2021年全国高考甲卷数学（理）试题变式题第11-15题解析版

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  2021年全国高考甲卷数学（理）试题变式题11-15题原题111．已知A、B、C三点均在球O的表面上，且球O的半径为，若，．则三棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．变式题1基础2．平面截球所得截面圆的面积为，球心到平面的距离为，则此球的表面积为（    ）A． B． C． D．变化题2基础3．已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离为2，则球的内接正方体的棱长为（    ）A．1 B． C．2 D．变式题3巩固4．已知矩形的顶点都在半径为5的球的球面上，且，，则棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．变式题4巩固5．一个球面上有三个点、、，若，，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．变式题5提升6．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（    ）A． B． C．1 D．变式题6提升7．已知在中，角所对的边分别为，且又点都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为（    ）A． B． C． D．原题128．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）A． B． C． D．变式题1基础9．已知函数是定义域为R的奇函数，周期为2，且当时，，则 等于（   ）A． B． C． D．变化题2基础10．已知函数是R上的偶函数.若对于都有，且当时，，则的值为（    ）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2变式题3巩固11．已知函数在定义域上单调，且，则的值为（    ）A．3 B．1 C．0 D．﹣1变式题4巩固12．函数是上的奇函数，满足，当时，有，求的值（    ）A．0 B．1 C． D．变式题5提升13．已知函数满足，若在上为偶函数，且其解析式为，则的值为A．−1 B．0C． D．变式题6提升14．已知函数的定义域为，且函数的图象关于轴对称，函数的图象关于原点对称，则A． B． C． D．原题1315．曲线在点处的切线方程为__________．变式题1基础16．函数的图象在点处的切线方程为__________.变化题2基础17．曲线在点处的切线的横纵截距之和为__________.变式题3巩固18．在平面直角坐标系中，曲线在处的切线方程是___________．变式题4巩固19．函数f（x）=lnx+x的图象在x=1处的切线方程为___．变式题5提升20．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是_________.变式题6提升21．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_______．原题1422．已知向量，向量与向量的夹角为，且；（1） 求向量；（2） 设向量，向量，其中，若，试求的取值范围．变式题1基础23．已知向量，若向量与垂直,则m=________..变化题2基础24．已知，，若，则的值是______．变式题3巩固25．已知向量，，，则__________．变式题4巩固26．已知平面向量，则的夹角为________．变式题5提升27．设，向量，，，且，，则_________．变式题6提升28．设，，.若，则实数的值等于___________.原题1529．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．变式题1基础30．已知椭圆左、右焦点为，，上、下顶点为，，则四边形的面积为______．变化题2基础31．椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积等于________．变式题3巩固32．.已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则的面积         .变式题4巩固33．为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则三角形的面积为_____________________；变式题5提升34．已知为椭圆C： (a>b>0)上一点，若，则_____________．变式题6提升35．设P是椭圆=1上的一点，且，则△PF1F2的面积为_________．
