2022-2023学年四川省达州市万源市官渡中学七年级(上)期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年四川省达州市万源市官渡中学七年级(上)期末数学试卷,共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省达州市万源市官渡中学七年级(上)期末数学试卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1.(3分)据旅游研究院最新数据显示,今年中秋节国庆节假期,全国实现旅游收入210500000000元,将旅游收入210500000000元用科学记数法表示为( )
A.2.105×1011元 B.2.105×1012元
C.2.105×1010元 D.2.105×108元
2.(3分)下列四个图形中,不是正方体展开图的是( )
A. B.
C. D.
3.(3分)若A=x2﹣xy,B=xy+y2,则3A﹣2B为( )
A.3x2﹣2y2﹣5xy B.3x2﹣2y2
C.﹣5xy D.3x2+2y2
4.(3分)下列说法正确的个数是( )
①射线AB与射线BA是同一条射线;
②两点确定一条直线;
③两点之间直线最短;
④若AB=BC,则点B是AC的中点.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(3分)若x=2是关于x的方程2x+3m﹣1=0的解,则m的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.
6.(3分)若代数式5xb﹣1ya﹣1与x2y是同类项,则ab的值为( )
A.2 B.8 C.16 D.32
7.(3分)如图是某市PM2.5来源统计图,根据该统计图,下列判断正确的是( )
A.表示汽车尾气污染的圆心角约为72°
B.建筑扬尘等约占6%
C.汽车尾气污染约为建筑扬尘等的5倍
D.煤炭以及其他燃料燃放占所有PM2.5污染源的
8.(3分)如图,C,D是线段AB上的两点,E是AC的中点,F是BD的中点,若EF=m,CD=n,则AB=( )
A.m﹣n B.m+n C.2m﹣n D.2m+n
9.(3分)如图中的图案均是由长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成:第1个图案需7根小木棒,第2个图案需13根小木棒,…,依此规律,第11个图案所需木棒根数为( )
A.156 B.157 C.158 D.159
二、填空题(每题3分,共18分)
10.(3分)计算:9﹣|﹣11|= .
11.(3分)若4x2myn+1与﹣3x4y3的和是单项式,则m+n= .
12.(3分)如图,∠AOB是直角,∠AOC=40°,OD平分∠BOC,则∠AOD等于 .
13.(3分)若方程2x+a=1与方程3x﹣1=2x+2的解相同,则a的值为 .
14.(3分)若a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值是3,则2(a+b)﹣3cd+x= .
15.(3分)如图是正方体的展开图,相对两个面上的数互为倒数,则x= ,y= .
三、解答题(共72分)
16.(5分)﹣22+|5﹣8|+24÷(﹣3).
17.(6分)解方程
(1)4﹣3(2﹣x)=5x
(2).
18.(6分)先化简,再求值.
(1)(﹣x2+5x)﹣(x﹣3)﹣4x,其中x=﹣1;
(2)5(3m2n﹣mn2)﹣(mn2+3m2n),其中m,n.
19.(6分)作图
如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形,方格中的数字表示该位置的小正方体的个数.请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形.
20.(8分)在国庆期间,小明、小亮等同学随家人一同到黄山游玩,已知票价成人35元一张,学生按成人票5折优惠,团体票14人(含14人)以上一律按照6折优惠,下面是购买门票时,小明与爸爸的对话.
爸爸:成人门票每张35元,学生门票对折优惠,我们共有12人,共需315元.
小明:爸爸,让我算算,换一种方式买票是否更省钱.
(1)小明他们一共去了几个成年人?几个学生?
(2)请你帮小明算一算,哪种方式买票更省钱?
21.(9分)如图,B,C两点把线段AD分成2:3:4三部分,M,N分别是AD,AB的中点,CD=8cm,求MN的长.
22.(10分)某校随机抽取部分学生,对“学习习惯”进行问卷调查.设计的问题:对自己做错的题目进行整理、分析、改正;答案选项为:A.很少,B.有时,C.常常,D.总是.将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图:
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)填空:a= %,b= %,“常常”对应扇形的圆心角度数为 ;
(2)请你补全条形统计图;
(3)若该校有3000名学生,请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各有多少名?
