时，，递减；当时，，递增．则的最小值为，所以时，，递减；时，，递增．所以的最小值为（1），故，即，所以的取值范围是，．12．已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若在，上恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）当时，，则，，令，得，令，解得：，故在递增，在递减，故，故对任意恒成立，故函数在上单调递减；（2）即为，得，同时除以得，令，则原不等式即为证明，，，，令，，，则，故在，上，，递减，易得，，当时，，函数在，上单调递增，（1），即，解得：，故，当时，，函数在，递减，（1），不合题意，当时，则存在，使得，则函数在递减，在，递增，故，解得：，即，