江苏省南通市启东市长江中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份江苏省南通市启东市长江中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若点M在抛物线的对称轴上，则点M的坐标可能是（ ）
A．（3，-4）B．（-3，0）C．（3，0）D．（0，-4）
2．下列事件，是必然事件的是（ ）
A．投掷一枚硬币，向上一面是正面B．同旁内角互补
C．打开电视，正播放电影《英雄儿女》D．任意画一个多边形，其外角和是360°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sinB的值是( )
A．B．C．D．
4．如图，在函数的图象上有一点，将点A先向右平移个单位，再向下平移k个单位后恰好又落在图象上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
5．温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）．已知桥拱半径为，水面宽为，则石拱桥的桥顶到水面的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近黄金分割比时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高L的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）．
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
7．已知点，，以原点O为位似中心，把线段缩短为原来的，点D与点B对应．则点D的坐标为（ ）
A．B．C．或D．或
8．对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，满足这样的关系式：h＝vt﹣gt2，其中h是上升高度，v是初始速度，g为重力加速度（g≈10m/s2），t为抛出后的时间．若v＝20m/s，则下列说法正确的是（ ）
A．当h＝20m时，对应两个不同的时刻点
B．当h＝25m时，对应一个时刻点
C．当h＝15m时，对应两个不同的时刻点
D．h取任意值，均对应两个不同的时刻点
9．如图，△ABC三个顶点分别在反比例函数y＝，y＝的图象上，若∠C＝90°，AC∥y轴，BC∥x轴，S△ABC＝8，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
二、填空题
11．抛掷六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子两枚，向上一面的点数之和为5的概率为________．
12．已知一个圆锥的母线长为10cm，将侧面展开后所得扇形的圆心角是144°，则这个圆锥的底面圆的半径是__cm．
13．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴是x＝﹣1，若y≥3，则x的取值范围为______．
14．如图，AB为的直径，CB为的切线，AC交于D，．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则的大小是______．
15．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的半径为____步．
16．已知二次函数，当时，该函数取得最小值，设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为，若，则a的取值范围是 _____．
17．如图，，等边三角形的两个顶点、分别在、上移动，，则的最大值是______
18．如图，抛物线与直线交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为，点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作轴于点C，交于点D．当点P运动到直线下方某一处时，过点P作，垂足为M，连接，使为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标为_____．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．
（1）求证：△AED∽△ADC；
（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．
21．小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，布胜石头，剪刀胜布”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同．
(1)利用画树状图或列表的方法表示小明和小颖做“剪刀、石头、布”游戏的所有可能出现的结果（其中剪刀、石头、布分别用序号①、②、③表示）；
(2)在（1）的基础上，试说明该游戏对三人是否公平？
22．如图，点M为内切圆的圆心，是的外接圆，的延长线交AC于点N，交于点D，连接，过点D作直线，使．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
23．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，李明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡的坡度，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.414，≈1.732，sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
(1)求点B距水平地面AE的高度；
(2)求广告牌CD的高度．
24．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）b＝ ；（用含a的代数式表示）
（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣4＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；
（3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
（1）写出GF与AE之间的位置关系是： ，
（2）求证：AE＝2GF
（3）连接CP，若sin∠CGP＝，GF＝，求CE的长．
26．在平面直角坐标系中，若对于任意两点、，都有，则称A、B两点互为“友好点”．已知点．
(1)若、、，则点A的“友好点”是 ；
(2)若、都在双曲线上，且A、P两点互为“友好点”．请求出点P的坐标；
(3)已知抛物线（，a，b，c为常数）．顶点为D点，与x轴交于A、B两点，与直线交于P、Q两点．若满足：①抛物线过点；②为等边三角形；③P、Q两点互为“友好点”．求的值．
参考答案：
1．B
【详解】试题解析:
∴对称轴为x=-3，
∵点M在对称轴上,
∴M点的横坐标为-3，
故选B.
2．D
【分析】根据必然事件，随机事件的定义，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】A.投掷一枚硬币，向上一面是正面，是随机事件，不符合题意，
B.同旁内角互补，是随机事件，不符合题意，
C.打开电视，正播放电影《英雄儿女》，是随机事件，不符合题意，
D.任意画一个多边形，其外角和是360°，是必然事件，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查必然事件和随机事件的定义，掌握上述定义是解题的关键．
3．A
【详解】
如图，sinB= .
