专题六 斗笠模型- 高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

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专题六　斗笠模型 【方法总结】圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R＝(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)　　　　　　【例题选讲】[例]　(1)一个圆锥恰有三条母线两两夹角为，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为________．答案　解析　设，则．设，则底面圆的直径为，该圆锥的侧面积为，解得，高．．设圆锥外接球的半径为，所以，解得，则外接球的表面积为．(2)(2020·全国Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　)A．64π　　　　　　　　B．48π　　　　　　　　C．36π　　　　　　　　D．32π答案　A　解析　设⊙O1的半径为r，球的半径为R，依题意，得πr2＝4π，∴r＝2．由正弦定理可得＝2r，∴AB＝2r sin 60°＝2．∴OO1＝AB＝2．根据球的截面性质，得OO1⊥平面ABC，∴OO1⊥O1A，R＝OA＝＝＝4，∴球O的表面积S＝4πR2＝64π．故选A．(3)在三棱锥中，，且，则该三棱锥外接球的表面积为________．答案　36π　解析　设顶点在底面中的射影为，由于，所以，即点是底面的外心，又，所以为的中点，因为，所以，设外接球的球心为，半径为，则必在上，，在中，，解得，所以．(4)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)A．　　　　　　　　B．16π　　　　　　　　C．9π　　　　　　　　D．答案　A　解析　如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P­ABCD中AB＝2，∴AO′＝，∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π×2＝.(5)如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，CD的中点，cos∠PEF＝，若A，B，C，D，P在同一球面上，则此球的体积为________．答案　36π　解析　由题意，得底面ABCD是边长为4的正方形，cos ∠PEF＝，故高PO1为2．易知正四棱锥P－ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记球心为O，则AO1＝2，PO＝AO＝R，PO1＝2，OO1＝2－R或OO1＝R－2(此时O在PO1的延长线上)，在直角△AO1O中，R2＝AO＋OO＝(2)2＋(2－R)2，解得R＝3，所以球的体积为V＝πR3＝×33＝36π．(6)在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的体积为　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．答案　A　解析　由，过作平面，垂足为，则为三角形的外心，在中，由，，可得，则由正弦定理可得：，即．．取中点，作交于，则为该三棱锥外接球的球心．由，可得，则．可知与重合，即该棱锥外接球半径为1．该三棱锥外接球的体积为．【对点训练】1．已知圆锥的顶点为，母线与底面所成的角为，底面圆心到的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为________．1．答案　　解析　依题意得，圆锥底面半径，高．设圆锥外接球半径为，则，即，解得：．外接球的表面积为．2．在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2．答案　　解析　过点作底面ABC的垂线，垂足为，设为外接球的球心，连接，因，，故，，又为直角三角形，，∴，∴，∴，∴．3．在三棱锥中，，，且，则该三棱锥外接球的表面积为　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．3．答案　D　解析　由题意，点在底面上的射影是的中点，是三角形的外心，令球心为，，且，，又，如图在直角三角形中，，即，，则该三棱锥外接球的表面积为．4．已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥外接球的半径是　　A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．4．答案　D　解析　正三棱锥的外接球的球心满足，说明三角形在球的大圆上，并且为正三角形，设球的半径为：，棱锥的底面正三角形的高为，底面三角形的边长为，正三棱锥的体积为，解得，则此三棱锥外接球的半径是．5．已知正四棱锥P－ABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．5．答案　C　解析　如图所示，设底面正方形ABCD的中心为O′，正四棱锥P－ABCD的外接球的球心为O，∵底面正方形的边长为，∴O′D＝1，∵正四棱锥的体积为2，∴VP－ABCD＝×()2×PO′＝2，解得PO′＝3，∴OO′＝|PO′－PO|＝|3－R|，在Rt△OO′D中，由勾股定理可得OO′2＋O′D2＝OD2，即(3－R)2＋12＝R2，解得R＝，∴V球＝πR3＝π×3＝．6．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是________．6．答案　　解析　如图，设母线长为，，，，，，延长使，则为外接球球心，半径为4，表面积为．7．已知圆台上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为，圆台的外接球的球心为，且球心在圆台的轴上，满足，则圆台的外接球的表面积为________．7．答案　　解析　设外接球的半径为，，，且，得，解得，球的表面积为．8．在六棱锥中，底面是边长为的正六边形，且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于________．8．答案　　解析　六棱锥中，底面是边长为的正六边形，且与底面垂直，可得是该六棱锥外接球的直径，底面是边长为的正六边形的对角线差为：，可得，外接球的半径为，外接球的体积为．9．在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为________．9．答案　　解析　，，，又，，，则，为直角三角形，外接圆的圆心在边的中点上，设外接圆的圆心为，所以三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，设外接球半径为，连接，，则，所以要使，点在的外接圆圆心的位置即可，又，，，则，由正弦定理可得：，解得，，三棱锥的外接球的表面积为．10．在三棱锥中，，，．顶点在平面内的射影为，若且，则三棱锥的外接球的体积为________．10．答案　　解析　由于三棱锥的顶点在平面内的射影为点，为球心，，，，，即，①，同理对①两边取点乘，可得，，②，又③，由①②③解得，舍去），，，