河南省郑州市励德双语学校2022-2023学年高三上学期期末考试文科数学试题(含答案)
展开郑州励德双语学校2022-2023学年上期期末试题
高三文科数学
一、单选题(本题共60分,每题5分)
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知复数,则( )
A.1 B. C.2 D.4
3.设是不同的直线,是不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
4.已知向量满足,则( )
A.4 B.3 C.2 D.0
5.函数的图象在点处的切线与直线垂直,则实数的值为( )
A. B. C.1 D.2
6.将函数的图像向右平移个单位长度,得到函数的图像,则图像的对称中心可以为( )
A. B. C. D.
7.设满足约束条件,则的最大值为( )
A.3 B. C.0 D.9
8.若正实数满足,则的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
9.已知等比数列为其前项和,若,则( )
A.3 B. C.2 D.3或
10.已知是同一球面上的四个点,其中是正三角形,平面,若,则该球的体积为( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线,过点的直线与相交于两点,且的中点为,则双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
12.设函数满足,且当时,,又函数,则函数零点的个数为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
二、填空题(本题共20分,每题5分)
13.盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子.已知某盲盒产品共有2种玩偶,小明依次购买3个盲盒,则他能集齐这2种玩偶的概率是__________.
14.已知点是抛物线上的动点,焦点为,点,则的最小值为__________.
15.已知三个内角的对边分别为,且,则的最大值为__________.
16.函数的图象与函数的图象的公切线的方程为__________.
三、解答题(本题共70分,17-21每题12分,22(或23)10分)
(一)必考题:60分
17.已知数列是公差为的等差数列,数列是首项为1的等差数列,已知.
(1)求;
(2)求数列的前项和.
18.如图,四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,.
(1)求证:平面BCD;
(2)求点E到平面ACD的距离.
19.随着自媒体直播平台的迅猛发展,直播平台上涌现了许多知名三农领域创作者,通过直播或视频播放,帮助当地农民在直播平台上销售了大量的农产品,促进了农村的经济发展,当地农业与农村管理部门对近几年的某农产品年产量进行了调查,形成统计表如下:
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代码t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年产量y(万吨) | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
(1)根据表中数据,建立y关于t的线性回归方程;
(2)根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
(参考数据:)
20.已知抛物线:上一点到焦点的距离为,
(1)求抛物线的方程;
(2)若在第一象限,不过的直线与抛物线相交于,两点,且直线,的斜率之积为,证明:直线过定点.
21.已知
(1)讨论的单调性;
(2)对,使得恒成立,求实数的取值范围.
(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题做答.
22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程,曲线的直角坐标方程;
(2)设,曲线,的交点为A,,求的值.
23.已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
1.A 【详解】,,
故选:A.
2.
故选:A
3.D 【详解】因为,所以,
因为,过作平面与平面交线为,
则,因为,
由面面垂直的判定定理可得,
故选项D正确,选项A错误;
因为,所以或,
又因为,所以与的位置关系不确定,
即选项B、C错误;
故选:D.
4.B 【详解】分析:根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解:因为,
所以选B.
点睛:向量加减乘:
5.C 【详解】函数,求导得:,则,
即函数的图象在点处的切线斜率为,
因为切线与直线垂直,有.所以.
故选:C
6.D 【详解】函数的图像向右平移个单位长度,得到函数,所以,令,即的对称中心为,
令,求得的一个对称中心为.
故选:D
7.A 【详解】根据约束条件画出可行域(如图),
把变形为,得到斜率为,在轴上的截距为,随变化的一族平行直线.
由图可知,当直线过点时,截距最小,即最大,
所以的最大值为3.
故选:A.
8.C 【详解】因为是正数,
所以有,
当且仅当时取等号,即当且仅当时取等号,
故选:C
9.D 【详解】由得,即,与题设矛盾,故.
,即或2.
由得或3.
故选:D.
10.A 【详解】
设三棱锥的外接球球心为的外接圆的圆心为,外接圆的半径为,
所以,
则外接球半径,
所以.
故选:A.
