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2022-2023学年天津外国语大学附属外国语学校七年级（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年天津外国语大学附属外国语学校七年级（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津外国语大学附属外国语学校七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）同步卫星在赤道上空大约36000000米处，将数据36000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.36×108 B．3.6×107 C．36×106 D．3.6×108
2．（3分）计算的结果是（ ）
A．﹣6 B． C．6 D．
3．（3分）已知多项式x2﹣3xy2﹣4的次数是a，二次项系数是b，那么a+b的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（3分）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．m+n＝1 C．y+3＝1 D．2
5．（3分）如图，由5个相同的正方体叠成的几何体，从左边看所得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果2x＝﹣2，那么x＝﹣1
B．如果3a﹣2＝5a，那么3a+5a＝2
C．如果a＝b，那么a+1＝b﹣1
D．如果6x＝3，那么x＝2
7．（3分）如图，OA为北偏东35°方向，∠AOB＝90°，则OB的方向为（ ）
A．南偏东35° B．南偏东55° C．南偏西55° D．北偏东55°
8．（3分）把弯曲的河道改直可以缩短航程，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．线段可以向两个方向延长
B．两点确定一条直线
C．经过一点的直线有无数条
D．两点之间，线段最短
9．（3分）如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有：有、志、者、事、竟、成，将其围成一个正方体后，则与“有”对应的是（ ）
A．竟 B．成 C．事 D．者
10．（3分）如图，已知点D在线段AB上，AD＝BD＝a，C为AD的中点，下列等式不正确的是（ ）
A．CDCB B．CDAB
C．ADBC D．CD（AD+AC）
11．（3分）如图，已知∠AOB＝140°，∠COD＝40°，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，则∠NOM的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
12．（3分）有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10＝43m﹣1；②；③；④40m+10＝43m+1．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
二．填空题（共8小题，每题3分，共24分）
13．（3分）用度、分、秒表示：38.78°＝ ．
14．（3分）往返于甲、乙两地的火车，途中停靠五个站，则最多要准备 种车票．
15．（3分）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，则x2021﹣cd的值为 ．
16．（3分）若x＝2y﹣5，那么5（x﹣2y）2+6y﹣3x的值为 ．
17．（3分）一个角的补角比它的余角的3倍少20°，这个角的度数是
18．（3分）如图，将一副三角板的直角顶点O叠放在一起，∠BOC∠AOD，则∠BOD＝ °．
19．（3分）已知a、b、c、d为有理数，现规定一种新运算ad﹣bc，如1×（﹣5）﹣3×2＝﹣11那么，当22时，则x的值为 ．
20．（3分）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过 秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度．
三．解答题（共5小题，共40分）
21．（5分）计算：﹣12022﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]．
22．（5分）解一元一次方程：．
23．（10分）已知多项式A＝x2+xy+3y，B＝x2﹣xy．
（1）求2A﹣B；
（2）x＝﹣2，y＝5时，求2A﹣B的值；
（3）若2A﹣B的值与y的值无关，求x的值．
24．（10分）甲、乙两家超市以相同的单价出售同种消毒液，为了吸引顾客，他们推出了各自的优惠方案：
甲超市：累计购买消毒液超出100元后，超出部分按原价8折优惠；
乙超市：累计购买消毒液超出80元后，超出部分按原价8.5折优惠．
某顾客预计购买消毒液的原价为（x＞100）元．
（1）请用含x的代数式分别表示该顾客在两家超市购买消毒液应付的费用；（直接写出即可）
（2）你会推荐该顾客到哪家超市购买？请说明你的理由．
25．（10分）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）求∠DPC；
（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC的边PA从PN绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），求的值．
（4）如图③，在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，直接写出旋转的时间．
2022-2023学年天津外国语大学附属外国语学校七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）同步卫星在赤道上空大约36000000米处，将数据36000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.36×108 B．3.6×107 C．36×106 D．3.6×108
