专题03 圆锥曲线中定值、定点问题分析- 高考数学（文）解题技巧归纳（圆锥曲线与方程）

专题03  圆锥曲线中定值、定点问题分析

内容提要

纵观历年高考真题，圆锥曲线中的定值、定点问题是高考中的热点题型，以解答题为主，难度一般较大，考查函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用．本文坚持直曲联立，韦达定理传统方法培养的同时，增加齐次联立法，分析椭圆、双曲线、抛物线中定值、定点问题分析，望读者能曲径通幽．

方法归纳

方法1：韦达定理  设而不求

方法2：齐次联立  整体代入

方法3：韦达定理  设而可求

溯本求源

【例1】（2019重庆八中高二期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是．

（1）求椭圆的标准方程．

（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

【解析】（1）由题意可得，解得，，

则椭圆的标准方程是．

（2）（韦达定理 设而不求）当直线的斜率为0时，直线与直线关于轴对称，则直线与直线的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线的斜率不为0．

设，，直线的方程为

联立，整理得

则，．

因为直线与直线的斜率之和为1，所以，

所以，

将，代入上式，整理得．

所以，即，

则直线的方程为．

故直线恒过定点．

【评析】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题，突出韦达定理，设而可求思想，意在考查学生的运算求解能力和转化能力，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算．

推广延伸

纵观历年高考真题中， 经常出现有关定点与定值问题．包括以下两类热点问题：

①斜率之和为定值问题；

②斜率之积为定值问题．

审思明辨

推广1：已知：点是二次曲线上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．求证：

①若，则或直线斜率不存在；

②若，则直线恒过定点．

【证明】（齐次联立  整体代入）设，，已知，

则．令，

则转化为．

又，所以．

设直线方程为：，则

所以

，

由，得①．

由，得②．

由①+②，得．

当时，或直线斜率不存在．

当时，

直线恒过定点．

综上所述：当时，或直线斜率不存在．

当时，直线恒过定点．

恍然大悟

⑴已知点是椭圆上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．

则①若，则或直线斜率不存在．

②若，则直线恒过定点．

⑵已知点是椭圆上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．

则①若，则或直线斜率不存在．

②若，则直线恒过定点．

推广2：已知：点是二次曲线上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．求证：

①若，则或直线斜率不存在；

②若，则直线恒过定点．

【证明】证明方法同推广1，此处不再赘述．

类比联想

⑴已知点是椭圆上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．则：

①若，则或直线斜率不存在．

②若，则直线恒过定点．

⑵已知点是椭圆上一定点，，是该曲线上异于点的两个动点，若．则：

①若，则或直线斜率不存在．

②若，则直线恒过定点．

【评析】建议掌握证明方法，齐次联立，整体代入，处理圆锥曲线中的斜率和（积）定值问题，立竿见影．初学者特别注意先平移，后还原，方能正确找出对应的定点坐标．

经典赏析

类型一：韦达定理  设而可求定点型

【例2】（2020甘肃高二期末）已知椭圆的离心率为，，，分别为椭圆的上、下顶点，点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线，与椭圆的另一交点分别为，，证明：直线过定点．

【解析】（l）由题意知解得

所以椭圆的方程为．

（2）证明：易知，，

则直线的方程为，直线的方程为．

联立得．

于是，．

同理可得，

所以直线的斜率．

所以直线的方程为．

即，

所以直线过定点．

【评析】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线过定点问题，突出韦达定理，设而可求思想，意在考查学生的运算求解能力和转化能力，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算．

类型2：韦达定理   数量积定值型

【例3】（2019北京18）已知抛物线经过点(2，-1)．

（I）求抛物线C的方程及其准线方程；

（II）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两上定点．

【解析】（I）由抛物线经过点，得．

所以抛物线C的方程为，其准线方程为．

（II）抛物线C的焦点为，设直线l的方程为．

由，得．

设则．

直线的方程为，令，得点A的横坐标为，

同理可得点B的横坐标．
设点，则，

．

令即，得或．

综上，以AB为直径的圆经过轴上的定点．

【评析】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线相交中的定值问题，解析几何中求解定值问题常用的方法