参考答案：1．D【分析】根据题意知，是一个直角三角形，其面积为2，求出点O到平面ABC的距离，再利用锥体的体积公式即可求解.【详解】根据题意知，是一个直角三角形，其面积为2，其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，则OQ与平面ABC垂直，因此点O到平面ABC的距离为，所以三棱锥的体积为．故选：D【点睛】本题考查了锥体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.2．D【分析】由截面圆的面积求出截面圆半径，根据截面圆半径、球的半径和球心到平面的距离之间的关系即可求解球的半径，进而求表面积．【详解】如图所示：设截面圆的半径为，球的半径为，球心到平面的距离为 因为截面圆的面积为，得，又由图可得则球的表面积为 故选：D．3．D【分析】先由球的截面的性质可得球的半径，再由正方体外接球的直径即为体对角线的长即可得解.【详解】由题意，的外接圆半径为，设该球的半径为，可得，所以，设该球内接正方体的棱长为，所以，所以．故选：D.4．C【解析】求出矩形的对角线长，进而可得球心到矩形所在平面的距离即棱锥的高，再由棱锥的体积公式即可得解．【详解】∵矩形的顶点都在半径为5的球面上，且，，∴矩形的对角线长为，∴球心到矩形所在平面的距离为，所以棱锥的体积．故选：C．【点睛】本题考查了球的几何特征的应用及几何体体积的求解，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于基础题.5．D【分析】求出外接圆半径，再利用球面的截面小圆的性质求出球半径即可作答.【详解】因，，则，即，于是得外接圆半径，又点、、在同一个球面上，且球心到平面的距离为1，则球半径，所以球的表面积为.故选：D6．C【分析】由题意画出图形，由是面积为的等边三角形，可得，再由球的体积为，求出球的半径，而，再利用勾股定理可求出结果【详解】由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得，∴，可得：，球的体积，解得，所以到平面的距离为：.故选：C.【点睛】此题考查球截面性质，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题7．C【分析】设三角形ABC的外接圆的圆心为O',根据球的截面性质可知OO'⊥平面ABC,利用正弦定理求得AO',计算球的半径，进而求得体积.【详解】设三角形ABC的外接圆的圆心为O',根据球的截面性质可知OO'⊥平面ABC,如图所示，∵,∴AO'=,∴OA=∴球的体积为,故选：C.8．D【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．9．B【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解.【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，周期为2，且当时，，所以 ，故选：B10．C【分析】根据题意求得函数的周期，结合函数性质，得到，在代入解析式求值，即可求解.【详解】因为为上的偶函数，所以，又因为对于，都有，所以函数的周期，且当时，，所以故选：C.11．A【分析】先求出函数的解析式，将代入计算即可.【详解】因为函数在定义域上单调，且，所以为常数，不妨设，则由得，解得：，所以，所以.故选：A12．A【分析】由奇函数和，可得周期，转化，即得解【详解】由题意，函数是上的奇函数，满足因此函数的周期故选：A13．B【详解】分析：由题意，得到函数是周期为的函数，进而可求得的值．详解：由题意可得：，即函数是周期为的函数，则，故选B．点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，对于函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．14．A【详解】分析：根据奇函数与偶函数的定义，可求得函数的解析式；根据解析式确定’的值．详解：令 ，则，因为为偶函数所以（1），因为 为奇函数所以（2）（1）-（2）得（3），令 代入得（4）由（3）、（4）联立得 代入得所以 所以 所以选A点睛：本题考查了抽象函数解析式的求解，主要是利用方程组思想确定解析式．方法相对比较固定，需要掌握特定的技巧，属于中档题．15．【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．16．【分析】求导得到，计算，，得到切线方程.【详解】，则，故，故切线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.17．【解析】到处导函数，再求出切线方程，即可得到横纵截距之和.【详解】由题：，，，所以在点处切线方程，即当，当，所以该切线的横纵截距之和为.故答案为：【点睛】此题考查求曲线在某点处的切线方程，再求直线截距，关键在于根据题意准确计算.18．【分析】根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果.【详解】因为，所以，因此在x＝0处的切线斜率为，因为x＝0时，所以切线方程是【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本求解能力.属基础题.19．2x﹣y﹣1=0【分析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程.【详解】函数f（x）=lnx+x的导数为，可得函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为k=2，切点为（1，1），可得切线的方程为y﹣1=2（x﹣1）；即2x﹣y﹣1=0．故答案为2x﹣y﹣1=0．【点睛】本题考查利用导数求切线的方程，是基本题．