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
【解答】解：36 000 000＝3.6×107，
故选：B．
【点评】此题考查了对科学记数法的理解和运用，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）计算的结果是（ ）
A．﹣6 B． C．6 D．
【分析】除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，由此即可计算．
【解答】解：（﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查有理数的除法，关键是掌握有理数除法的法则．
3．（3分）已知多项式x2﹣3xy2﹣4的次数是a，二次项系数是b，那么a+b的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，每个单项式叫做多项式的项，由此即可计算．
【解答】解：∵多项式x2﹣3xy2﹣4的次数是a，二次项系数是b，
∴a＝3，b＝1，
∴a+b＝3+1＝4，
故选：A．
【点评】本题考查多项式的有关概念，关键是掌握多项式的次数，项的概念．
4．（3分）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．m+n＝1 C．y+3＝1 D．2
【分析】根据一元一次方程的定义，逐一分析各选项中的方程，即可得出结论．
【解答】解：A．方程x2﹣1＝0是一元二次方程，选项A不符合题意；
B．方程m+n＝1是二元一次方程，选项B不符合题意；
C．方程y+3＝1是一元一次方程，选项C符合题意；
D．方程2是分式方程，选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，牢记“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．
5．（3分）如图，由5个相同的正方体叠成的几何体，从左边看所得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左边看，得出结论即可．
【解答】解：原几何体的左视图为，
故选：B．
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
6．（3分）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果2x＝﹣2，那么x＝﹣1
B．如果3a﹣2＝5a，那么3a+5a＝2
C．如果a＝b，那么a+1＝b﹣1
D．如果6x＝3，那么x＝2
【分析】根据等式的性质进行计算即可．
【解答】解：A、在等式2x＝﹣2的两边同时除以2，得到x＝﹣1，变形正确，符合题意；
B、如果3a﹣2＝5a，那么3a﹣5a＝2，变形不正确，不符合题意；
C、如果a＝b，那么a+1＝b+1，变形不正确，不符合题意；
D、如果6x＝3，那么x，变形不正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了等式的性质：
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
7．（3分）如图，OA为北偏东35°方向，∠AOB＝90°，则OB的方向为（ ）
A．南偏东35° B．南偏东55° C．南偏西55° D．北偏东55°
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可判断．
【解答】解：∵OA为北偏东35°方向，∠AOB＝90°，
∴OB的方向为南偏东180°﹣35°﹣90°＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查方向角的概念，关键是掌握方向角的定义．
8．（3分）把弯曲的河道改直可以缩短航程，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．线段可以向两个方向延长
B．两点确定一条直线
C．经过一点的直线有无数条
D．两点之间，线段最短
【分析】根据线段的性质，可得答案．
【解答】解：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是：两点之间线段最短，
故选：D．
【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题关键．
9．（3分）如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有：有、志、者、事、竟、成，将其围成一个正方体后，则与“有”对应的是（ ）
A．竟 B．成 C．事 D．者
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“志”相对的字是“事”；
“者”相对的字是“竟”；
“有”相对的字是“成”．
故选：B．
【点评】本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特征是正确判断的前提．
10．（3分）如图，已知点D在线段AB上，AD＝BD＝a，C为AD的中点，下列等式不正确的是（ ）
A．CDCB B．CDAB
C．ADBC D．CD（AD+AC）
【分析】根据线段中点的性质，可得答案．
【解答】解：由AD＝BD＝a，C为AD的中点，得
2AC＝2CD＝AD＝BD．
A、∵3CD＝CD+BD＝BC，∴CDBC，故A不符合题意；
B、∵4CD＝AB，∴CDAB，故B符合题意；
C、BC＝CD+BD＝3CD，AD＝2CD，AD：BC＝2：3，ADBC，故C不符合题意；
D、3CD＝AC+CD+AC＝（AD+AC），CD（AD+AC），故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质、线段的和差是解题关键．
11．（3分）如图，已知∠AOB＝140°，∠COD＝40°，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，则∠NOM的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．
【解答】解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴∠AOD＝2∠DOM、∠BOC＝2∠NOC，
