专题五 切瓜模型- 高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

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专题五　切瓜模型 【方法总结】切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 【例题选讲】[例]　(1)已知在三棱锥P－ABC中，VP­ABC＝，∠APC＝，∠BPC＝，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P－ABC外接球的体积为________．答案　　解析　如图，取PC的中点O，连接AO，BO，设PC＝2R，则OA＝OB＝OC＝OP＝R，∴O是三棱锥P－ABC外接球的球心，易知，PB＝R，BC＝R，∵∠APC＝，PA⊥AC，O为PC的中点，∴AO⊥PC，又平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AO⊥平面PBC，∴VP­ABC＝VA­PBC＝××PB×BC×AO＝××R×R×R＝，解得R＝2，∴三棱锥P－ABC外接球的体积V＝πR3＝．(2)如图，已知平面四边形ABCD满足AB＝AD＝2，∠A＝60˚，∠C＝90˚，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的体积为________．答案　　解析　在四面体ABCD中，∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60˚，∴△ABD为正三角形，设BD的中点为M，连接AM，则AM⊥BD，又平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，∴AM⊥平面CBD．∵△CBD为直角三角形，∴其外接圆的圆心是斜边BD的中点M，由球的性质知，四面体ABCD外接球的球心必在线段AM上，又△ABD为正三角形，∴球心是△ABD的中心，则外接球的半径为×2×＝，∴四面体ABCD外接球的体积为×π×()3＝．(3)已知三棱锥A－BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A－BD－C为直二面角，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为(　　)A．　　　　　　　　B．5π　　　　　　　　C．6π　　　　　　　　D．答案　D　解析　如图，取BD中点M，连接AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分点P，Q，过P作平面ABD的垂线，过Q作平面CBD的垂线，两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，如图，其中OQ＝，CQ＝，连接OC，则外接球的半径R＝OC＝，表面积为4πR2＝，故选D．(4)已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为________．答案　　解析　由题意知的中点为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内．根据球的性质，球心一定在垂线上，球心一定在平面内，且球心也是外接圆的圆心．在中，由余弦定理得，，由正弦定理得：，解得，三棱锥的外接球的表面积．(5)已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥A－DECB的外接球的表面积为________．　　　　答案　10π　解析　取DE的中点M，BC的中点N，连接MN(图略)，由题意知，MN⊥平面ADE，因为△ADE是等腰直角三角形，所以△ADE的外接圆的圆心是点M，四棱锥A－DECB的外接球的球心在直线MN上，又等腰梯形DECB的外接圆的圆心在MN上，所以四棱锥A－DECB的外接球的球心就是等腰梯形DECB的外接圆的圆心．连接BE，易知△BEC是钝角三角形，所以等腰梯形DECB的外接圆的圆心在等腰梯形DECB的外部．设四棱锥A－DECB的外接球的半径为R，球心到BC的距离为d，则解得R2＝，故四棱锥A－DECB的外接球的表面积S＝4πR2＝10π．【对点训练】1．把边长为3的正方沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2．在三棱锥A－BCD中，△ACD与△BCD都是边长为4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为________．3．已知如图所示的三棱锥D－ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝3，AC＝，BC＝CD＝BD＝2，则球O的表面积为(　　)A．4π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．36π4．在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，若，三棱锥的各个顶点均在球上，则球的表面积为(　　)．A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．5．已知空间四边形，，，，，且平面平面，则该几何体的外接球的表面积为　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．6．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．7．在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为　　A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．8．已知空间四边形，，，，且平面平面，则空间四边形的外接球的表面积为　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．9．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为________．10．在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面