23.(11分)小学里我们都学过乘法分配律的逆运算:a×b±a×c=a×(b±c),它在我们初中有理数运算及今后所学的数与式的运算中也适用,甚至可以推广到几何里面.如果我们把a用来表示,则上述式子可改成b±c(b±c),用文字可以简单地写为:两数各一半的和(差)等于这两数和(差)的一半.
(1)如图①,已知线段AB上有两点C、D,AD=2cm,AC=BD=8cm,M、N分别为AC、AD的中点,则线段MN= cm;K为线段BD的中点,则线段NK= cm,线段MK= cm.
(2)如图②,∠AOB=α,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数,写出解答过程.
24.(11分)已知A,B,C为数轴上三点,若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍,我们就称点C是[A,B]的友好点.例如,如图①,点A表示的数为﹣1,点B表示的数为2,表示数1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是[A,B]的友好点;又如,表示数0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是[A,B]的友好点,但点D是[B,A]的友好点.
知识运用:
(1)如图②,M,N为数轴上两点,点M所表示的数为﹣2,点N所表示的数为4.
①在点M和点N中间,数 所对应的点是[M,N]的友好点;
②在数轴上,数 和数 所对应的点都是[N,M]的友好点.
(2)如图③,A,B为数轴上两点,点A所表示的数为﹣20,点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动,到达点A停止,当点P的运动时间t为何值时,点P,A和B中恰有一个点为其余两点的友好点?
2022-2023学年四川省达州市万源市官渡中学七年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每题3分,共30分)
1.(3分)据旅游研究院最新数据显示,今年中秋节国庆节假期,全国实现旅游收入210500000000元,将旅游收入210500000000元用科学记数法表示为( )
A.2.105×1011元 B.2.105×1012元
C.2.105×1010元 D.2.105×108元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于或等于10时,n是正整数;当原数的绝对值小于1时,n是负整数.
【解答】解:210500000000=2.105×1011,
故选:A.
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
2.(3分)下列四个图形中,不是正方体展开图的是( )
A. B.
C. D.
【分析】由正方体展开图的特征即可判定出正方体的展开图.
【解答】解:由正方体展开图的特征即可判定C不是正方体的展开图,
故选:C.
【点评】本题主要考查了几何体的展开图,解题的关键是熟记正方体展开图的特征.
3.(3分)若A=x2﹣xy,B=xy+y2,则3A﹣2B为( )
A.3x2﹣2y2﹣5xy B.3x2﹣2y2
C.﹣5xy D.3x2+2y2
【分析】将A=x2﹣xy,B=xy+y2代入,去括号合并同类项即可得答案.
【解答】解:当A=x2﹣xy,B=xy+y2时,
3A﹣2B
=3(x2﹣xy)﹣2(xy+y2)
=3x2﹣3xy﹣2xy﹣2y2
=3x2﹣5xy﹣2y2,
故选:A.
【点评】本题考查整式的运算,解题的关键是掌握去括号、合并同类项的法则.
4.(3分)下列说法正确的个数是( )
①射线AB与射线BA是同一条射线;
②两点确定一条直线;
③两点之间直线最短;
④若AB=BC,则点B是AC的中点.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】经过两点有且只有一条直线,两点的所有连线中,可以有无数种连法,如折线、曲线、线段等,这些所有的线中,线段最短.
【解答】解:①射线AB与射线BA不是同一条射线,故①错误;
②两点确定一条直线,故②正确;
③两点之间线段最短,故③错误;
④若AB=BC,则点B可能在两条线上,故④错误.
故选:A.
【点评】本题主要考查了线段中点的定义,直线的性质以及线段的性质,熟练概念是解题的关键.
5.(3分)若x=2是关于x的方程2x+3m﹣1=0的解,则m的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.
【分析】根据方程的解的定义,把x=2代入方程2x+3m﹣1=0即可求出m的值.
【解答】解:∵x=2是关于x的方程2x+3m﹣1=0的解,
∴2×2+3m﹣1=0,
解得:m=﹣1.
故选:A.
【点评】本题的关键是理解方程的解的定义,方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.
6.(3分)若代数式5xb﹣1ya﹣1与x2y是同类项,则ab的值为( )
A.2 B.8 C.16 D.32
【分析】根据同类项的定义求出a,b的值,然后代入式子进行计算即可解答.