又∵∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD，
∴∠AOB＝2∠DOM+2∠NOC﹣∠COD，
即∠AOB＝2（∠DOM+∠NOC）﹣∠COD，
∵∠AOB＝140°，∠COD＝40°，
∴∠DOM+∠NOC＝90°，
则∠MON＝∠DOM+∠NOC﹣∠COD＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
12．（3分）有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10＝43m﹣1；②；③；④40m+10＝43m+1．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
【分析】由乘车的人数不变，可得出关于m的一元一次方程；由客车辆数不变，可得出关于n的一元一次方程，再对照给定的4个等式即可得出结论．
【解答】解：由人数不变，可列出方程：40m+10＝43m+1，
∴等式④正确；
由客车的辆数不变，可列出方程：，
∴等式③正确．
∴正确的结论是③④．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二．填空题（共8小题，每题3分，共24分）
13．（3分）用度、分、秒表示：38.78°＝ 38°46′48″ ．
【分析】根据大单位化小单位乘以进率，可得答案．
【解答】解：38.78°＝38°46′48″，
故答案为：38°46′48″．
【点评】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率是解题关键．
14．（3分）往返于甲、乙两地的火车，途中停靠五个站，则最多要准备 42 种车票．
【分析】根据数线段条数的方法数出线段的条数，再考虑方向得出车票的种类．
【解答】解：如图，
图形中共有线段6+5+4+3+2+1＝21条，
所以最多需要准备21×2＝42种车票，
故答案为：42．
【点评】本题考查直线、射线、线段，掌握线段条数的计算方法是正确解答的关键．
15．（3分）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，则x2021﹣cd的值为 0或﹣2 ．
【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，可以得到a+b＝0，cd＝1，x＝±1，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的点表示的数，
∴a+b＝0，cd＝1，x＝±1，
∴当x＝﹣1时，原式＝﹣1﹣1+0＝﹣2；
当x＝1时，原式＝1﹣1+0＝0．
综上所述，x2021﹣cd的值为0或﹣2．
故答案为：0或﹣2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
16．（3分）若x＝2y﹣5，那么5（x﹣2y）2+6y﹣3x的值为 140 ．
【分析】根据移项，可得（x﹣2y）的值，根据代数式求值，可得答案．
【解答】解：移项，得
x﹣2y＝﹣5．
5（x﹣2y）2+6y﹣3x＝5（x﹣2y）2﹣3（x﹣2y），
当x﹣2y＝﹣5时，原式＝5×（﹣5）2﹣3×（﹣5）＝125+15＝140，
故答案为：140．
【点评】本题考查了代数式求值，把（x﹣2y）整体代入是解题关键．
17．（3分）一个角的补角比它的余角的3倍少20°，这个角的度数是 35°
【分析】设这个角为x度．根据一个角的补角比它的余角的3倍少20°，构建方程即可解决问题．
【解答】解：设这个角为x度．
则180°﹣x＝3（90°﹣x）﹣20°，
解得：x＝35°．
答：这个角的度数是35°．
故答案为：35°．
【点评】本题考查余角、补角的定义，一元一次方程等知识，解题的关键是学会与方程分思想思考问题，属于中考常考题型．
18．（3分）如图，将一副三角板的直角顶点O叠放在一起，∠BOC∠AOD，则∠BOD＝ 70 °．
【分析】根据已知求出∠AOD+∠BOC＝180°，再根据∠BOC∠AOD求出∠AOD，即可求出答案．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠COD
＝∠AOB+∠DOB+∠BOC
＝∠AOB+∠COD
＝90°+90°
＝180°，
∵∠BOC∠AOD，
∴∠AOD∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝160°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝160°﹣90°＝70°，
故答案为：70．
【点评】本题考查了余角和补角的应用，能求出∠AOD+∠BOC＝180°是解此题的关键．
19．（3分）已知a、b、c、d为有理数，现规定一种新运算ad﹣bc，如1×（﹣5）﹣3×2＝﹣11那么，当22时，则x的值为 ﹣3 ．
【分析】根据行列式，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【解答】解：根据题意知2×7﹣4（x+1）＝22，
解得：x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，利用行列式得出一元一次方程是解题关键．
20．（3分）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过 2或18 秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度．
【分析】用含有时间t的代数式表示MN的距离，利用方程求解即可．
【解答】解：分两种情况，
①当点N沿着数轴向右移动，则点M表示的数为（﹣2+5t），点N表示的数为（4+4t），
由MN＝12得，|（﹣2+5t）﹣（4+4t）|＝12，
解得，t＝﹣6（舍去），或t＝18；
②当点N沿着数轴向左移动，则点M表示的数为（﹣2+5t），点N表示的数为（4﹣4t），
由MN＝12得，|（﹣2+5t）﹣（4﹣4t）|＝12，
解得，t（舍去），或t＝2；
故答案为：2或18．
【点评】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的线段的距离表示方法是解题的关键．
