专题九 最值模型- 高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

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最值问题的解法有两种方法：一种是几何法，即在运动变化过程中得到最值，从而转化为定值问题求解．另一种是代数方法，即建立目标函数，从而求目标函数的最值．
【例题选讲】
[例] (1)已知三棱锥P－ABC的顶点P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是边长为eq \r(3)的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为________．
答案 3＋2eq \r(2) 解析 依题意，边长是eq \r(3)的等边△ABC的外接圆半径r＝eq \f(1,2)·eq \f(\r(3),sin 60°)＝1.∵球O的表面积为36π＝4πR2，∴球O的半径R＝3，∴球心O到平面ABC的距离d＝eq \r(R2－r2)＝2eq \r(2)，∴球面上的点P到平面ABC距离的最大值为R＋d＝3＋2eq \r(2)．
(2)在四面体ABCD中，AB＝1，BC＝CD＝eq \r(3)，AC＝eq \r(2)，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为( )
A．2π B．3π C．6π D．8π
答案 C 解析 ∵AB＝1，BC＝eq \r(3)，AC＝eq \r(2)，由勾股定理可得AB2＋AC2＝BC2，所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为BC＝eq \r(3)，当CD⊥平面ABC时，四面体ABCD的体积取最大值，此时，其外接球的直径为2R＝eq \r(BC2＋CD2)＝eq \r(6)，因此，四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2＝π×(2R)2＝6π．故选C．
(3)已知四棱锥S－ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋16eq \r(3)，则球O的体积等于( )
A．eq \f(4\r(2)π,3) B．eq \f(16\r(2)π,3) C．eq \f(32\r(2)π,3) D．eq \f(64\r(2)π,3)
答案 D 解析 由题意得，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥．因为该四棱锥的表面积等于16＋16eq \r(3)，设球O的半径为R，则AC＝2R，SO＝R，如图，所以该四棱锥的底面边长AB＝eq \r(2)R，则有(eq \r(2)R)2＋4×eq \f(1,2)×eq \r(2)R× eq \r((\r(2)R)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)R))\s\up12(2))＝16＋16eq \r(3)，解得R＝2eq \r(2)，所以球O的体积是eq \f(4,3)πR3＝eq \f(64\r(2),3)π．故选D．
(4)三棱锥A－BCD内接于半径为eq \r(5)的球O中，AB＝CD＝4，则三棱锥A－BCD的体积的最大值为( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(8,3) C．eq \f(16,3) D．eq \f(32,3)
答案 C 解析 如图，过CD作平面ECD，使AB⊥平面ECD，交AB于点E，设点E到CD的距离为EF，当球心在EF上时，EF最大，此时E，F分别为AB，CD的中点，且球心O为EF的中点，所以EF＝2，所以Vmax＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×4×2×4＝eq \f(16,3)，故选C．
(5)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．
答案 8 解析 设正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的半径为r，由题意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－eq \f(h2,2)，所以正四棱柱的体积V＝a2h＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6－\f(h2,2)))h，则V′＝6－eq \f(3,2)h2，由V′>0，得0