2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题五 考点14 导数的应用（B卷）

专题五 考点14 导数的应用（B卷）

1.已知函数，则不等式的解集是(   )

A.  B.

C.  D.

2.已知函数在区间上的最大值、最小值分别为M，N，则的值为(   )

A.2 B.4 C.20 D.18

3.已知函数是定义在R上的奇函数，其导函数为，且对任意实数x都有，则不等式的解集为(   )
A. B. C. D.

4.已知函数有4个不同的零点，则m的取值范围为(   )

A. B. C. D.

5.已知函数，若函数有三个极值点，则实数k的取值范围为(   )

A.  B.

C.  D.

6.已知.设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为(   )

A. B. C. D.

7.已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是(   )

A. B. C. D.

8.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围为(   )

A. B. C. D.

9.若在区间上的极大值为最大值，则实数m的取值范围是___________，最大值是__________.

10.已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是____________.

11.已知是定义在R上的奇函数，且，若当时，，则不等式的解集是_______.

12.已知，则使恒成立的实数m的取值范围是___________________.

13.已知函数，.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.

14.设函数，其中.

(1)若在上恒成立，求实数a的取值范围；

(2)设，

证明：对任意，都有.

15.已知函数，其中.

(1)求证：函数有唯一零点；

(2)记函数的零点为，证明：

①；

②.

答案以及解析

1.答案：C

解析：因为函数是奇函数，所以不等式可转化为.又，当且仅当，时等号成立，所以函数在R上单调递增，所以等价于，解得，故选C.

2.答案：C

解析：由题意，得，令，解得，，当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增.因为，，，所以最大值，最小值，故.

3.答案：B

解析：设，则.
因为，所以，即，故在R上单调递增.因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，不等式，即，则.

4.答案：B

解析：当时，，，可得在上单调递减，在上单调递增，且，所以的大致图象如图所示，由，解得或.由的图象可知，当时，有1个根，所以要有3个根，故实数m的取值范围为，故选B.

5.答案：C

解析：本题考查利用导数研究函数的极值点个数.，求导，得，令，得或.要使有三个极值点，则有三个互不相等的实根，即方程有两个不等于1的实根.，令，则，令，得.易知，且，；，，所以当时，方程即有两个不等实根.又，所以，即.综上，实数k的取值范围是.故选C.

6.答案：C

解析：解法一  当时,不等式恒成立,排除D;当时,当时,的最小值为,满足;当时,由可得,易得在处取得极小值(也是最小值),满足恒成立,排除A,B.故选C.

解法二  若,当时,可得的最小值为,令,解得,故;当时,可得的最小值为,满足条件.所以.

若,由可得,当时,,则单调递增,故只需,显然成立;当时,由可得,易得的最小值为,令,解得,故,所以.综上,的取值范围是.

7.答案：D

解析：因为函数与的图象关于直线对称，，

所以，所以，则.

当时，，是上的增函数.

因为，所以，

函数在上有唯一零点，不符合题意；

当时，有唯一零点，不符合题意；

当时，令，得，在上，，函数是增函数；

在上，，函数是减函数，故在上有极大值为.

若无零点，则，解得，

故实数k的取值范围是，故选D.

8.答案：C

解析：解法一：由已知得，所以为奇函数.

因为，所以为R上的增函数.

由得，

则，得.

令，则，

令，得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.故，

所以，即，故选C.

解法二：由已知得，所以为奇函数.

因为，所以为R上的增函数.

由得，即.

令，则只需求时a的取值范围.

，当时，，函数为定义域上的增函数，无最大值；

当时，由得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，

即，解得.故选C.

9.答案：；

解析：由题意，得.令，得或.当时，在区间上单调递减，不存在极大值，所以，所以，且当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.

10.答案：

解析：由，得，设，则存在，使得成立，即成立，所以成立，所以.令，则，所以时，，单调递增，所以，所以实数a的取值范围是.

11.答案：

解析：由题意设，则.
当时，，在上单调递增.
是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数.
又，则，
不等式等价于,
，解得或，
不等式的解集是.

12.答案：

解析：当时，恒成立，即恒成立.令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以在处取得极大值，也为最大值，且最大值为2，则有①.当时，恒成立，即恒成立.令，则，当时，，所以在上单调递减，所以，则有②.由①②，可得实数m的取值范围是.

13.答案：(1).

(2)取值范围为.

解析：(1)因为，所以，

所以.

又，所以曲线在点处的切线方程为，即.

(2)对任意的，恒成立，

即对任意的，恒成立，

所以当时，，所以.

下面证明当时，对任意的，恒成立，

即证当时，对任意的，恒成立，

只需证对任意的，恒成立.

令，所以，

则当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

所以实数a的取值范围为.

14.答案：(1)取值范围是.

(2)证明过程见解析.

解析：(1)由在上恒成立，得，

即.

令，

则.

当，即时，，

所以函数在上单调递增，，

故恒成立，满足题意；

当，即时，

设，

则图象的对称轴，

，，

所以在上存在唯一实根，设为，

则当时，，即，

所以在上单调递减，

则，此时，不符合题意.

综上，实数a的取值范围是.

(2)证明：由题意得，

当时，，，

由得，

即，

令，则，

所以在上单调递增，

，即，

所以，从而.

由(1)知，当时，在上恒成立，

整理得.

令，则要证，只需证.

因为，所以在上单调递增，

所以，即在上恒成立.

综上可得，对任意，都有成立.

15.答案：(1)证明过程见解析.

(2)证明过程见解析.

解析：(1)由题意得函数的定义域为，

，

则函数的零点等价于函数的零点.

当时，易知在上单调递增，

且，

根据零点存在定理，知函数在上有唯一零点，

即函数在上有唯一零点，故函数有唯一零点.

(2)①由(1)易知.

，

令，则，

因为，所以在上单调递减，

所以，即.

又在上单调递增，所以由函数零点存在定理知，.
②因为，所以.

因为，即，

所以

，

原不等式的右边得证.

下面证原不等式的左边：

先证明当时，.

令，

则，

所以单调递增，即，

所以当时，成立.

由(1)易知，则，

易知函数在上单调递减，

所以，原不等式左边得证.

故.