【解答】解:∵代数式5xb﹣1ya﹣1与x2y是同类项,
∴b﹣1=2,a﹣1=1,
∴b=3,a=2,
∴ab=23=8,
故选:B.
【点评】本题考查了同类项,熟练掌握同类项的定义是解题的关键.
7.(3分)如图是某市PM2.5来源统计图,根据该统计图,下列判断正确的是( )
A.表示汽车尾气污染的圆心角约为72°
B.建筑扬尘等约占6%
C.汽车尾气污染约为建筑扬尘等的5倍
D.煤炭以及其他燃料燃放占所有PM2.5污染源的
【分析】根据扇形图的信息进行计算,然后判断各个选项即可.
【解答】解:表示汽车尾气污染的圆心角约为360°×40%=144°,故A错误;
表示建筑扬尘的约占1﹣40%﹣33%﹣19%=8%,故B错误;
汽车尾气污染约为建筑扬尘的5倍,故C正确;
煤炭以及其他燃料排放占所有PM2.5污染源的近,故D错误,
故选:C.
【点评】本题考查的是扇形统计图的知识,正确获取统计图的信息是解题的关键.
8.(3分)如图,C,D是线段AB上的两点,E是AC的中点,F是BD的中点,若EF=m,CD=n,则AB=( )
A.m﹣n B.m+n C.2m﹣n D.2m+n
【分析】由已知条件可知,EC+FD=m﹣n,又因为E是AC的中点,F是BD的中点,则AE+FB=EC+FD,故AB=AE+FB+EF可求.
【解答】解:由题意得,EC+FD=m﹣n
∵E是AC的中点,F是BD的中点,
∴AE+FB=EC+FD=EF﹣CD=m﹣n
又∵AB=AE+FB+EF
∴AB=m﹣n+m=2m﹣n
故选:C.
【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法,有利于解题的简洁性.同时,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点.
9.(3分)如图中的图案均是由长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成:第1个图案需7根小木棒,第2个图案需13根小木棒,…,依此规律,第11个图案所需木棒根数为( )
A.156 B.157 C.158 D.159
【分析】根据第1个图案需7根火柴,7=1×(1+3)+3,第2个图案需13根火柴,13=2×(2+3)+3,第3个图案需21根火柴,21=3×(3+3)+3,得出规律第n个图案需n(n+3)+3根火柴,据此求解可得.
【解答】解:根据题意可知:
第1个图案需7根火柴,7=1×(1+3)+3,
第2个图案需13根火柴,13=2×(2+3)+3,
第3个图案需21根火柴,21=3×(3+3)+3,
…,
第n个图案需n(n+3)+3根火柴,
则第11个图案需:11×(11+3)+3=157(根),
故选:B.
【点评】此题主要考查了图形的变化类,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题.
二、填空题(每题3分,共18分)
10.(3分)计算:9﹣|﹣11|= ﹣2 .
【分析】利用绝对值的意义,有理数的减法法则,进行计算即可解答.
【解答】解:9﹣|﹣11|
=9﹣11
=﹣2,
故答案为:﹣2.
【点评】本题考查了有理数的减法,绝对值,准确熟练地进行计算是解题的关键.
11.(3分)若4x2myn+1与﹣3x4y3的和是单项式,则m+n= 4 .
【分析】依据题意可知两个单项式为同类项,故此可列出关于m、n的方程,故此可求得m、n的值.
【解答】解:∵4x2myn+1与﹣3x4y3的和是单项式,
∴2m=4,n+1=3,
解得:m=2,n=2,
m+n=2+2=4,
故答案为:4.
【点评】本题主要考查的是合并同类项,掌握同类项的定义是解题的关键.
12.(3分)如图,∠AOB是直角,∠AOC=40°,OD平分∠BOC,则∠AOD等于 65° .
【分析】先求得∠BOC的度数,然后由角平分线的定义可求得∠BOD的度数,最后根据∠AOD=∠AOB﹣∠BOD求解即可.
【解答】解:∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣40°=50°,
∵OD平分∠BOC,
∴∠BOD∠BOC=25°.
∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣25°=65°.
故答案为:65°.
