2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题十三 考点38 双曲线及其性质（A卷）

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专题十三 考点38 双曲线及其性质（A卷）1.曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程是(   )A. B. C. D.2.设双曲线的两条渐近线与圆相交于四点，若四边形的面积为12，则双曲线的离心率是(   )A. B. C.或 D．3.已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(   )A. B. C. D.4.双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点.若，则的面积为(   )A. B. C. D.5.已知双曲线，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若为直角三角形，则(   )A. B.3 C. D.46.设，是双曲线的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的离心率为(   )A. B.5 C. D.7.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为(   )A. B. C. D.8.已知双曲线，直线与T交于A，B两点，直线与T交于C，D两点，四边形ABCD的两条对角线交于点E，，则双曲线T的离心率为(   )A. B. C.2 D.49.已知分别为双曲线的左、右焦点，点P在C上，若，O为坐标原点，且的面积为，则双曲线C的渐近线方程为(   )A. B. C. D.10.已知双曲线的渐近线方程为，则_________.11.在平面直角坐标系中，若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程是___________________.12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若，，则C的离心率为___________.13.斜率为的直线l经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于A，B两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的方程为_____________.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为-3的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.(1)求的面积.(2)若(O为坐标原点)，点，记直线的斜率分别为，问:是否为定值?若是，求出该定值;若不是，请说明理由.15.已知分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线，与双曲线C交于点M，N，且三角形为等边三角形，双曲线C与x轴两交点间距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)设过的直线与双曲线C交于A，B两点，是否存在一个定点P使为定值？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由.
答案以及解析1.答案：C解析：令，得，故，双曲线的渐近线方程是，选C.2.答案：A解析：由对称性可知四边形是矩形，设点A在第一象限，由，得，则，即，则或3.又因为，所以，则该双曲线的离心率，故选A.3.答案：A解析：原方程表示双曲线，且焦距为4，①或②，由①得，.②无解.故选A.4.答案：A解析：由双曲线的方程为，知，，故，渐近线的方程为.不妨设点P在第一象限，作于Q，如图，，为OF的中点，.令，由得.的面积.故选A.5.答案：B解析：由双曲线可知其渐近线方程为，，，不妨设，则易知焦点F到渐近线的距离为b，即，又知，，则在中，.故选B.6.答案：C解析：点到渐近线的距离，而，所以在中，由勾股定理可得，所以.在中，，在中，，所以，则有，解得（负值舍去），即.故选C.7.答案：C解析：双曲线的离心率为2，，，即，，由题意可设，，，渐近线方程为，则点A与点B到直线的距离分别为，，又，，解得，.双曲线的方程为，故选C.8.答案：A解析：在中，令，得，不妨设，同理可得，由对称性可知，四边形ABCD的两条对角线的交点E在y轴上.易知直线AC的方程为，令，得，即.因为，所以是等边三角形，，所以，因为，所以，所以.9.答案：A解析：在中，，由余弦定理得，得，故的面积，所以.因为O是的中点，所以，两边同时平方得，因为，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，故选A.10.答案：-3解析：通解：依题意得，双曲线的方程可表示为，此时双曲线的渐近线的斜率为，解得.优解：依题意得，令，得，解得.11.答案：解析：由双曲线经过点，得，解得，又，所以，易知双曲线的焦点在x轴上，故双曲线的渐近线方程为.12.答案：2解析：双曲线的渐近线方程为，，，点B在上，如图所示，不妨设点B在第一象限，由得点，，点A为线段的中点，，将其代入得，解得，故.13.答案：解析：如图，取AB的中点M，连接，OM.设，则，又，所以.设直线AB的倾斜角为.因为M为AB的中点，，所以，所以为直角三角形，所以，所以直线OM的倾斜角为，则直线OM的斜率为，所以，解得，所以双曲线的方程为.14.答案：(1)(2)是；解析：(1)依题意可知，，则，，又，所以，解得(舍去)，又，所以，则，所以的面积.(2)由(1)可解得.所以双曲线C的方程为.设，则，则，.设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得，由，得.由一元二次方程根与系数的关系得，所以.则，故为定值.15.答案：(1)方程为.(2)存在，.解析：(1)因为双曲线C与x轴两交点间距离为2，所以，则.设点M在x轴的上方，则.因为点M在双曲线C上，所以.因为，所以，所以.因为为等边三角形，所以为直角三角形.在中，，所以.由双曲线的定义可知，故双曲线C的方程为.(2)存在.理由如下：设直线AB的方程为，根据双曲线的对称性可得如果存在这样的点P，则P点在x轴上，设点，则.将代入得直线AB的方程为，联立消去x得.当时，，则，所以，若为定值和参数m无关，即，解得，故定点坐标为.综上，存在一个定点使为定值.