三．解答题（共5小题，共40分）
21．（5分）计算：﹣12022﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]．
【分析】先挺好呀乘方，再算括号里的运算，接着算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：﹣12022﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]
＝﹣1﹣（1﹣0.5）（2﹣9）
＝﹣1
＝﹣1
．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22．（5分）解一元一次方程：．
【分析】按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【解答】解：，
去分母得：3（x﹣1）﹣6＝4x，
去括号得：3x﹣3﹣6＝4x，
移项得：3x﹣4x＝6+3，
合并同类项得：﹣x＝9，
系数化为1得：x＝﹣9．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．
23．（10分）已知多项式A＝x2+xy+3y，B＝x2﹣xy．
（1）求2A﹣B；
（2）x＝﹣2，y＝5时，求2A﹣B的值；
（3）若2A﹣B的值与y的值无关，求x的值．
【分析】（1）把A、B标示的代数式代入2A﹣B，化简即可；
（2）把x、y的值代入化简后的代数式，求值即可；
（3）根据“2A﹣B的值与y的值无关”得到关于x的方程，求解即可．
【解答】解：（1）2A﹣B
＝2（x2+xy+3y）﹣（x2﹣xy）
＝2x2+2xy+6y﹣x2+xy
＝x2+3xy+6y．
（2）当x＝﹣2，y＝5时，
原式＝（﹣2）2+3×5×（﹣2）+6×5
＝4﹣30+30
＝4．
（3）∵2A﹣B＝x2+3xy+6y＝x2+（3x+6）y，
又∵2A﹣B的值与y的值无关，
∴3x+6＝0，
∴x＝﹣2．
【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握合并同类项法则、去括号法则、有理数的混合运算是解决本题的关键．
24．（10分）甲、乙两家超市以相同的单价出售同种消毒液，为了吸引顾客，他们推出了各自的优惠方案：
甲超市：累计购买消毒液超出100元后，超出部分按原价8折优惠；
乙超市：累计购买消毒液超出80元后，超出部分按原价8.5折优惠．
某顾客预计购买消毒液的原价为（x＞100）元．
（1）请用含x的代数式分别表示该顾客在两家超市购买消毒液应付的费用；（直接写出即可）
（2）你会推荐该顾客到哪家超市购买？请说明你的理由．
【分析】（1）根据各自的优惠方案直接可得答案；
（2）分三种情况列出方程或不等式，即可解得答案．
【解答】解：（1）在甲超市购买消毒液应付的费用为100+0.8×（x﹣100）＝（0.8x+20）元，
在乙超市购买消毒液应付的费用为80+0.85（x﹣80）＝（0.85x+12）元；
（2）当0.8x+20＝0.85x+12时，
解得x＝160，
∴购买消毒液原价为160元时到两家超市费用相同；
当0.8x+20＞0.85x+12时，
解得x＜160，
∴购买消毒液原价小于160元时到乙超市费用较少；
当0.8x+20＜0.85x+12时，
解得x＞160，
∴购买消毒液原价大于160元时到甲超市费用较少；
答：购买消毒液原价为160元时到两家超市费用相同，购买消毒液原价小于160元时到乙超市费用较少，购买消毒液原价大于160元时到甲超市费用较少．
【点评】本题考查列代数式及一元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程，一元一次不等式．
25．（10分）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）求∠DPC；
（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC的边PA从PN绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），求的值．
（4）如图③，在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，直接写出旋转的时间．
【分析】（1）利用直角三角形的两个锐角互余可证∠DPC＝90°；
（2）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解；
（3）设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，表示出∠CPD和∠BPN的度数即可得出答案；
（4）分三种情况讨论，建立与时间t有关的方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，
又∵∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
（2）∵PE平分∠CPD，
∴设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y．
则∠APF＝60°﹣y，
∠DPF＝2x+y，
∵∠CPA＝60°，
∴y+2x＝60°﹣y，
∴x+y＝30°，
∴∠EPF＝x+y＝30°．
（3）设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180﹣2t，
∵运动之前∠CPD＝90°，两个三角板运动的速度差为1°/秒，
∴∠CPD＝90﹣t．
∴．
（4）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角．
∵当PA与PM重合时，两三角板都停止转动，
∴t≤36秒．
分三种情况讨论：
①当PC平分∠BPD时，根据题意列得方程5t﹣t＝9030，
解得t36，符合题意；
②当PB平分∠CPD时，根据题意列得方程5t﹣t＝90+2×30，
解得t＝37.5＞36，不符合题意应舍去；
当PD平分∠BPC时，根据题意列得方程5t﹣t＝90﹣30，
解得t＝15＜36，符合题意．
综上：当旋转时间为15或秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角．
