2022年全国新高考II卷数学试题变式题第1-4题解析版

这是一份2022年全国新高考II卷数学试题变式题第1-4题解析版，共29页。试卷主要包含了已知集合，则，已知集合，，则，若集合，则，设集合 ，则，已知集合，，等内容，欢迎下载使用。
 2022年全国新高考II卷数学试题变式题1-4题
原题1
1．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
变式题1基础
2．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
变式题2基础
3．若集合，则（    ）
A． B．
C． D．
变式题3基础
4．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
变式题4基础
5．已知集合，，则（    ）
A． B．[—1，7]
C． D．（2，4）
变式题5巩固
6．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
变式题6巩固
7．已知集合，，则（    ）
A．R B． C． D．
变式题7巩固
8．设集合 ，则 （    ）
A． B． C．{2} D．{-2，2}
变式题8巩固
9．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
变式题9提升
10．已知集合，，（    ）
A． B． C． D．
变式题10提升
11．已知集合，，则（    ）
A．[－2，4） B．[－2，4] C． D．（－1，4]
变式题11提升
12．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．
变式题12提升
13．设集合，，则（    ）
A． B． C． D．
原题2
14．（    ）
A． B． C． D．
变式题1基础
15．（    ）
A． B． C． D．
变式题2基础
16．复数（    ）
A． B． C． D．
变式题3基础
17．（       ）
A． B． C． D．
变式题4基础
18．复数（    ）
A． B．
C． D．
变式题5巩固
19．（    ）
A． B．8 C． D．
变式题6巩固
20．（    ）
A． B． C． D．
变式题7巩固
21．已知复数，，则（    ）
A． B． C． D．
变式题8巩固
22．若复数，则（    ）
A． B． C． D．
变式题9提升
23．已知复数z满足，则（    ）
A．1＋8i B．1－8i C．－1－8i D．－1＋8i
变式题10提升
24．已知复数满足，则（    ）
A． B． C． D．
变式题11提升
25．已知复数（i为虚数单位），则（    ）
A． B． C． D．
变式题12提升
26．在复平面内，若复数z对应的点为，则（    ）
A．2 B．2i C． D．
原题3
27．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
变式题1基础
28．“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象，随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状，如图所示：古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为，其中且，将满月分成部分，从新月开始，每天的月相数据如下表所示(部分数据)，是指每月的第天可见部分占满月的，是指每月的第天可见部分占满月的，是指每月的第天(即农历十五)会出现满月．已知在月相数列中，前项构成等比数列，第项到第项构成等差数列，则第天可见部分占满月的(    )


































A． B． C． D．
变式题2基础
29．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（    ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．钱
变式题3基础
30．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则第六圈的石板块数是（    ）

A．45 B．54 C．72 D．81
变式题4基础
31．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为（    ）
A．132 B．133 C．134 D．135
变式题5巩固
32．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（    ）

A．39 B．45 C．48 D．51
变式题6巩固
33．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到500这500个数中，能被3除余2，且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则这个新数列各项之和为（    ）．
A．6923 B．6921 C．8483 D．8481
变式题7巩固
34．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、、癸酉、甲成、乙亥、丙子、、癸末、甲申，乙酉、丙成、、癸巳、、癸亥，年为一个纪年周期，周而复始，循环记录按照“干支纪年法”，今年（公元年）是辛丑年，则中华人民共和国成立周年（公元年）是（    ）
A．己未年 B．辛巳年 C．庚午年 D．己巳年
变式题8巩固
35．中国古代张苍、耿寿昌所撰写的《九章算术》总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”则中间三人所得钱数比第1与第5人所得钱数之和多（    ）
A．钱 B．钱 C．钱 D．1钱
变式题9提升
36．中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先人，得金四斤，持出；下四人后人得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是（    ）
A． B． C． D．
变式题10提升
37．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（    ）
A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺
变式题11提升
38．《周髀算经》是中国古代天文学与数学著作，其中有关于24节气的描述，将一年分为24个节气，如图所示，已知晷长指太阳照射物体影子的长度，相邻两个节气的晷长变化量相同（即每两个相邻节气晷长增加或减小量相同，其中冬至晷长最长，夏至晷长最短，从夏至到冬至晷长逐渐变大，从冬至到夏至晷长逐渐变小.周而复始，已知冬至晷长为13.5尺，芒种晷长为2.5尺，则一年中秋分这个节气的晷长为（    ）

