河南省南阳市宛城区第三中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省南阳市宛城区第三中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程x（x﹣6）＝x的根是（ ）
A．x＝6B．x1＝0，x2＝﹣7C．x1＝0，x2＝7D．x1＝0，x2＝6
3．已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ）
A．B．C．D．
4．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n－mn－3n，如：1※2＝12×2－1×2－3×2＝－6．则（－2）※结果为（ ）
A．B．C．D．
5．二次函数（）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
下列说法正确的是（ ）A．抛物线G的开口向下
B．抛物线G的对称轴是直线
C．抛物线G与y轴的交点坐标为(0，4)
D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
6．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．10°B．14°C．16°D．26°
7．的半径为cm，弦，cm，cm，则，间的距离是（ ）
A．2cmB．14cmC．6cm或8cmD．2cm或14cm
8．在大力发展现代化农业的形势下，现有、两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
下面有三个推断：
①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以、两种新玉米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97；
③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会高于种子．其中合理的是（ ）A．①②③B．①②C．①③D．②③
9．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为
A．B．C．D．
10．如图，点，的坐标分别为，，点为平面直角坐标系内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是______ ．
12．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．
13．如图，已知函数与的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式的解集为______．
14．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝a﹣b，N＝4a+2b．则M、N的大小关系为M____N．（填“＞”、“＝”或“＜”）
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝________．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
17．关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根用含的代数式表示；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且．
①求的取值范围；
②写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根．
18．如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的长．
19．如图①，在中，弦垂直直径于点，已知，．
(1)求直径的长．
(2)小慧说“若将题目条件中的‘直径’改为‘弦’，其余条件均不变（如图②），的直径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由．
20．为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度，AB＝12米，AE＝27米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，，，，）
21．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状如图1，她对此展开研究：测得喷水头距地面m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.5m；建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式（结果化为一般式）；
(2)小红站在水柱正下方且距喷水头P水平距离4m，身高1.9m的哥哥在水柱下方走动，当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，求小红与哥哥的水平距离．
22．如图1，在矩形中，，点是边上的动点，点从点出发，运动到点停止，是边上一动点，在运动过程中，始终保持，设，．
(1)求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)下表列出了部分点，先直接写出的值，然后在图2中利用描点法画出此函数图像（注意边界）；
(3)结合图像，指出、在运动过程中，当达到最大值时，的值是______；并写出在整个运动过程中，点运动的总路程______．
23．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．当与相切时，点B恰好落在上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．
(1)求证：；
(2)若的半径为3，，求的长．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
种子数量
100
300
500
1000
3000
出芽率
0.99
0.94
0.96
0.98
0.97
出芽率
0.99
0.95
0.94
0.97
0.96
…
2
3
4
5
6
7
8
…
…
2
2.7
3.2
3.5
3.5
3.2
…
参考答案：
1．D
【分析】根据最简二次根式的特点：（1）被开方的因数是整数，因式是整式，（2）被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式，进行判断即可．
【详解】解：A. ，不是最简二次根式，故A 不符合题意；
B. ，不是最简二次根式，故B 不符合题意；
C. ，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D.是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的特点（1）被开方的因数是整数，因式是整式，（2）被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式，是解题的关键．
2．C
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：
∴．
故选C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．
3．B
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
∵，
∴是y随x的增大而增大，
是y随x的增大而减小，
又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键．
4．A
【分析】根据新定义列出式子，进而进行实数的混合运算即可．
【详解】解：∵m※n＝m2n－mn－3n，
∴（－2）※
故选A
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，二次根式的加减运算，理解新定义并列出式子是解题的关键．
5．C
【分析】由表格信息，及二次函数图象的对称性可得抛物线的对称轴，及与x、y轴的交点，继而判断抛物线的开口方向及增减性．
【详解】由表中数据可得，抛物线与y轴交点为：，故C正确；
x轴的交点坐标为：，因此可得抛物线的对称轴为，故B错误；
由上可知，抛物线开口向上，故A错误；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．C
【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．
【详解】解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．D
【分析】先画出符合的两种情况，过作于点，直线交于点，连接，，根据垂径定理和，根据勾股定理求出和，再求出答案即可．
【详解】解：过作与点，直线交于，连接，，
有两种情况，如图所示，
如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵cm，cm，，，过圆点，
∴cm，
cm，
由勾股定理可得：（cm），
（cm），
∴（cm），
如图：
（cm），
综上所示：，间的距离是2cm或14cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能求出符合所有情况是解此题的关键．
8．D
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得．