【点评】本题主要考查的是角平分线的定义,掌握角平分线的定义是解题的关键.
13.(3分)若方程2x+a=1与方程3x﹣1=2x+2的解相同,则a的值为 ﹣5 .
【分析】分别解出两方程的解,两解相等,就得到关于a的方程,从而可以求出a的值.
【解答】解:解方程2x+a=1,得x,
解方程3x﹣1=2x+2,得x=3,
∴3,
解得a=﹣5.
故答案为:﹣5.
【点评】此题考查同解方程的解答,解决的关键是能够求解关于x的方程,同时正确理解“解相同”的含义.
14.(3分)若a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值是3,则2(a+b)﹣3cd+x= 0或﹣6 .
【分析】根据相反数,倒数,绝对值的意义可得a+b=0,cd=1,x=±3,然后分两种情况进行计算即可解答.
【解答】解:∵a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值是3,
∴a+b=0,cd=1,x=±3,
当x=3时,2(a+b)﹣3cd+x=2×0﹣3×1+3=0﹣3+3=0;
当x=﹣3时,2(a+b)﹣3cd+x=2×0﹣3×1﹣3=0﹣3﹣3=﹣6;
综上所述:2(a+b)﹣3cd+x=0或﹣6,
故答案为:0或﹣6.
【点评】本题考查了有理数的混合运算,准确熟练地进行计算是解题的关键.
15.(3分)如图是正方体的展开图,相对两个面上的数互为倒数,则x= ,y= .
【分析】根据正方体的展平面展开图分析,可知﹣3与x﹣1相对,3与y﹣2相对,再根据题意和倒数的定义:乘积为1两个数互为倒数,分数里分子和分母相倒并且两数乘积为1的数就叫做倒数,即可求解.
【解答】解:根据正方体的展平面展开图分析,可知﹣3与x﹣1互为倒数,3与y﹣2互为倒数,
则(﹣3)×(x﹣1)=1,3×(y﹣2)=1,
解得:x,y.
故答案为:,.
【点评】此题考查了倒数的定义和根据正方体的展开图还原正方体,关键是找出﹣3与x﹣1相对,3与y﹣2相对.
三、解答题(共72分)
16.(5分)﹣22+|5﹣8|+24÷(﹣3).
【分析】原式先计算乘方运算,再计算乘除运算,最后算加减运算即可得到结果.
【解答】解:原式=﹣4+3.
【点评】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
17.(6分)解方程
(1)4﹣3(2﹣x)=5x
(2).
【分析】(1)方程去括号,移项合并,将x系数化为1,即可求出解;
(2)方程去分母,去括号,移项合并,将x系数化为1,即可求出解.
【解答】解:(1)方程去括号得:4﹣6+3x=5x,
移项合并得:2x=﹣2,
解得:x=﹣1;
(2)去分母得:3(x﹣2)﹣6=2(x+1)﹣(x+8),
去括号得:3x﹣6﹣6=2x+2﹣x﹣8,
移项合并得:2x=6,
解得:x=3.
【点评】此题考查了解一元一次方程,其步骤为:去分母,去括号,移项合并,将未知数系数化为1,即可求出解.
18.(6分)先化简,再求值.
(1)(﹣x2+5x)﹣(x﹣3)﹣4x,其中x=﹣1;
(2)5(3m2n﹣mn2)﹣(mn2+3m2n),其中m,n.
【分析】(1)直接去括号,合并同类项,再将x的值代入得出答案;
(2)直接去括号,合并同类项,再将m,n的值代入得出答案.
【解答】解:(1)原式=﹣x2+5x﹣x+3﹣4x
=﹣x2+3,
当x=﹣1时,原式=﹣(﹣1)2+3=﹣1+3=2;
(2)原式=15m2n﹣5mn2﹣mn2﹣3m2n
=12m2n﹣6mn2,
当m,n时,
原式=12×()26×()×()2
=1
.
【点评】此题主要考查了整式的加减—化简求值,正确合并同类项是解题关键.
19.(6分)作图
如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形,方格中的数字表示该位置的小正方体的个数.请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形.
【分析】由已知条件可知,主视图有3列,每列小正方数形数目分别为3,1,2;左视图有3列,每列小正方形数目分别为3,2,1.据此可画出图形.