故选A.
4．B
【分析】用含有k的代数式表示点A移动后所得到的点的坐标，再代入函数关系式进行计算即可．
【详解】解：将点先向右平移个单位，再向下平移k个单位后所得到点的坐标为，
又∵点在函数的图象上，
∴，
解得，（舍去），或，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出移动后的点坐标是解决本题的关键．
5．D
【分析】连接，根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
6．C
【分析】先求得下半身的实际高度，再列出方程求解．
【详解】解：根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，
由题意可得： ＝0.618，
解得：y≈8cm．
经检验：y≈8cm是原方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程在黄金分割比的应用，掌握分式方程的列出和黄金分割比的式子是本题关键．
7．C
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：以原点为位似中心，把线段缩短为原来的，点的坐标为，
点的坐标为，或．即或．
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
8．C
【分析】把v=20m/s，g≈10m/s2代入h=vt-gt2，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得函数的最大值，则问题得解．
【详解】解：∵h=vt-gt2，v=20m/s，g≈10m/s2，
∴h=20t-5t2
=-5（t2-4t）
=-5（t-2）2+20，
∴当t=2s时，h有最大值为20m，即物体能达到的最大高度为20m，且h=20m时，只有一个时刻，
∴A、B、D均不正确．
∵h=20t-5t2为开口向下的二次函数，h有最大值为20m，
∴当h=15m时，对应两个不同的时刻点．
∴C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．C
【分析】设点C的坐标为，则点A的坐标为点B的坐标为，由此即可得出AC、BC的长度，再根据三角形的面积结合S△ABC=8，即可求出k值，取其正值即可．
【详解】解：设点C的坐标为，则点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，BC＝km﹣m＝（k﹣1）m，
，
∴k＝5或k＝﹣3．
∵反比例函数在第一象限有图象，
∴k＝5．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，设出点C的坐标，表示出点A、B的坐标是解题的关键．
10．B
【分析】记AC与PQ的交点为O，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短；过O作BC的垂线P′O，则PO最短为P′O；
接下来可证明△P′OC和△ABC相似，进而利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【详解】解：记AC与PQ的交点为O.
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC==5.
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO，
∴PQ最短也就是PO最短.
过O作BC的垂线OP′.
∵∠ACB=∠P′CO，∠CP′O=∠CAB=90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴OP′=，
∴则PQ的最小值为2OP′=，
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作高线，构造相似三角形.
11．
【分析】画出树状图得出抛两枚骰子的结果总数和向上一面的点数之和为5的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图：
由图可知，一共有36种等可能的结果，其中向上一面的点数之和为5的有4种，
所以向上一面的点数之和为5的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，熟练掌握树状图法求概率的方法步骤是解答的关键．
12．4．
【分析】由圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即可求解．
【详解】解：设圆锥底面半径为rcm，则圆锥底面圆周长为2πrcm，即侧面展开图的弧长为2πrcm，
∴，解得：r＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查圆锥的计算．
13．-2≤x≤0．
【分析】由抛物线对称性及经过点（0，3）求解．
【详解】解：由图象可得抛物线对称轴为直线x=-1，
∵抛物线经过点（0，3），
由对称性可得抛物线经过点（-2，3），
∴y≥3时x的取值范围是-2≤x≤0．
故答案为：-2≤x≤0．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，由抛物线对称性求解．
14．38°##38度
【分析】如图连接，由题意知，，，， 由即可得的值．
【详解】解：如图连接
由题意知，
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
15．
【分析】连接，可知四边形为正方形，设半径为，根据切线长定理列方程求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
由题意可得：，
，
∴四边形为矩形，
又∵
∴矩形为正方形
设半径为，则
∴，
∴
解得
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理，切线长定理，正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
16．
【分析】先根据函数的最值确定函数的顶点坐标和开口方向，在根据函数的增减性，判断当时的函数值取值范围，即可求出a的取值范围．
【详解】解：∵当时，该函数取得最小值，
∴，
∴该函数对称轴为，函数开口向上；
∵，
∴当时，函数值小于0，
即，解得：，
∴a的取值范围：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数在顶点处取得最值，当函数有最小值时，开口向上，反之，开口向下．
17．
【分析】根据题意得到当两个顶点A、B分别在OX、OY上移动时，即为点O在以AB为弦所含的圆周角为45°的弧上运动，设A，B，O三点所在圆的圆心为M，当O，M，C三点共线时，OC的值最大，如图，连接AM，BM，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：∵AB＝2为定线，∠XOY＝45°为定角，