【点评】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义及角的和与差，图形的旋转．掌握图形旋转的特征，找出等量关系列出方程式关键．
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2022-2023学年天津外国语大学附属外国语学校七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）同步卫星在赤道上空大约36000000米处，将数据36000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.36×108 B．3.6×107 C．36×106 D．3.6×108
2．（3分）计算的结果是（ ）
A．﹣6 B． C．6 D．
3．（3分）已知多项式x2﹣3xy2﹣4的次数是a，二次项系数是b，那么a+b的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（3分）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．m+n＝1 C．y+3＝1 D．2
5．（3分）如图，由5个相同的正方体叠成的几何体，从左边看所得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果2x＝﹣2，那么x＝﹣1
B．如果3a﹣2＝5a，那么3a+5a＝2
C．如果a＝b，那么a+1＝b﹣1
D．如果6x＝3，那么x＝2
7．（3分）如图，OA为北偏东35°方向，∠AOB＝90°，则OB的方向为（ ）
A．南偏东35° B．南偏东55° C．南偏西55° D．北偏东55°
8．（3分）把弯曲的河道改直可以缩短航程，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．线段可以向两个方向延长
B．两点确定一条直线
C．经过一点的直线有无数条
D．两点之间，线段最短
9．（3分）如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有：有、志、者、事、竟、成，将其围成一个正方体后，则与“有”对应的是（ ）
A．竟 B．成 C．事 D．者
10．（3分）如图，已知点D在线段AB上，AD＝BD＝a，C为AD的中点，下列等式不正确的是（ ）
A．CDCB B．CDAB
C．ADBC D．CD（AD+AC）
11．（3分）如图，已知∠AOB＝140°，∠COD＝40°，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，则∠NOM的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
12．（3分）有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10＝43m﹣1；②；③；④40m+10＝43m+1．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
二．填空题（共8小题，每题3分，共24分）
13．（3分）用度、分、秒表示：38.78°＝ ．
14．（3分）往返于甲、乙两地的火车，途中停靠五个站，则最多要准备 种车票．
15．（3分）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，则x2021﹣cd的值为 ．
16．（3分）若x＝2y﹣5，那么5（x﹣2y）2+6y﹣3x的值为 ．
17．（3分）一个角的补角比它的余角的3倍少20°，这个角的度数是
18．（3分）如图，将一副三角板的直角顶点O叠放在一起，∠BOC∠AOD，则∠BOD＝ °．
19．（3分）已知a、b、c、d为有理数，现规定一种新运算ad﹣bc，如1×（﹣5）﹣3×2＝﹣11那么，当22时，则x的值为 ．
20．（3分）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过 秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度．
三．解答题（共5小题，共40分）
21．（5分）计算：﹣12022﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]．
22．（5分）解一元一次方程：．
23．（10分）已知多项式A＝x2+xy+3y，B＝x2﹣xy．
（1）求2A﹣B；
（2）x＝﹣2，y＝5时，求2A﹣B的值；
（3）若2A﹣B的值与y的值无关，求x的值．
24．（10分）甲、乙两家超市以相同的单价出售同种消毒液，为了吸引顾客，他们推出了各自的优惠方案：
甲超市：累计购买消毒液超出100元后，超出部分按原价8折优惠；
乙超市：累计购买消毒液超出80元后，超出部分按原价8.5折优惠．
某顾客预计购买消毒液的原价为（x＞100）元．
（1）请用含x的代数式分别表示该顾客在两家超市购买消毒液应付的费用；（直接写出即可）
（2）你会推荐该顾客到哪家超市购买？请说明你的理由．
25．（10分）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）求∠DPC；
（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC的边PA从PN绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），求的值．
（4）如图③，在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，直接写出旋转的时间．
2022-2023学年天津外国语大学附属外国语学校七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）同步卫星在赤道上空大约36000000米处，将数据36000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.36×108 B．3.6×107 C．36×106 D．3.6×108
【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