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，推理的过程中变更主元，消去变量，从而得到定值．

【例4】（2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．

【解析】（1）设，，则，，．

由得  ，．

因为在上，所以．

因此点的轨迹方程为．

（2）由题意知．设，，

则，，，

，，

由得，又由（1）知，

故，所以，即．

又过点存在唯一直线垂直与，

所以过点且垂直于的直线过的左焦点． 

【评析】本题考查直线方程的求解、直线与椭圆中的定值问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是通过坐标法思想，用点的坐标计算数量积，代数化简证明结论．

类型3：圆锥曲线斜率和定值型

【例5】（2018全国卷Ⅰ）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．

(1)当与轴垂直时，求直线的方程；

(2)设为坐标原点，证明：．

【解析】(1)由已知得，的方程为．

由已知可得，点的坐标为或．

所以的方程为或．

(2)（韦达定理  设而不求）当与轴重合时，．

当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以．

当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，

则，，直线，的斜率之和为．

由，得．

将代入得．

所以，，．

则．

从而，故，的倾斜角互补，

所以．

综上，．

【评析】定点、定值问题通常是通过设参数计算推导出，或者由特殊值来确定定点、定值，实现先猜后算．涉及的几何问题代数化，研究圆锥曲线动定依赖关系，动中取静．

【例6】（2017新课标Ⅰ）已知椭圆：，四点，，

，中恰有三点在椭圆上．

(1)求的方程；

(2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．

【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点．

又由知，C不经过点，所以点在C上．

因此，解得．

故C的方程为．

（2）方法1：（韦达定理  设而不求）设直线与直线的斜率分别为，，

如果与轴垂直，设：，由题设知，且，

可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）．

则，得，不符合题设．

从而可设：（）．

将代入得

由题设可知．

设，，则，．

而．

由题设，故．

即，解得．

当且仅当时，，欲使：，即，

所以过定点（2，）

方法2：（齐次联立  整体代入）设直线与直线的斜率分别为，，

由，， ，得．

设直线：，齐次联立得

所以，又，则对任意，恒成立，得，所以过定点．

【评析】圆锥曲线中定点问题的常见解法

（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；

（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．

（3）齐次联立，整体代入，处理圆锥曲线中的斜率和（积）定值问题，立竿见影．虽然计算简洁，但是初学者特别注意先平移，后还原，方能正确找出对应的定点坐标．

类型4：圆锥曲线几何定值型

【例7】 (2016年北京)已知椭圆：的离心率为，，

，，的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．

【解析】（Ⅰ）由题意得解得．

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，则．

当时，直线的方程为．

令，得．从而．

直线的方程为．

令，得．从而．

所以

．

当时，，

所以．

综上，为定值．

【评析】本题考查直线方程的求解、直线与椭圆中的定值问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是通过坐标法思想，用点的坐标计算表示长度，代数化简证明定值．

往事如梦

1．(2019年湖南长沙一中高三月考)已知椭圆过点，其离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线不经过点，且与椭圆相交于两点（、不重合），若直线与直线的斜率之积为．

（ⅰ）证明：过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）求的面积的最大值．

2．(2018年北京高考)已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．

3．(2017年上海高三)过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是的中点；

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）当P坐标为时，求直线l的方程；

（3）求证：是一个定值．

4．(2020高三专题复习)已知椭圆C：．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线AP，BP分别与直线相交于点M，N．当点P运动时，以M，N为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论．

5．(2020湖北高三月考)已知椭圆：的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1．   

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

6．(2020安徽高三月考)已知椭圆的离心率为，，，分别为椭圆的上、下顶点，点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线，与椭圆的另一交点分别为，，证明：直线过定点．

7．(2020四川高三月考)已知椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为3，，分别为椭圆的左、右顶点，点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线，与椭圆的另一交点分别为，，证明：直线过定点．

8．(2019重庆八中高三)已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于点，直线交轴于点．

（1）求直线的斜率的取值范围；