专题七 鳄鱼模型- 高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

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专题七　鳄鱼模型 【方法总结】鳄鱼模型即普通三棱锥模型，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2＝＋(其中l＝|AB|)解决．【例题选讲】[例]　(1)在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为________．答案　　解析　如图，取中点，连接，，因为与均为边长为2的等边三角形，所以，，则为二面角的平面角，即，设与外接圆圆心分别为，，则由，可得，，分别过作平面，平面的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为，连接，，则由对称性可得，所以，则，则三棱锥外接球的表面积， (2)在等腰直角中，，，为斜边的高，将沿折叠，使二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为________．答案　　解析　沿折叠后二面角为，即折叠后，所以为等边三角形，又因为，所以折叠后，设点为三棱锥外接球的球心，为的外心，所以，所以，又，所以球心半径，所以．(3)在四面体ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，二面角A－BD－C的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为________．答案　　解析　因为∠BCD＝90°，所以BC⊥CD，设BD的中点为O2，则O2为△BCD外接圆的圆心，由AB＝AD＝2，∠BAD＝60°知，△ABD为等边三角形，设△ABD的外接圆的圆心为O1，连接AO2，则O1在线段AO2上，过O1，O2分别作平面ABD与平面BDC的垂线，交于点O，则O为四面体ABCD外接球的球心，过O2在平面BCD内作O2E⊥BD，交DC于点E，则∠AO2E＝150°，所以∠AO2O＝60°，又O1O2＝，所以OO1＝1，连接OA，又AO1＝，所以OA＝＝＝．(3)在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的余弦值是－，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是(　　)A．4π　　　　　　　　B．6π　　　　　　　　C．8π　　　　　　　　D．9π答案　B　解析　如图，取AC的中点D，连接SD，BD．因为SA＝SC，AB＝BC，所以SD⊥AC，BD⊥AC，可得∠SDB即为二面角S－AC－B的平面角，故cos∠SDB＝－．在△ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，则AC＝＝2，所以CD＝AD＝1．在Rt△SDC中，SD＝＝＝，同理可得BD＝1，由余弦定理得cos∠SDB＝＝－，解得SB＝．在△SCB中，SC2＋CB2＝4＋2＝()2＝SB2，所以△SCB为直角三角形，同理可得△SAB为直角三角形，取SB的中点E，则SE＝EB＝，在Rt△SCB与Rt△SAB中，EA＝＝，EC＝＝，所以点E为该球的球心，半径为，所以该球的表面积为S＝4×π×＝6π，故选B．(4)已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．答案　D　解析　取中点，中点，易知，，，且平面平面，作交的延长线于，则平面，球心在过与平面垂直的直线上如图：作于，设，由已知条件可得，，，，从而，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，由解得，，，(5)在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为________．答案　　解析　如图所示，过点作面，垂足为，过点作交于点，连接，则为二面角的平面角的补角，即有，易知面，则，而为等边三角形，所以为中点，设，，，则，故三棱锥的体积为：，当且仅当时，体积最大，则，即，，所以、、三点共线，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，过点作于，则四边形为矩形，则，，，在中，，解得，三棱锥的外接球的表面积为．(6)在体积为的四棱锥中，底面为边长为2的正方形，为等边三角形，二面角为锐角，则四棱锥外接球的半径为　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．答案　A　解析　取的中点，的中点，连接，，，过作于，由，可得，，所以面，可得，，所以面，所以，解得，而为等边三角形，所以，所以，所以可得，可得，，，所以，所以，取的中点，即四边形的对角线的交点，，过作垂直于底面，可得，取为外接球的球心，设外接球的半径为，连接，，则可得，过作于，则四边形为矩形，所以，，当，在面的同侧时，在中，①，在中，②，由①②可得（舍，当，在面的两侧时，在中，③，过在中，②，由②③可得，，所以，【对点训练】1．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积是　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2．已知三棱锥，，且、均为等边三角形，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积是________．3．已知边长为6的菱形中，，沿对角线折成二面角的大小为的四面体且，则四面体的外接球的表面积为________．4．在三棱锥中，顶点在底面的投影是的外心，，且面与底面所成的二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为________．5．直角三角形，，，将绕边旋转至位置，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．6．已知空间四边形中，，，，若二面角的取值范围为，，则该几何体的外接球表面积的取值范围为________．7．在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，二面角的大小为，则此三棱锥的外接球的表面积为________．8．在四面体中，，，二面角的平面角为，则四面体外接球的表面积为　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．9．在三棱锥中，，，二面角是钝角．若三棱锥的体积为2．则三棱锥的外接球的表面积是　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．