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2023年中考数学专题复习:二次函数综合题(特殊三角形问题)(含答案)
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2023年中考数学专题复习:二次函数综合题(特殊三角形问题) 1.如图,已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点,点D与点C关于x轴对称,点P是线段AB上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;(2)在点P运动过程中,是否存在点Q,使得△BQM是直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC,将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°,得到,点A、O、C的对应点分别是点、、、若的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点的横坐标. 2.如图,已知A(﹣2,0)、B(3,0),抛物线y=ax2+bx+4经过A、B两点,交y轴于点C.点P是第一象限内抛物线上的一动点,点P的横坐标为m.过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.过点P作PN⊥BC,垂足为点N.(1)直接写出抛物线的函数关系式 ;(2)请用含m的代数式表示线段PN的长 ;(3)连接PC,在第一象限的抛物线上是否存在点P,使得∠BCO+2∠PCN=90°?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由;(4)连接AQ,若△ACQ为等腰三角形,请直接写出m的值 . 3.如图,抛物线过,两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线轴,交x轴于点H.(1)求抛物线的表达式;(2)求的面积;(3)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,当为等腰直角三角形时,点N的坐标为______. 4.如图,已知二次函数的图象经过点、和原点O.P为二次函数图象上的一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为,并与直线OA交于点C.(1)求出二次函数的解析式;(2)当点P在直线OA的上方时,求线段PC的最大值;(3)当时,探索是否存在点P,使得为等腰三角形,如果存在,求出P的坐标;如果不存在,请说明理由. 5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线(a≠0)的图象与x轴交于A、C两点,与y轴交于点B,其中点B坐标为(0,-4),点C坐标为(2,0).(1)求此抛物线的函数解析式.(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点,连接AD、BD,探究是否存在点D,使得△ABD的面积最大?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点P为该抛物线对称轴上的动点,使得△PAB为直角三角形,请求出点P的坐标. 6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,顶点为,连接交抛物线的对称轴于点.(1)求抛物线的表达式;(2)连接、,点是射线上的一点,如果,求点的坐标;(3)点是线段上的一点,点是对称轴右侧抛物线上的一点,如果是以为腰的等腰直角三角形,求点的坐标. 7.已知抛物线经过A(-1,0)、B(0、3)、 C(3,0)三点,O为坐标原点,抛物线交正方形OBDC的边BD于点E,点M为射线BD上一动点,连接OM ,交BC于点F (1)求抛物线的表达式;(2)求证:∠BOF=∠BDF :(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求ME的长 8.如图,抛物线与x轴交于,B两点,与y轴交于点,点D为x轴上方抛物线上的动点,射线交直线于点E,将射线绕点O逆时针旋转得到射线,交直线于点F,连接.(1)求抛物线的解析式;(2)当点D在第二象限且时,求点D的坐标;(3)当为直角三角形时,请直接写出点D的坐标. 9.已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A(1,0),图像与y轴交于点B(0,3),C、D为该二次函数图像上的两个动点(点C在点D的左侧),且.(1)求该二次函数的表达式;(2)若点C与点B重合,求tan∠CDA的值;(3)点C是否存在其他的位置,使得tan∠CDA的值与(2)中所求的值相等?若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由. 10.如图1,抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于C点,D是抛物线上的动点,已知A的坐标为(-3,0),C的坐标为(0,3).(1)求该抛物线的函数表达式以及B点的坐标;(2)在第二象限内是否存在点D使得△ACD是直角三角形且∠ADC=90°,若存在请求出D点的坐标,若不存在请说明理由;(3)如图2,连接AC,BC,当∠ACD=∠BCO,求D点的坐标.11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣1,﹣2)和点B(﹣2,1),抛物线C2:y=3x2+3x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.(1)求抛物线C1的表达式;(2)求线段MN的长(用含t的代数式表达);(3)当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值. 12.