江苏省南京市第九中学2022-2023学年高二上学期期末模拟检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京市第九中学2022-2023学年高二上学期期末模拟检测数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年高二期末模拟检测 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 已知点，直线，点R是直线l上的一个动点，若P是RA的中点，则点P的轨迹方程为(    )A．  B．  C．  D． 已知在圆上恰有两个点到原点的距离为，则a的取值范围是(    )A．  B．  C．  D． 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点，均在x轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为(    )A．  B．  C．  D． 已知，则动点P的轨迹是(    )A． 双曲线 B． 双曲线左边一支 C． 一条射线 D． 双曲线右边一支 对于一切实数x，令为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数．若，，为数列的前n项和，则(    )A．  B．  C．  D． 若正项数列中，，，则的值是(    )A． B． C．  D． 函数的图象大致为(    )A．  B．
C．  D． 已知函数，则“”是“是的极小值点”的(    )A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。  设有一组圆：，下列说法正确的是(    )A． 这组圆的半径均为1
B． 直线平分所有的圆
C． 直线被圆截得的弦长相等
D． 存在一个圆与x轴和y轴均相切已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的任意一点，则下列结论正确的是(    )A． 若直线与双曲线C无交点，则
B． 焦点到渐近线的距离为2
C． 点P到两条渐近线的距离之积为
D． 当P与A，B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2已知数列是公差为d的等差数列，若存在实数d，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，则下列结论正确的是(    )A． 符合题意的数列有无数多个 B． 符合题意的实数d有无数多个
C． 符合题意的数列仅有一个 D． 符合题意的实数d仅有一个设，在上可导，且，则当时，有(    )A．  B．
C．  D． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知m，n，a，，且满足，，则的最小值为__________．14．从抛物线的准线l上一点P引抛物线的两条切线、，且A、B为切点，若直线的倾斜角为，则P点的横坐标为__________．15．设数列满足，，，数列前n项和为，且且若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为__________．16．已知对任意都成立，则实数a的最小值是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设此点为
 若折痕的斜率为，求折痕所在的直线的方程；若折痕所在直线的斜率为k，为常数，试用k表示点的坐标，并求折痕所在的直线的方程；当时，求折痕长的最大值．18．（12分）在平面直角坐标系中，圆M是以，两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称．
求圆N的标准方程;
设，，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．
过点C作与直线垂直的直线，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值;
设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由．19．（12分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，求抛物线方程；若，求k的值；过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求面积的最小值．20．（12分）已知正项数列的前n项和为，且求数列的通项公式；若，数列的前n项和为，求的取值范围；若，从数列中抽岀部分项奇数项与偶数项均不少于两项，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．21．（12分）设函数
若，求的极值；
讨论函数的单调性；
若，证明：…22．（12分）已知抛物线上有一动点，，过点P作抛物线C的切线l交y轴于点判断线段的垂直平分线是否过定点?若过，求出定点坐标;若不过，请说明理由;
过点P作l的垂线交抛物线C于另一点M，若切线l的斜率为k，设的面积为S，求的最小值． 参考答案1．【答案】C 【解析】解：设，，已知，由P是RA的中点，，则①．点R是直线l上的一个动点，②．把①代入②得：，即点P的轨迹方程为故选：2．【答案】C 【解析】解：由题意可知圆与圆C相交，
则，
解得或
故选3．【答案】B 【解析】解：因为椭圆C的焦点在x轴上，所以可设椭圆C的标准方程为，
由题意可得，解得，
所以椭圆C的标准方程为故选4．【答案】D 【解析】解：，
且   ，
动点P的轨迹为双曲线的右边一支．故选5．【答案】A 【解析】解：由题意，当，，，时均有，
所以