【解答】解：36 000 000＝3.6×107，
故选：B．
【点评】此题考查了对科学记数法的理解和运用，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）计算的结果是（ ）
A．﹣6 B． C．6 D．
【分析】除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，由此即可计算．
【解答】解：（﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查有理数的除法，关键是掌握有理数除法的法则．
3．（3分）已知多项式x2﹣3xy2﹣4的次数是a，二次项系数是b，那么a+b的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，每个单项式叫做多项式的项，由此即可计算．
【解答】解：∵多项式x2﹣3xy2﹣4的次数是a，二次项系数是b，
∴a＝3，b＝1，
∴a+b＝3+1＝4，
故选：A．
【点评】本题考查多项式的有关概念，关键是掌握多项式的次数，项的概念．
4．（3分）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．m+n＝1 C．y+3＝1 D．2
【分析】根据一元一次方程的定义，逐一分析各选项中的方程，即可得出结论．
【解答】解：A．方程x2﹣1＝0是一元二次方程，选项A不符合题意；
B．方程m+n＝1是二元一次方程，选项B不符合题意；
C．方程y+3＝1是一元一次方程，选项C符合题意；
D．方程2是分式方程，选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，牢记“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．
5．（3分）如图，由5个相同的正方体叠成的几何体，从左边看所得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左边看，得出结论即可．
【解答】解：原几何体的左视图为，
故选：B．
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
6．（3分）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果2x＝﹣2，那么x＝﹣1
B．如果3a﹣2＝5a，那么3a+5a＝2
C．如果a＝b，那么a+1＝b﹣1
D．如果6x＝3，那么x＝2
【分析】根据等式的性质进行计算即可．
【解答】解：A、在等式2x＝﹣2的两边同时除以2，得到x＝﹣1，变形正确，符合题意；
B、如果3a﹣2＝5a，那么3a﹣5a＝2，变形不正确，不符合题意；
C、如果a＝b，那么a+1＝b+1，变形不正确，不符合题意；
D、如果6x＝3，那么x，变形不正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了等式的性质：
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
7．（3分）如图，OA为北偏东35°方向，∠AOB＝90°，则OB的方向为（ ）
A．南偏东35° B．南偏东55° C．南偏西55° D．北偏东55°
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可判断．
【解答】解：∵OA为北偏东35°方向，∠AOB＝90°，
∴OB的方向为南偏东180°﹣35°﹣90°＝55°．
故选：B．
【点评】本题考查方向角的概念，关键是掌握方向角的定义．
8．（3分）把弯曲的河道改直可以缩短航程，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．线段可以向两个方向延长
B．两点确定一条直线
C．经过一点的直线有无数条
D．两点之间，线段最短
【分析】根据线段的性质，可得答案．
【解答】解：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是：两点之间线段最短，
故选：D．
【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题关键．
9．（3分）如图是一个正方体展开图，图中的六个正方形内分别标有：有、志、者、事、竟、成，将其围成一个正方体后，则与“有”对应的是（ ）
A．竟 B．成 C．事 D．者
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“志”相对的字是“事”；
“者”相对的字是“竟”；
“有”相对的字是“成”．
故选：B．
【点评】本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特征是正确判断的前提．
10．（3分）如图，已知点D在线段AB上，AD＝BD＝a，C为AD的中点，下列等式不正确的是（ ）
A．CDCB B．CDAB
C．ADBC D．CD（AD+AC）
【分析】根据线段中点的性质，可得答案．
【解答】解：由AD＝BD＝a，C为AD的中点，得
2AC＝2CD＝AD＝BD．
A、∵3CD＝CD+BD＝BC，∴CDBC，故A不符合题意；
B、∵4CD＝AB，∴CDAB，故B符合题意；
C、BC＝CD+BD＝3CD，AD＝2CD，AD：BC＝2：3，ADBC，故C不符合题意；
D、3CD＝AC+CD+AC＝（AD+AC），CD（AD+AC），故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质、线段的和差是解题关键．
11．（3分）如图，已知∠AOB＝140°，∠COD＝40°，OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，则∠NOM的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．
【解答】解：∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴∠AOD＝2∠DOM、∠BOC＝2∠NOC，
又∵∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD，