【详解】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为100，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；
②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97，故(②推断合理；
③在同样的地质环境下播种，A 种子的出芽率约为0.97，B种子的出芽率约为0.96，种子的出芽率可能会高于种子，故正确，
故选：D．
【点睛】此题考查利用频率估计概率，理解随机事件发生的频率与概率之间的关系是解题的关键．
9．B
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；
【详解】在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=：=，
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
10．D
【分析】连接，取中点，连接，根据三角形任意两边之和大于第三边求最值即可．
【详解】解：连接，取中点，连接，
∵，
∴当取最大值时，三点共线，即在之间，
即，
∵分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，中位线定理，平面直角坐标系中的点与几何，勾股定理，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
11．x≥0且x≠1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：由题意得：x≥0且x-1≠0，
解得：x≥0且x≠1，
故答案为：x≥0且x≠1．
【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
12．
【分析】根据题意得出△ABC的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．
【详解】如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．
13．
【分析】将变形为：，根据，则，由此可得不等式的解集是．
【详解】解：变形为：，
∵，
∴，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与解析式的性质，解一元一次不等式，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
14．>
【分析】由图象可知当x＝−1时y＞0，当x＝2时，y＜0，所以a−b＋c＞0，4a＋2b＋c＜0，求出M−N＞0可得答案．
【详解】解：由图象可得当x＝−1时y＞0，
∴a−b＋c＞0，
当x＝2时，y＜0，
∴4a＋2b＋c＜0，
∴M−N＝a−b−（4a＋2b）＝a−b＋c−（4a＋2b＋c）＞0，
∴M＞N，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握数形结合思想的应用．
15．或
【分析】根据矩形的性质可得AD=BC=12，∠BAD=∠D=∠B=90°，根据勾股定理可得，设PD'=PD=x，则AP=12-x，△APD'’是直角三角形可以分两种情况讨论，①当∠AD'P=90°时，②当∠APD'=90°时，根据相似三角形的性质列出方程求解，即可得到结论．
【详解】解： 四边形ABCD是矩形， AB=8， BC=12，
AD=BC=12，∠BAD=∠D=∠B=90°，
E是BC的中点，
BE=CE=6，
，
沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D'处，
PD'= PD，
设PD'=PD=x，则AP=12-x，
要使得△APD'是直角三角形时，
①当∠AD'P=90°时，∠AD'P=∠B=90°，
AD // BC，
∠PAD'=∠AEB，
，
，即
解得 ，
；
②当∠APD'=90°时，∠APD'=∠B=90°，
∠PAE=∠AEB，
，
，即 ，
解得： ，
；
综上所述，当△APD′是直角三角形时，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折、矩形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先根据二次根式的乘除法法则，完全平方公式，二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可；
（2）先根据特殊角的三角函数值进行计算，再根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和特殊角的三角函数值，能正确进行计算是解此题的关键．
17．（1）（2）①；② ，．
【分析】（1）根据方程得出，变形即可；
（2）①根据方程得到，解得即可；
②在的取值范围内取，然后解方程即可．
【详解】（1）∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
（2）①∵方程有两个不相等的实数根，且，
∴，
解得；
②∵，
∴可以是3
此时方程为，
，
解得，．
【点睛】此题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
18．(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，再根据得到，利用同角的余角相等得出，又因为圆的半径均相等得到，再根据三角形等边对等角即可证明是的角平分线；
（2）利用圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得，根据，是的角平分线，即可判断，再根据两个相似三角形对应线段成比例即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图所示：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是平分线；
（2）∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
19．(1)；
(2)小慧的说法正确，理由见详解；
【分析】（1）连接，根据圆周角定理和勾股定理即可求出的长；
（2）根据圆周角定理得到，结合圆周角定理的推论得到，进而得到结论．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵为直径，
∴，
∵弦垂直于直径与点，
∴由垂径定理可知：，
在中，；
（2）解：小慧的说法正确，理由如下：
连接，并延长交于点，连接，如图所示，
∵为直径，
∴，即，
又∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴的直径不变．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及垂径定理，熟练掌握基本性质结合图形进行推理是解决本题的关键．
20．
【分析】根据坡度的意义，求出，再利用直角三角形的边角关系求出，进而求出与，以及，最后结合直角三角形中的边角关系求出，进而求出．
【详解】解：如图，过点作，，垂足分别为，
又题意可知，，，，米，米，
∵，
∴，
∴（米），
（米），
∴米，
∵，
∴米，
∴米，
在中，，米，
∴（米），
∴
，
（米），
答：广告牌的高约为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．
21．(1)
(2)小红与哥哥的水平距离是3m或5m
【分析】（1）由题意可知，抛物线顶点为，设抛物线的表达式为：，将代入抛物线解析式中，用待定系数法求解即可；
（2）当时，将其代入抛物线解析式中求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为：，将代入得，
，
解得：，
∴，
答：抛物线的表达式为；
（2）解：当时，
，
解得：或，
∴她与哥哥的水平距离为（m），或（m），
答：当哥哥的头顶恰好接触到水柱时，小红与哥哥的水平距离是3m或5m．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
22．(1)与的函数关系式，自变量的取值范围
(2)的值为3.6，图见解析
(3)6，
【分析】（1）根据一线三等角模型证明，根据相似三角形对应边成比例即可解答；
（2）把代入（1）所求的函数表达式即可，然后利用描点法画出图形即可；
（3）把（1）中求的函数表达式配方成顶点式即可解答．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，点是边上的动点，点从点出发，运动到点停止，
，
与的函数关系式，自变量的取值范围；
（2）解：当时，代入，得，
的值为3.6，
画出图如图所示：
（3）解：，
，
，
当时，，
当达到最大值时，的值是6，
，
在整个运动过程中，点运动的总路程为，
故答案为：6，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，二次函数的最值，根据题目的已知条件并结合图形去分析一线三等角模型是解题的关键．
23．(1)见解析；
(2).
【分析】（1）利用切线得性质，得到直角三角形锐角互余，利用圆周角与圆心角得关系即可证明；
（2）结合（1）证明，利用相似三角形求得关系，求出，最后在中运用勾股定理求解即可.
【详解】（1）如图，连接,
与相切,
,
,
,
,
,
B恰好落在上,
（2）连接,过P作于点D，
,
由（1）可知：
,,
,
,
的半径为3，
,
,
,
中，
,
,
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形、切线的性质、勾股定理，解题的关键是：掌握相关的知识点，会添加适当的辅助线，找到角与角的等量关系，通过等量代换，利用勾股定理建立等式求解．