故本题选6．【答案】A 【解析】解：正项数列中，时，，
时，，
依次可求，
猜想，
利用数学归纳法正明．
时，显然成立；
假设时，，
当时，，
故，
故时，结论也成立．
故猜想成立．
故，
则，
故选7．【答案】A 【解析】解：由，可得函数的减区间为，增区间为，
当时，，可得选项
故选8．【答案】C 【解析】解：  若，则
当时，，单调递减;
当时，，单调递增．
故是的极小值点．
若是的极小值点，则，解得，
经检验．当时，是的极小值点，
故“”是“是的极小值点”的充要条件．
故选9．【答案】AD 【解析】解：由圆：，可得这组圆的圆心为，半径为1，故A正确；将代入中，得不恒成立，即直线不恒过圆心，故B错误；圆心到直线的距离不是定值，而圆的半径为定值，所以直线被圆截得的弦长不相等，故C错误；若存在一个圆与x轴和y轴均相切，则，解得，故D正确．10．【答案】BC 【解析】解：A中，由双曲线的方程可得渐近线的方程为，
所以与双曲线无交点，则，所以A不正确；
B中，由A知渐近线的方程为，焦点，
所以焦点到渐近线的距离为，所以B正确；
C中，设，因为P在双曲线上，所以，即，
所以P到渐近线的距离之积为
，所以C正确；
D中，由双曲线的方程可得，，
则，所以D不正确；
故选：11．【答案】AD 【解析】解：因为存在实数 d，使得数列满足：可以从中取出无限多项，并按原来的先后次序排成一个等差数列，
由等差数列的性质可知，，公差为0，
故选12．【答案】CD 【解析】解：令，
因为，
所以，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以，13．【答案】1 【解析】设点，，直线，直线
由题意知点在直线上，点在直线上，，
由，得14．【答案】 【解析】解：如图，设 ， ，，
 则 ， 又，，
 ，则由，得，， 
切线的方程为， 切线的方程为， 
即切线的方程为，即 ；
切线的方程为，即点在切线、上， ， ， 可知 ，是方程的两个根， ，得15．【答案】2023 【解析】解：当时，，
，
，
，
又，，，
，
是首项为4，公差为2的等差数列．
，
当时，


，
，
当时，
又，

故答案为：16．【答案】 【解析】解：因为，所以可等价变形为，
令，
由得，此时函数单调递增，
由得，此时函数单调递减，
所以时，，
所以，
故答案为17．【答案】解：折痕的斜率为时，A点落在线段DC上，
折痕必过点，
直线方程为；
①当时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程
②当时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为， 
则A与关于折痕所在的直线对称，有，即
点坐标为
从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为，
折痕所在的直线方程，
即
综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为： 
当时，折痕长为当时，
折痕所在直线交BC于点，交y轴于
 ，
折痕长的最大值为
综上所述，折痕长度的最大值为 18．【答案】解：由题意得：圆M的半径为，
圆心M即AB的中点为，
圆M的方程为：，
则圆N关于圆M关于直线对称的圆心为，
所以圆N的标准方程为：
设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线斜率不存在，则，，
则，
若，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则

，
当且仅当即时取等号，
综上所述，因为，所以S的最大值为
设，，
联立消去y得，
则，，
直线OP的方程为，直线DQ的方程为，联立解得，
则
，
所以，
所以点G在定直线上． 19．【答案】解：抛物线E的顶点在原点，焦点为，

如图，若，不妨设，则
设抛物线的准线为l，
过点P作垂足为H，过点Q作，垂足为
，
在中，，，
得，
，
同理时，，

根据题意得AB，CD斜率存在且不为
设，，，，
由，
，
同理可得，
，
，
，
当且仅当时，面积取到最小值 20．【答案】解：当时，由，得，得
由，得，
两式相减，得，
即，即
因为数列的各项均为正数，所以，所以，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
因此，
即数列的通项公式为
由知，所以，
所以，
所以


令，
则，
递增，数列递增，所以，又易知，
所以的取值范围为
，
设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，，，
因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数，
假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数，
设抽出的三个偶数从小到大依次是,
则为奇数，而，
则为偶数，为奇数，所以
又为奇数，而，
则均为偶数，矛盾，
又因为，所以，即偶数只有两项，
则奇数最多有3项，即的最大值为5，
设此等差数列为，则为奇数，为偶数，且，
由，得，此数列为1，2，3，4，5，
同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1，
综上，当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列为1，2，3，4，5，和5，4，3，2， 21．【答案】解：的定义域是，
当时，，
令，解得：，令，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
，无极大值．
，
①当时，若，则，若，则，
在上单调递减，在上单调递增；
②当即时，
若，则或，若，则，
在上单调递减，在，上单调递增；
③当，即时，恒成立，
在上单调递增；
④当即时，
若，则或，若，则，
在上单调递减，在，上单调递增，
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由知在上单调递减，
时，，，
令，得，
，即，
，，，，，
累加得：，
 22．【答案】解：依题意可知切线的斜率存在，且斜率大于，
设直线的方程为，，
由消去y并化简得，
由得，，
则，解得，
所以，
在中，令得，
所以，中点为，
所以线段的中垂线方程为，即，
所以线段的垂直平分线过定点；
由可知，直线PM的方程为，即，
由消去y并化简得：，
所以，而，
所以得，，，
，
，
所以的面积，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为