河南省南阳市宛城区实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

河南省南阳市宛城区实验中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若是二次根式，则x应满足(　　)

A．x≥2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≠2

2．下列各式的计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．下列式子错误的是（　　）

A．cos40°=sin50° B．tan15°•tan75°=1

C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°

4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）

A． B．

C． D．

5．下列说法正确的是（    ）

A．两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为，则两地实际距离为35m

B．若cm，点是线段的黄金分割点，且，则cm

C．任意两个菱形都相似

D．有一个角相等的两个等腰三角形相似

6．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ）

A．0 B．－10 C．3 D．10

7．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为，则其升高可能是(    )

A． B． C． D．

8．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得．设井深为尺，所列方程正确的是（    ）

A． B． C． D．

9．若抛物线与y轴的交点为，则下列说法不正确的是（       ）

A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴的交点为

C．抛物线对称轴是 D．当时,y有最大值-4

10．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB与DE交于点O，AB=4，AC=3．F是DE的中点，连接BD、BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB十∠FBE=90°，④BF=AE，其中正确的是（   ）

A．①②③ B．③④ C．②③ D．②③④

二、填空题

11．若是关于的一元二次方程，则________．

12．小明的卷子夹里放了大小相同的试卷共页，其中语文页、数学页、英语页，他随机地从卷子夹中抽出页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为____．

13．已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，如图所示，则使不等式成立的的取值范围是______．

14．如图，在中，，于点，，那么________．

15．如图，正方形中，，，点在上运动（不与、重合），过点作，交于点，则的最大值为__________．

三、解答题

16．按要求解下列方程

(1)（用配方法）

(2)（ 用公式法）

17．先化简，再求值：，其中．

18．已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．

19．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点与河岸在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．

(1)求山脚到河岸的距离；

(2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（参考数据：，，）

20．为了解市区A校落实双减政策的情况，有关部门抽查了A校901班同学，以该班同学参加课外活动的情况为样本，对参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图.

(1)该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是______；

(2)请把图2（条形统计图）补充完整：

(3)该校学生共720人，则参加棋类活动的人数约为______.

(4)该班参加舞蹈类活动的4位同学中，恰有2位男生（分别用表示）和2位女生（分别用表示），现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率.

21．某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于70%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示

（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？

（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是　   　；

（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．

参考答案：

1．A

【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．

【详解】解：由题意可知：x﹣2≥0，

x≥2

故选A．

【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．

2．D

【分析】根据二次根式的计算法则进行计算即可．

【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不符合题意；

B. ，故原选项计算错误，不符合题意；

C. ，故原选项计算错误，不符合题意；

D. ，故原选项计算正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．

3．D

【详解】试题分析：选项A，sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；选项C，sin225°+cos225°=1正确；选项D，sin60°=，sin30°=，则sin60°=2sin30°错误．故答案选D．

考点：互余两角三角函数的关系；同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值．

4．B

【分析】找出各选项中的a，b及c的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值小于0时满足题意．

【详解】A、这里a=1，b=-2，c=-3，

∵△=b2-4ac=16＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；

B、这里a=1，b=-1，c=1，

∵△=b2-4ac=-3＜0，

∴方程没有实数根，符合题意；

C、这里a=1，b=2，c=1，

∵△=b2-4ac=0，

∴方程有两个相等的实数根，不合题意；

D、方程即为x2-1=0，这里a=1，b=0，c=-1，

∵△=b2-4ac=4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；

故选B．

5．B

【分析】根据比例的性质和图形相似的判定求解即可．

【详解】解：A. m，故A说法错误，不符合题意；

B. 点是线段的黄金分割点, 且，则，

设，则，解得或（舍去），故B说法正确，符合题意；

C.当两个菱形的角度不等时，不相似，故C说法错误，不符合题意；

D.若两个等腰三角形一个是顶角，一个是底角，则不是相似的，故D说法错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了图形的相似，比例的性质，理解图形相似的性质以及比例的性质是解题的关键．

6．A

【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．

【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，

∴mn=－5，m2+2m-5=0，

∴m2+2m=5，

∴=5－5=0，

故选：A．

【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．

7．B

【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．

【详解】解：头顶至咽喉的长度为26cm，

由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是，

可得咽喉至肚脐的长度为，

由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，

可得肚脐至足底的长度为cm，

即有该人的身高为110+68=178cm，

故选B．

【点睛】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

8．A

【分析】如图，设AD交BE于K．利用相似三角形的性质求解即可．

【详解】解：如图，设AD交BE于K．

∵DK∥BC，

∴△EKD∽△EBC，

∴，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．

9．D

【详解】已知抛物线与y轴的交点为，可求得c=-3，因a=1＞0，可得抛物线开口向上，对称轴x==1；令y=0，可得=0，解得x=-1或3，所以抛物线与轴的交点为；因a=1＞0，可得当时,y有最小值-4，综上可得，选项A、B、C正确，选项D错误，故选D.

10．D

【分析】首先证明，推出，再证明，可得②③正确，利用直角三角形斜边中线的性质即可判断④正确．

【详解】解：，

，

，

，

，

，

，

，故②正确，

，，

，，

，

，

，

，

，

，故③正确；

在中，，，

，

，

，

，

，

，故④正确；

，

，

根据现有条件无法判断，故①错误．

故选D．

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

11．1

【分析】根据一元二次方程的定义，从而列出关于m的关系式，求出答案.