∴∠AOB＝2∠DOM+2∠NOC﹣∠COD，
即∠AOB＝2（∠DOM+∠NOC）﹣∠COD，
∵∠AOB＝140°，∠COD＝40°，
∴∠DOM+∠NOC＝90°，
则∠MON＝∠DOM+∠NOC﹣∠COD＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
12．（3分）有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10＝43m﹣1；②；③；④40m+10＝43m+1．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
【分析】由乘车的人数不变，可得出关于m的一元一次方程；由客车辆数不变，可得出关于n的一元一次方程，再对照给定的4个等式即可得出结论．
【解答】解：由人数不变，可列出方程：40m+10＝43m+1，
∴等式④正确；
由客车的辆数不变，可列出方程：，
∴等式③正确．
∴正确的结论是③④．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二．填空题（共8小题，每题3分，共24分）
13．（3分）用度、分、秒表示：38.78°＝ 38°46′48″ ．
【分析】根据大单位化小单位乘以进率，可得答案．
【解答】解：38.78°＝38°46′48″，
故答案为：38°46′48″．
【点评】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率是解题关键．
14．（3分）往返于甲、乙两地的火车，途中停靠五个站，则最多要准备 42 种车票．
【分析】根据数线段条数的方法数出线段的条数，再考虑方向得出车票的种类．
【解答】解：如图，
图形中共有线段6+5+4+3+2+1＝21条，
所以最多需要准备21×2＝42种车票，
故答案为：42．
【点评】本题考查直线、射线、线段，掌握线段条数的计算方法是正确解答的关键．
15．（3分）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，则x2021﹣cd的值为 0或﹣2 ．
【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，可以得到a+b＝0，cd＝1，x＝±1，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是数轴上到原点的距离为1的点表示的数，
∴a+b＝0，cd＝1，x＝±1，
∴当x＝﹣1时，原式＝﹣1﹣1+0＝﹣2；
当x＝1时，原式＝1﹣1+0＝0．
综上所述，x2021﹣cd的值为0或﹣2．
故答案为：0或﹣2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
16．（3分）若x＝2y﹣5，那么5（x﹣2y）2+6y﹣3x的值为 140 ．
【分析】根据移项，可得（x﹣2y）的值，根据代数式求值，可得答案．
【解答】解：移项，得
x﹣2y＝﹣5．
5（x﹣2y）2+6y﹣3x＝5（x﹣2y）2﹣3（x﹣2y），
当x﹣2y＝﹣5时，原式＝5×（﹣5）2﹣3×（﹣5）＝125+15＝140，
故答案为：140．
【点评】本题考查了代数式求值，把（x﹣2y）整体代入是解题关键．
17．（3分）一个角的补角比它的余角的3倍少20°，这个角的度数是 35°
【分析】设这个角为x度．根据一个角的补角比它的余角的3倍少20°，构建方程即可解决问题．
【解答】解：设这个角为x度．
则180°﹣x＝3（90°﹣x）﹣20°，
解得：x＝35°．
答：这个角的度数是35°．
故答案为：35°．
【点评】本题考查余角、补角的定义，一元一次方程等知识，解题的关键是学会与方程分思想思考问题，属于中考常考题型．
18．（3分）如图，将一副三角板的直角顶点O叠放在一起，∠BOC∠AOD，则∠BOD＝ 70 °．
【分析】根据已知求出∠AOD+∠BOC＝180°，再根据∠BOC∠AOD求出∠AOD，即可求出答案．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠COD
＝∠AOB+∠DOB+∠BOC
＝∠AOB+∠COD
＝90°+90°
＝180°，
∵∠BOC∠AOD，
∴∠AOD∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝160°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝160°﹣90°＝70°，
故答案为：70．
【点评】本题考查了余角和补角的应用，能求出∠AOD+∠BOC＝180°是解此题的关键．
19．（3分）已知a、b、c、d为有理数，现规定一种新运算ad﹣bc，如1×（﹣5）﹣3×2＝﹣11那么，当22时，则x的值为 ﹣3 ．
【分析】根据行列式，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【解答】解：根据题意知2×7﹣4（x+1）＝22，
解得：x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，利用行列式得出一元一次方程是解题关键．
20．（3分）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过 2或18 秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度．
【分析】用含有时间t的代数式表示MN的距离，利用方程求解即可．
【解答】解：分两种情况，
①当点N沿着数轴向右移动，则点M表示的数为（﹣2+5t），点N表示的数为（4+4t），
由MN＝12得，|（﹣2+5t）﹣（4+4t）|＝12，
解得，t＝﹣6（舍去），或t＝18；
②当点N沿着数轴向左移动，则点M表示的数为（﹣2+5t），点N表示的数为（4﹣4t），
由MN＝12得，|（﹣2+5t）﹣（4﹣4t）|＝12，
解得，t（舍去），或t＝2；
故答案为：2或18．
【点评】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的线段的距离表示方法是解题的关键．
三．解答题（共5小题，共40分）
21．（5分）计算：﹣12022﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]．