如图,二次函数的图象经过点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式;(2)第一象限内的二次函数图象上有一动点P,x轴正半轴上有一点D,且OD=2,当S△PCD=3时,求出点P的坐标;(3)若点M在第一象限内二次函数图象上,是否存在以CD为直角边的,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由. 13.如图,抛物线与x轴交于,两点,与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A,D两点,与y轴交于点E,点D的坐标为.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是抛物线上的点,点P的横坐标为,过点P作轴,垂足为M.PM与直线l交于点N,当点N是线段PM的三等分点时,求点P的坐标;(3)若点Q是y轴上的点,且,求点Q的坐标. 14.如图,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.(1)求该抛物线的解析式;(2)若点是线段上一动点,过点的直线平行于轴并交抛物线于点,当线段取得最大值时,在轴上是否存在这样的点,使得以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形?若存在,请求出所有点的坐标;若不存在,请说明理由. 15.如图,抛物线与x轴相交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴相交于点C,M是抛物线的顶点,直线是抛物线的对称轴,且点C的坐标为.(1)求抛物线的解析式;(2)已知P为线段上一个动点,过点P作轴于点D.若的面积为S.①求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;②当S取得最大值时,求点P的坐标.(3)在(2)的条件下,在线段上是否存在点P,使为等腰三角形?如果存在,直接写出满足条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 16.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0,1)和点B(3,4).(1)求该抛物线的解析式;(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点,连接AC,BC,以AC,BC为邻边作平行四边形ACBP,求四边形ACBP面积的最大值;(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点D,是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 17.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,连接.(1)求线段AC的长;(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点,当时,求点P的坐标;(3)若点M为该抛物线上的一个动点,当为直角三角形时,求点M的坐标. 18.如图,已知抛物线经过点B(4,0)和点C(0,-2),与x轴的另一个交点为点A,其对称轴与x轴交于点E,过点C且平行x轴的直线交抛物线于点D,连接AD.(1)求该抛物线的解析式;(2)判断△ABD的形状,并说明理由;(3)P为线段AD上一点,连接PE,若△APE是直角三角形,求点P的坐标;(4)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△APD是直角三角形,若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.19.如图,抛物线与轴相交于,两点,与轴相交于点,点在点的左侧,,,点是抛物线的顶点,是抛物线对称轴上的点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当点关于直线的对称点落在抛物线上时,求点的横坐标;(3)若点是抛物线上的动点,是否存在以点,,,为顶点的四边形是平行四边形.若存在,直接写出点的坐标__________;若不存在,请说明理由;(4)直线交轴于点,若点是线段上的一个动点,是否存在以点,,为顶点的三角形与相似,若存在,请直接写出点的坐标__________;若不存在,请说明理由. 20.如图1,抛物线与轴交于点、,与轴交于点,点为轴上方抛物线上的动点,点为轴上的动点,连接,,.(1)求该抛物线所对应的函数解析式;(2)如图1,当点的坐标为,求出此时面积的最大值;(3)如图2,是否存在点,使得是以为腰的等腰直角三角形?若存在,求出所有点的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案:1.(1)(2)存在,Q(3,2)或Q(-1,0)(3)两个“和谐点”,的横坐标是1或 2.(1)(2)(3)存在,(4)或 3.(1)(2)3(3)(2,0)或(﹣4,0)或(﹣2,0)或(4,0). 4.(1)y=-x2+4x(2)(3)存在,点P的坐标为或或(5,-5)或(4,0) 5.(1)(2)(-2,-4)(3)P点坐标为:(-1,3),(-1,-5),, 6.(1)(2)(3)或 7.(1)(2)见解析(3)存在,或 8.(1)(2)或(3)或或或 9.(1)(2)1(3),, 10.(1)y=-x2-2x+3,B(1,0)(2)存在,D(-2,3)(3)D(-,)或(-4,-5) 11.(1)y=2x2+3x﹣1(2)t2+2(3)t=0 12.(1)(2)P1(,),P2(2,3)(3)存在点M其坐标为或 13.(1)y=x2−x−3(2)(3,−)或(0,−3)(3)(0,−)或(0,9) 14.(1)(2),或,或 15.(1)(2)①;②S有最大值为,此时(3)存在,或 16.(1)(2)(3)存在,E(4,3)或(-2,5)或(-3,2)或(3,0). 17.(1)(2)(3)或或或 18.(1)(2)直角三角形,见解析(3)(1,-1)或(,-)(4)存在,( ,-1+ ),( ,-1- ),( ,5),( ,-5) 19.(1)(2)或(3)存在,或或(4)存在,或 20.(1)(2)(3)存在,,
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