【解答】解:如图所示:
【点评】本题考查几何体的三视图画法.由几何体的俯视图及小正方形内的数字,可知主视图的列数与俯视数的列数相同,且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字.左视图的列数与俯视图的行数相同,且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字.
20.(8分)在国庆期间,小明、小亮等同学随家人一同到黄山游玩,已知票价成人35元一张,学生按成人票5折优惠,团体票14人(含14人)以上一律按照6折优惠,下面是购买门票时,小明与爸爸的对话.
爸爸:成人门票每张35元,学生门票对折优惠,我们共有12人,共需315元.
小明:爸爸,让我算算,换一种方式买票是否更省钱.
(1)小明他们一共去了几个成年人?几个学生?
(2)请你帮小明算一算,哪种方式买票更省钱?
【分析】(1)共12人,设一共去了x个成年人,则学生有(12﹣x)人,根据大人门票每张35元,学生门票对折优惠,共需315元,即可列方程求解.
(2)计算出购买团体票时的费用,与315元比较即可.
【解答】解:(1)设一共去了x个成年人,
根据题意,列方程得35x+35(12﹣x)=315,
解得x=6,学生得人数为12﹣6=6(人);
答:小明他们一共去了6个成年人,6个学生.
(2)如果买团体票需要花费14×35×60%=294(元),
因为294<315,所以买团体票更省钱.
【点评】本题主要考查了列方程解决实际问题,主要考虑到团体票14人(含14人)以上一律按成人票6折优惠,在购买团体票时应按14人计算,是解题的关键.
21.(9分)如图,B,C两点把线段AD分成2:3:4三部分,M,N分别是AD,AB的中点,CD=8cm,求MN的长.
【分析】设AB=2x,BC=3x,CD=4x,AD=2x+3x+4x=9x,根据CD=8cm,得到x=2,求得AD=9x=18,AB=4,根据线段中点的定义即可得到结论.
【解答】解:∵B、C两点顺次把线段AD分成2:3:4三部分,
∴设AB=2x,BC=3x,CD=4x,AD=2x+3x+4x=9x,
∵CD=8cm,
∴4x=8,
∴x=2,
∴AD=9x=18,AB=4,
∵M是AD的中点,N是CD的中点,
∴AMAD=9,BNAB=2,
∴MN=9﹣2=7.
【点评】本题考查了两点的间的距离,利用按比例分配得出AD的长是解题关键.
22.(10分)某校随机抽取部分学生,对“学习习惯”进行问卷调查.设计的问题:对自己做错的题目进行整理、分析、改正;答案选项为:A.很少,B.有时,C.常常,D.总是.将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图:
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)填空:a= 12 %,b= 36 %,“常常”对应扇形的圆心角度数为 108° ;
(2)请你补全条形统计图;
(3)若该校有3000名学生,请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生各有多少名?
【分析】(1)“有时”的有44人,占调查人数的22%,可求出调查人数,进而求出a、b的值,“常常”所对应的圆心角的度数为360°的30%;
(2)求出“常常”的人数,即可补全条形统计图;
(3)根据“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正所占的百分比,求出相应的人数即可.
【解答】解:(1)44÷22%=200(人),
a=24÷200=12%,
b=72÷200=36%,
360°×30%=108°,
故答案为:12,36,108°;
(2)200×30%=60(人),补全条形统计图如图所示:
(3)3000×30%=900(人),3000×36%=1080(人),
答:“常常”对错题进行整理、分析、改正的有900人,
“总是”对错题进行整理、分析、改正的有1080人.
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法,理解统计图中的数量关系是正确解答的关键.
23.(11分)小学里我们都学过乘法分配律的逆运算:a×b±a×c=a×(b±c),它在我们初中有理数运算及今后所学的数与式的运算中也适用,甚至可以推广到几何里面.如果我们把a用来表示,则上述式子可改成b±c(b±c),用文字可以简单地写为:两数各一半的和(差)等于这两数和(差)的一半.
(1)如图①,已知线段AB上有两点C、D,AD=2cm,AC=BD=8cm,M、N分别为AC、AD的中点,则线段MN= 3 cm;K为线段BD的中点,则线段NK= 5 cm,线段MK= 2 cm.