【分析】先挺好呀乘方，再算括号里的运算，接着算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：﹣12022﹣（1﹣0.5）[2﹣（﹣3）2]
＝﹣1﹣（1﹣0.5）（2﹣9）
＝﹣1
＝﹣1
．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22．（5分）解一元一次方程：．
【分析】按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【解答】解：，
去分母得：3（x﹣1）﹣6＝4x，
去括号得：3x﹣3﹣6＝4x，
移项得：3x﹣4x＝6+3，
合并同类项得：﹣x＝9，
系数化为1得：x＝﹣9．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．
23．（10分）已知多项式A＝x2+xy+3y，B＝x2﹣xy．
（1）求2A﹣B；
（2）x＝﹣2，y＝5时，求2A﹣B的值；
（3）若2A﹣B的值与y的值无关，求x的值．
【分析】（1）把A、B标示的代数式代入2A﹣B，化简即可；
（2）把x、y的值代入化简后的代数式，求值即可；
（3）根据“2A﹣B的值与y的值无关”得到关于x的方程，求解即可．
【解答】解：（1）2A﹣B
＝2（x2+xy+3y）﹣（x2﹣xy）
＝2x2+2xy+6y﹣x2+xy
＝x2+3xy+6y．
（2）当x＝﹣2，y＝5时，
原式＝（﹣2）2+3×5×（﹣2）+6×5
＝4﹣30+30
＝4．
（3）∵2A﹣B＝x2+3xy+6y＝x2+（3x+6）y，
又∵2A﹣B的值与y的值无关，
∴3x+6＝0，
∴x＝﹣2．
【点评】本题考查了整式的化简求值，掌握合并同类项法则、去括号法则、有理数的混合运算是解决本题的关键．
24．（10分）甲、乙两家超市以相同的单价出售同种消毒液，为了吸引顾客，他们推出了各自的优惠方案：
甲超市：累计购买消毒液超出100元后，超出部分按原价8折优惠；
乙超市：累计购买消毒液超出80元后，超出部分按原价8.5折优惠．
某顾客预计购买消毒液的原价为（x＞100）元．
（1）请用含x的代数式分别表示该顾客在两家超市购买消毒液应付的费用；（直接写出即可）
（2）你会推荐该顾客到哪家超市购买？请说明你的理由．
【分析】（1）根据各自的优惠方案直接可得答案；
（2）分三种情况列出方程或不等式，即可解得答案．
【解答】解：（1）在甲超市购买消毒液应付的费用为100+0.8×（x﹣100）＝（0.8x+20）元，
在乙超市购买消毒液应付的费用为80+0.85（x﹣80）＝（0.85x+12）元；
（2）当0.8x+20＝0.85x+12时，
解得x＝160，
∴购买消毒液原价为160元时到两家超市费用相同；
当0.8x+20＞0.85x+12时，
解得x＜160，
∴购买消毒液原价小于160元时到乙超市费用较少；
当0.8x+20＜0.85x+12时，
解得x＞160，
∴购买消毒液原价大于160元时到甲超市费用较少；
答：购买消毒液原价为160元时到两家超市费用相同，购买消毒液原价小于160元时到乙超市费用较少，购买消毒液原价大于160元时到甲超市费用较少．
【点评】本题考查列代数式及一元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程，一元一次不等式．
25．（10分）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）求∠DPC；
（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC的边PA从PN绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），求的值．
（4）如图③，在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，直接写出旋转的时间．
【分析】（1）利用直角三角形的两个锐角互余可证∠DPC＝90°；
（2）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解；
（3）设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，表示出∠CPD和∠BPN的度数即可得出答案；
（4）分三种情况讨论，建立与时间t有关的方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，
又∵∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
（2）∵PE平分∠CPD，
∴设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y．
则∠APF＝60°﹣y，
∠DPF＝2x+y，
∵∠CPA＝60°，
∴y+2x＝60°﹣y，
∴x+y＝30°，
∴∠EPF＝x+y＝30°．
（3）设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180﹣2t，
∵运动之前∠CPD＝90°，两个三角板运动的速度差为1°/秒，
∴∠CPD＝90﹣t．
∴．
（4）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角．
∵当PA与PM重合时，两三角板都停止转动，
∴t≤36秒．
分三种情况讨论：
①当PC平分∠BPD时，根据题意列得方程5t﹣t＝9030，
解得t36，符合题意；
②当PB平分∠CPD时，根据题意列得方程5t﹣t＝90+2×30，
解得t＝37.5＞36，不符合题意应舍去；
当PD平分∠BPC时，根据题意列得方程5t﹣t＝90﹣30，
解得t＝15＜36，符合题意．
综上：当旋转时间为15或秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角．
【点评】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义及角的和与差，图形的旋转．掌握图形旋转的特征，找出等量关系列出方程式关键．
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