【详解】根据题意可知：m＋1≠0且｜m｜＋1＝2，解得：m＝1，故答案为m＝1.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解本题的要点在于知道一元二次方程中二次项系数不能为0.

12．

【分析】由题意可知随机抽出一张试卷共有12种等可能结果，其中是数学试卷的占了4种，由此即可求得抽出的恰好是数学试卷的概率了.

【详解】由题意可知：随机抽出一页试卷，共有12中等可能结果，其中是数学试卷的占了4种，

∴P（抽出的恰好是数学试卷）=.

故答案为：.

【点睛】本题考查概率公式，解题的关键是知道共有12种等可能结果产生，其中是数学试卷的占了4种 .

13．

【分析】观察函数图象知，当时，直线在抛物线的上方，即可求解．

【详解】解：观察函数图象知，当时，直线在抛物线的上方，即，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了利用函数图象解不等式，此题型是中考中考查重点也是难点，同学们应熟练掌握．

14．

【分析】根据，，即可求解．

【详解】解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了根据余弦求线段长，掌握三角函数的定义是解题的关键．

15．4

【分析】先证明，得到与有关的比例式，设，，则，代入解析式，得到与的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．

【详解】解：正方形，且，

，

，，

，

，

，

，

，

，

令，

，

令，代入上式，

化简为：，

整理得：，

当时，有最大值为4，

即的最大值为4，

故答案为：4．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、以及二次函数的最值问题、几何最值用二次函数最值求解考查了数形结合的思想．

16．(1)

(2)

【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；

（2）利用公式法解一元二次方程即可．

【详解】（1）解：，

，

，

或，

，

（2）解：，

，

，

．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

17．，.

【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．

【详解】原式= ==．

当x=时，原式．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

18．（1）见详解；（2）

【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；

（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．

【详解】（1）证明：由题意得：，

∴，

∵，

∴，

∴该方程总有两个实数根；

（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，

∵，

∴，

解得：，

∵，

∴．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．

19．(1)山脚到河岸的距离为24m

(2)河宽的长度为80m

【分析】（1）在Rt中，根据的坡度求出，在Rt中，根据等腰直角三角形的性质可得，由线段的和差即可求得；

（2）在Rt中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度．

【详解】（1）解：在Rt中，，

的坡度，

，

，

在Rt中，，，

，

，

，

（m），

答：山脚到河岸的距离为24m；

（2）解：在Rt中，，，，

，

，

（m），

答：河宽的长度为80m．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．

20．(1)；

(2)补图见解析；

(3)人；

(4)恰好选中一男一女的概率是，树状图见解析

【分析】（1）根据绘画类的人数除以百分比得出中人数，根据球类的人数即可求解；

（2）根据音乐类的占比乘以总人数，得出人数，补全统计图即可求解；

（3）根据乘以棋类人数的占比即可求解．

【详解】（1）总人数有：（人），

该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是；

（2）音乐类的人数为人，补全条形统计图如下：

（3）（人）；

（4）画树状图，如图：

∴（一男一女）．

答：恰好选中一男一女的概率是．

【点睛】本题考查了扇形统计图与扇形统计图信息关联，画条形统计图，样本估计总体，画树状图法求概率，从统计图表中获取信息是解题的关键．

21．（1）y=-2x+260（）；（2）80元；（3）销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元

【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；

（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；

（3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．

【详解】解：（1）设y=kx+b（k≠0，b为常数）

将点（60，140），（70，120）代入得：

，解得，

∴y与x的函数关系式为：y=-2x+260，

解不等式组，

得：且x为整数；

（2）由题意得：，

化简得：x2-180x+8000=0，

解得：x1=80，x2=100，

∵=85，

∴x2=100＞85（不符合题意，舍去）

答：销售单价为80元；

（3）设每天获得的利润为w元，由题意得，

，

=-2x2+360x-13000

=-2(x-90)2+3200

∵a=-2＜0，抛物线开口向下，

∴w有最大值，

∵，

∴当x=85时，w最大值=3150，

答：销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元.

【点睛】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大，熟练掌握相关知识是解题的关键．

22．（1）（5，0）；（2）0≤x≤1；（3）（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）

【分析】（1）根据已知条件将A点、C点代入抛物线即可求解；

（2）观察直线在抛物线上方的部分，根据抛物线与直线的交点坐标即可求解；

（3）先设动点M的坐标，再根据两个三角形的面积关系即可求解．

【详解】（1）因为直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，

所以当x＝0时，y＝5，所以C（0，5）

当y＝0时，x＝1，所以A（1，0）

因为抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，

所以c＝5，1+b+5＝0，解得b＝﹣6，

所以抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5．

当y＝0时，0＝x2﹣6x+5．解得x1＝1，x2＝5．

所以B点坐标为（5，0）．

答：抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5，B点坐标为（5，0）；

（2）观察图象可知：

x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是0≤x≤1．

故答案为0≤x≤1．

（3）设M（m，m2﹣6m+5）

因为S△ABM＝S△ABC＝×4×5＝8．

所以×4•|m2﹣6m+5|＝8

所以|m2﹣6m+5|＝±4．

所以m2﹣6m+9＝0或m2﹣6m+1＝0

解得m1＝m2＝3或m＝3±2．

所以M点的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）．

答：此时点M的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.