20．【详解】设，则，，据此可得：，且：，据此可得：曲线在处的切线方程是,整理为一般式即：.点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.21．【分析】先将曲线变形，再通过求导求曲线在处的切线方程，再求面积.【详解】由可得时，.，，则切线方程为即.切线与两坐标轴的交点分别为，所以三角形的面积为.【点睛】求过曲线上一点的切线方程一般有两种思路：1、设切线的斜率，联立曲线方程和直线方程通过判别式加以判断；2、通过求导求曲线在这个点处的斜率，进而求出切线方程.此题曲线是双曲线，若用判别式法求解，则求出的结果要注意检验.用求导求解要注意所得解析式中.22．（1）或;（2）【详解】试题分析：（1）先设出，由已知的运用向量的坐标运算得，再运用向量的数量积公式列出关于的方程；（2）在（1）的基础上表示出，进而表示出，其为关于的表达式，利用的范围求出的取值范围.（1）设由题意可知，联立解得所以或（6分）由，，由（1）得（7分）所以（9分）所以又，所以.故答案为：考点1、向量的数量积；2、向量在三角函数中的应用.23．【分析】根据向量垂直的坐标表示以及平面向量的数量积列方程可解得结果.【详解】因为向量，，且向量与垂直，所以，所以，所以，解得.故答案为：24．或2【分析】转化为，即得解【详解】已知，，若，则，，，，，，，，或，故答案为：或2．【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题25．【分析】首先根据向量线性运算的坐标表示求出，再计算数量积即可；【详解】解：因为，，所以， 所以故答案为：26．（或135°）【分析】根据向量，求得向量的坐标，再利用向量的夹角公式求解.【详解】因为向量，所以，所以，因为，所以，故答案为：（或135°）27．【分析】根据向量垂直和平行的坐标运算法则计算得，，得出，再根据向量的模的坐标公式即可求得结果.【详解】因为向量，，，且，，∴解得，；∴，；∴，∴．故答案为:28．【分析】先求的坐标，再利用列方程即可求解.【详解】因为，，所以，因为，所以，解得，故答案为：.29．【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以， ，即四边形面积等于.故答案为：.   30．【分析】由椭圆得b，c,由此能求面积【详解】由题,则四边形的面积为 故答案为【点睛】本题考查椭圆的面积问题，是基础题31．2【分析】将椭圆方程化为标准方程，求得，根据焦点坐标与顶点坐标求得三角形面积.【详解】椭圆方程可化为．，从而．因此，两焦点为，短轴的个端点为．∴构成的三角形的面积为．故答案为：2.【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，属基础题.32．9【分析】根据椭圆的方程求得c，得到|F1F2|，设出|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，利用勾股定理以及椭圆的定义，可求得t1t2的值，即可求出三角形面积．【详解】∵a＝5，b＝3；∴c＝4，设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，则t1+t2＝10①t12+t22＝82②，由①2﹣②得t1t2＝18，∴．故答案为9．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质．解答的关键是通过勾股定理解三角形，考查计算能力．33．36.【分析】根据题目三角形且满足，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则可利用椭圆的性质，根据完全平方公式和勾股定理可得的值，即可求得三角形的面积.【详解】由椭圆可得.为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，可得①，∵，∴②，①式平方可得，整理得，∴，故答案为：36.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，利用完全平方公式及直角三角形三边关系，解出直角边之积进而得到三角形面积，属于简单题.34．3【分析】令|F1P|＝m、|PF2|＝n，由椭圆的定义得 m+n，在Rt△F1PF2中，由勾股定理得m2+n2，从而可得m•n的值，即得△F1PF2的面积，从而得到答案．【详解】令|F1P|＝m、|PF2|＝n，由椭圆的定义可得 m+n＝2a①，Rt△F1PF2 中，由勾股定理可得（2c）2＝m2+n2②，由①②可得mn＝2b2，∴△F1PF2的面积是==9,即b=3,故答案为3．【点睛】本题考查三角形面积的计算，考查椭圆的定义，考查勾股定理，考查学生的计算能力，属于基础题．35．9【分析】设出p点的坐标（x1，y1），根据PF1⊥PF2，求出y1，再根据 求面积．【详解】解：椭圆C：1的左、右焦点分别为F1（﹣4，0）、F2（4，0），设P（x1，y1），由已知PF1⊥PF2，所以 ，即 （﹣4﹣x1，﹣y1）•（4﹣x1，﹣y1）＝0，∴x12+y12＝16，又因为 1，解得 ，所以，△PF1F2的面积．故答案为9．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质以及根据一些性质求面积，用到数形结合思想，这是高中数学的一种重要思想．