∴当两个顶点A、B分别在OX、OY上移动时，即为点O在以AB为弦所含的圆周角为45°的弧上运动，
设A，B，O三点所在圆的圆心为M，
当O，M，C三点共线时，OC的值最大，
如图，连接AM，BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴OC垂直平分AB，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AMB＝90°，
∵AB＝2，
∴AM＝，DM＝AD＝BD＝1，
∴OM＝，CD＝，
∴OC＝DM＋OM＋CD＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的作出图形是解题的关键．
18．
【分析】先确定出点A坐标，用待定系数法求抛物线解析式；过点M作直线轴，过点A作于N，过点P作于Q，再证明，则，，即可求解．
【详解】解：∵直线交于A、B两点，其中点A在y轴上，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
如图，过点M作直线轴，过点A作于N，过点P作于Q，
∵且，
则，，
∴，而，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
，
∴，
∴，
∴或（舍），
∴．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，主要考查函数图象上点的坐标特征和三角形全等，有一定的综合性，难度适中，解题的关键是作出辅助线，证明．
19．(1)
(2)
【分析】（1）分别计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值及三角函数，再计算加减法；
（2）分别代入各三角函数值计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式．
【点睛】此题考查了含三角函数值的计算，零指数幂定义，负整数指数幂，正确掌握运算法则及特殊的三角函数值是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）2
【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC=∠ADB可得出∠ADE=∠C，结合∠DAE=∠CAD即可证出△AED∽△ADC；
（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长．
【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，
∴∠ADE=∠C．
又∵∠DAE=∠CAD，
∴△AED∽△ADC．
（2）∵△AED∽△ADC，
∴，即，
∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．
又∵AD＝AB，
∴AB＝2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．
21．(1)见解析
(2)该游戏对三人公平，理由见解析
【分析】（1）根据题意画出树状图即可；
（2）根据树状图求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：树状图如下图所示；
（2）解：该游戏对三人公平，理由如下：
由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明、小颖、小凡获胜的结果数都为3中，
∴，
∴该游戏对三人公平．
【点睛】本题主要考查了画树状图或列表法求解概率，游戏的公平性，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，交于点F，由内心的定义得到则，进而可证再证明得到即可证明结论；
（2）连接，同理可得先证明由三角形外角的性质证明即可证明结论；
（3）证明得到，进而求出由此即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，交于点F，
点M为内切圆的圆心，
平分，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
（2）证明：连接，
点M为内切圆的圆心，
平分，
；
（3）解：
，
，
∴的长为．
【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
23．(1)6米
(2)约为米
【分析】（1）过点作于点，先根据坡度的定义可得，从而可得，再根据直角三角形的性质即可得；
（2）过点作于点，作于点，先根据矩形的判定与性质可得米，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得米，从而可得的长，然后在中，解直角三角形可得的长，最后根据即可得．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
山坡的坡度，米，
，
，
米，
故点距水平地面的高度为6米．
（2）解：如图，过点作于点，作于点，
则四边形是矩形，
米，
米，
米，
米，
米，
在中，，，
米，
米，
在中，，米，
，
解得（米），
（米），
答：广告牌的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形、坡度等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
24．（1）2a；（2）﹣1≤c＜8；（3）a＝或﹣．
【分析】（1）利用对称轴公式，即可求解；
（2）该方程在在﹣4＜x＜1的范围内有解，则△＝4+4c≥0，即可求解；
（3）抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），即可求解．
【详解】（1）x＝＝﹣1，故b＝2a，
故答案为：2a；
（2）当a＝﹣1时，函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+c，
方程为：x2+2x﹣c＝0，该方程在在﹣4＜x＜1的范围内有解，
则△＝4+4c≥0，即c≥﹣1；
同时要满足：当x＝﹣4时，y＜0或x＝1时，y＜0，
即﹣16+8+c＜0或﹣1﹣2+c＜0，
故c＜8或c＜3，故c＜8，
故﹣1≤c＜8；
（3）抛物线过点（﹣1，﹣1），该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x+1）2﹣1，
当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，而顶点到x轴的距离为1，
则x＝1时，该点的y坐标为4或﹣4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），
将点（1，4）或（1，﹣4），代入函数表达式得：
4＝a（1+1）2﹣1或﹣4＝a（1+1）2﹣1，
解得：a＝或﹣．
【点睛】本题主要考查了用顶点式求二次函数解析式，以及二次函数最值问题，本类型是中考中重点题型，在多次中考题中出现过.