11. 【详解】设,由的中点为,则,由,两式相减得:,
则,
由直线的斜率,则,
双曲线的离心率,
双曲线的离心率为,
故选:B.
12.A 【详解】因为,所以函数是偶函数,图象关于轴对称.
因为,所以函数的图象关于直线对称.
当时,,于是可以作出函数的图象.
再作出的图象,结合,
可知函数与的图象有6个交点,
所以函数有6个交点.故选A.
13. 【详解】设两种玩偶对应的盲盒分别为,小明依次购买3个盲盒,所有的基本事件有:
,共8种,
其中,事件“这2种玩偶齐全”所包含的基本事件有:,共6种,
故所求概率为.
14. 【详解】,则,
焦点,准线方程,点在抛物线上方,
设过作的垂线,垂足为由抛物线的定义知,,
如图所示,
,当且仅当三点共线时取等号,
当三点共线时,,故的最小值为,.B
15. 【详解】因为,所以.
因为,所以,
所以
.
因为,所以,所以,
所以,
所以.即的最大值为.
故答案为:
16.或 【详解】根据题意,设函数与的图象的公切线为直线,并设直线与函数的图象相切于点,与函数的图象相切于点.由,得,所以直线的斜率为,则直线的方程为,即.又由,得,所以直线的斜率为,则直线的方程为,即.由题意知,消去,得,解得或.所以公切线的方程为或.
故答案为:或
17.(1)
(2)
【详解】(1)且数列的公差为
数列是首项为1,公差为1的等差数列
(2)
18.(1)证明见详解
(2)
【详解】(1)证明:O,E分别是BD,BC的中点,
,
,
,
则,即,
,
则,即,
在中,由已知可得
,
,平面,
平面.
(2)设点E到平面ACD的距离为,如图所示:
,
,
在中,
而,
,
点E到平面ACD的距离为
19.(1)(2)7.56
【详解】(1)由题意可知:,
,
,
∴,
∴,
∴关于的线性回归方程为.
(2)由(1)可得,当年份为2019年时,年份代码,此时,
所以可预测2019年该地区该农产品的年产量约为万吨.
【点睛】
本题主要考查了线性回归方程的求法,还考查了线性回归方程的应用,考查计算能力,属于基础题.
20.(1)
(2)答案见解析
【详解】(1)由抛物线方程可得,准线方程为,
因为抛物线:上一点到焦点的距离为,
所以,解得,
所以抛物线的方程为:;
(2)抛物线的方程为,在抛物线上,所以,
因为在第一象限,故,所以,
依题意,直线的斜率存在若不存在,则与抛物线只有一个交点,
设直线的方程为,,,
联立,消去,得,
则,,,
因为直线,的斜率之积为1,即,
故,
整理得,
所以,得,
故直线的方程为,
所以直线过定点.
21.【详解】(1)
i)当时,恒成立,在上单调递增;
ii)当时,令解得:
可得时,时,
所以在时单调递减,在时单调递增
综上所述:当时,在上单调递增
当时,在上单调递减,在上单调递增;
(2)由(1)可知,当时,函数在上单调递增,没有最小值,故
当时,
整理得,即
令
可得在上单调递增且
所以的解集是
综上所述:的取值范围是
22.(1),:;
(2)6
【分析】
(1)消去参数可得普通方程,由可化极坐标方程为直角坐标方程;
(2)化直角方程为标准的参数方程,代入曲线的直角坐标方程,应用韦达定理求解.
【详解】(1)由消去参数得,即为的普通方程,
,,平方整理得,即为的直角坐标方程;
(2)曲线为直线,其标准参数方程为(为参数),代入的直角坐标方程并化简得,
对应的参数分别为,则,
所以.
23.(1)
(2)
【分析】(1)去绝对值得分段函数,解分段函数不等式即可;
(2)讨论,,其中时不等式恒成立等价于恒成立,化简并求出的最大值即可.
【详解】(1),
当,由解得;
当,由解得;
当,,无解.
综上,不等式的解集为;
(2)当时,,不等式成立;
当时,不等式恒成立等价于恒成立,
,
∴,故.
∴实数的取值范围为.
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