(2)如图②,∠AOB=α,OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,求∠MON的度数,写出解答过程.
【分析】(1)根据线段中点的定义可得AN=DN=1cm,AM=4cm,DK=4cm,再利用线段的和差关系可完成解答;
(2)根据角平分线的定义可得∠MOC∠AOC,∠NOC∠BOC,再根据∠MON=∠MOC﹣∠NOC,结合已知条件可完成解答.
【解答】解:(1)因为AD=2cm,AC=8cm,M、N分别为AC、AD的中点,
所以AN=DN=1cm,AM=4cm,
所以MN=AM﹣AN=3cm.
因为BD=8cm,K为线段BD的中点,
所以DK=4cm,
所以NK=DK+DN=5cm,
所以MK=DK﹣DM
=DK﹣(AM﹣AD)
=4﹣2
=2(cm).
故答案为:3,5,2;
(2)因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,
所以∠MOC∠AOC,∠NOC∠BOC,
所以∠MON=∠MOC﹣∠NOC
∠AOC∠BOC
(∠AOC﹣∠BOC)
∠AOB
α.
【点评】本题考查两点间的距离,熟练掌握线段中点的定义及应用,角平分线的定义是解题的关键.
24.(11分)已知A,B,C为数轴上三点,若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍,我们就称点C是[A,B]的友好点.例如,如图①,点A表示的数为﹣1,点B表示的数为2,表示数1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是[A,B]的友好点;又如,表示数0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是[A,B]的友好点,但点D是[B,A]的友好点.
知识运用:
(1)如图②,M,N为数轴上两点,点M所表示的数为﹣2,点N所表示的数为4.
①在点M和点N中间,数 2 所对应的点是[M,N]的友好点;
②在数轴上,数 ﹣8 和数 0 所对应的点都是[N,M]的友好点.
(2)如图③,A,B为数轴上两点,点A所表示的数为﹣20,点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动,到达点A停止,当点P的运动时间t为何值时,点P,A和B中恰有一个点为其余两点的友好点?
【分析】(1)①设数x所对应的点是[M,N]的有好点,根据好点定义可列方程,x﹣(﹣2)=2×(4﹣x),从而得出结论;
②设点E是是[N,M]的友好点,E表示的数为a,表示出EN、EM的值,再根据好点的定义列方程即可;
(2)由题意可得AB=60,AP=60﹣2t,BP=2t,由好点定义可列方程,即可求解;
(3)由好点定义列出方程,先求出t的值,即可求PB的长以及点P表示的数.
【解答】解:(1)①设数x所对应的点是[M,N]的有好点,
根据好点定义可列方程,x﹣(﹣2)=2×(4﹣x),
解得:x=2,
即在点M和点N中间,数2所对应的点是[M,N]的有好点,
故答案为:2;
②设点E是是[N,M]的友好点,E表示的数为a,
∴EN=|a﹣4|,EM=|a+2|,
∵E是是[N,M]的友好点,
∴EN=2EM,
∴|a﹣4|=2|a+2|,
∴a﹣4=2(a+2)或a﹣4=﹣2(a+2),
解得a=﹣8或a=0
即在数轴上,数﹣8和数0所对应的点都是[N,M]的友好点.
故答案为:﹣8,0;
(2)∵点A所表示的数为﹣20,点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动,
∴AB=60,AP=60﹣2t,BP=2t,
∵点P,A和B中恰有一个点为其余两点的友好点,
∴AB、AP、BP中有一个是另一个的两倍,
∴当AB=2AP时,点A是【B,P】的好点,
∴60=2×(60﹣2t),
解得:t=15,
∴当AB=2BP时,点B是【A,P】的好点,
∴60=2×2t,
解得:t=15,
∴当AP=2BP时,点P是【A,B】的好点,
∴60﹣2t=2×2t,
解得:t=10,
∴当BP=2AP时,点P是【B,A】的好点,
∴2t=2×(60﹣2t),
解得:t=20,
综上所述:t=10,15,20时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点.
【点评】本题考查了一元一次方程,数轴及数轴上两点的距离、动点问题,熟练掌握动点中三个量的数量关系式:路程=时间×速度,认真理解新定义,由定义列出方程是本题的关键.
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