25．（1）AE⊥GF；（2）证明见解析，（3）1．
【分析】(1)由折叠性质得，∠AOF=∠EOF，进而得AE⊥GF；
（2）过G作GM⊥AB于M，证明△ABE∽△GMF，即可求解；
（3）过P作PK⊥CB于点K，得∠BFE=∠PEC=∠CGP，借助已知函数值，得出BE与BF的关系，在Rt△ABE中，由勾股定理列出方程求得各边长度，再根据（2）得出AE=2，进而求得BE和BC的长即可．
【详解】解:(1)由折叠性质可知，∠AOF=∠EOF，
∵∠AOF+∠EOF=180°，
∴∠AOF=∠EOF=90°，
∴AE⊥GF；
（2）如图1，过点G作GM⊥AB于点M，则四边形ADGM为矩形，
∴AD=GM，∠MFG+∠MGF=90．
由（1）得 GF⊥AE，
∵∠MFG+∠FAO=90°，
∴∠BAE=∠MGF．
∴∠B=∠FMG=90°．
∴△ABE∼△GMF，
∴，
∴AE＝2GF，
（3）如图2，过点P作PK⊥BC，交BC的延长线于点K． 由折叠的性质可知∠FEP=∠FAD=∠D=∠EPG=90°，
∴∠CGP+∠GHP=90°．
∵∠PEC+∠EHC=90° 且∠GHP=∠EHC，
∴∠PEC=∠CGP．
∵∠BEF+∠BFE=∠BEF+∠PEC=90°，
∴∠BFE=∠PEC=∠CGP．
∵
∴
设 BE=3x，则 EF=AF=5x，
∴
∴AB=9x．
∵AE=2GF，GF＝，
∴AE=2，
在 Rt△ABE中，由勾股定理得 AB2+BE2=AE2，即 81x2+9x2=40，
解得或（舍去）
∴AB=9x =6，BE=3x=2，
∵AB＝2BC，
∴BC=3，
∴EC=BC-BE=3-2=1；
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，难度较大，关键在于构造直角三角形充分利用相似三角形和解直角三角形的知识以及勾股定理、方程思想解决问题．
26．(1)
(2)或
(3)202
【分析】（1）根据“友好点”的定义逐一判断；
（2）由点可求得反比例函数的解析式，再设出P点的坐标，根据“友好点”的定义建立方程即可；
（3）由抛物线过可求得c的值，再表示出和中 边上的高，根据为等边三角形可得到a、b之间的等量关系，再联立一次函数与二次函数，得到关于P、Q两点横坐标的一元二次方程，可得到P、Q两点横坐标之间的关系，再由P、Q两点互为“友好点”得到P、Q两点横坐标的另一个关系，即可得到a、b之间的另一个等量关系，恒等变形即可得到，整体代入即可．
【详解】（1）解：，
点A与点B不是互为“友好点”，
，
点A与点C是互为“友好点”，
，
点A与点D不是互为“友好点”，
综上，点A的“友好点”是点C，
故答案为：；
（2）解：在双曲线上，
，
，
A、P两点互为“友好点”，
，
解得或 ，
或；
（3）解：抛物线过，
，
，
抛物线与x轴交于A、B两点，
，
抛物线的顶点为D点，
，
则中边上的高为，
为等边三角形，
，
，
，
，
抛物线与直线交于P、Q两点，
，
，
设，，
则，是方程的两个根，
，
P、Q两点互为“友好点”，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了材料阅读与函数、几何结合，涉及到一次函数，反比例函数，二次函数，等边三角形，读懂题干，熟练掌握函数和几何的有关知识是解决本题的关键．