A．6.5尺 B．7.5尺 C．8.5尺 D．95尺
变式题12提升
39．2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（    ）
A．4.5寸 B．3.5寸 C．2.5寸 D．1.5寸
原题4
40．已知向量，若，则（    ）
A． B． C．5 D．6
变式题1基础
41．已知向量，，且与的夹角为，则（    ）
A． B．1 C．或1 D．或9
变式题2基础
42．若向量，且与的夹角为，则x为（    ）
A． B． C． D．
变式题3基础
43．设向量，，向量与的夹角为锐角，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
变式题4基础
44．已知向量，，且与的夹角为，则的值为（    ）
A． B．2
C． D．1
变式题5巩固
45．已知，且与的夹角为120°，则k等于（    ）
A． B．－2
C． D．1
变式题6巩固
46．若，且与的夹角是钝角，则实数x的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
变式题7巩固
47．已知向量，若与的夹角为，则（    ）
A． B． C． D．
变式题8巩固
48．已知向量，，若向量，的夹角是锐角，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
变式题9提升
49．已知向量，，其中为实数，为坐标原点，当两向量夹角在变动时，的取值范围是
A． B． C． D．
变式题10提升
50．平面向量，，（），且与的夹角与与的夹角互补，则（    ）
A． B． C．1 D．2
变式题11提升
51．已知向量，满足，，若与的夹角为45°，则实数（    ）
A． B． C． D．
变式题12提升
52．若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．

参考答案：
1．B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
2．C
【分析】化简集合B，利用交集的运算直接得解.
【详解】因为集合，，
所以
故选：C.
3．D
【分析】先根据绝对值不等式的解法求出集合，再求即可.
【详解】由，得或，
所以或，
所以.
故选：D.
4．C
【分析】解绝对值不等式可求得集合，由交集定义可得结果.
【详解】，.
故选：C.
5．A
【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式求集合A、B，再由集合的交运算求结果.
【详解】由题设，，或，
所以或.
故选：A
6．B
【分析】由绝对值不等式及一元二次不等式的解法求出集合和，然后根据交集的定义即可求解.
【详解】解：由题意，集合，或，
所以，
故选：B.
7．D
【分析】求函数定义域化简集合A，解不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.
【详解】由得，则，由解得，即，
所以.
故选：D
8．C
【分析】解一元二次不等式,求出集合B，解得集合A,根据集合的交集运算求得答案.
【详解】由题意解得： ，
故，或 ，
所以，
故选：C
9．B
【分析】由定义域得到不等式，解不等式求出，解绝对值不等式求出，从而求出交集.
【详解】由对数函数真数大于0得到，解得：，所以，
由，解得：，所以，
故．
故选：B
10．C
【解析】解分式不等式得到集合A，解绝对值不等式得到集合B，再利用交集运算计算结果.
【详解】解不等式，等价于或，
解得：或，故或
解不等式，解得，故
所以
故选：C
【点睛】关键点睛：本题考查解不等式及集合的交集运算，解题的关键是熟悉分式不等式和绝对值不等式的解法，考查学生的分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题.
11．C
【分析】根据对数函数定义域和分式不等式得，再解绝对值不等式得，最后根据集合运算求解即可.
【详解】解：集合，
，
所以.
故选：C．
12．A
【分析】结合对数不等式和绝对值不等式化简集合，再由交集运算即可求解.
【详解】由，即，，
所以，由解得，所以，所以.
故选：A
13．C
【分析】解不等式求得集合，求函数的值域求得集合，由此求得.
【详解】，
，
所以.
故选：C
14．D
【分析】利用复数的乘法可求.
【详解】，
故选：D.
15．B
【分析】由复数的乘法法则计算．
【详解】．
故选：B．
16．D
【分析】根据复数的乘法运算化简即可.
【详解】.
故选：D
17．C
【分析】直接计算即可
【详解】，
故选：C
18．B
【分析】由复数的乘法运算即可求得答案.
【详解】.
故选：B.
19．A
【分析】根据复数的定义和运算法则计算即可.
【详解】.
故选：A.
20．C
【分析】根据复数代数形式的乘法法则计算可得；
【详解】解：
故选：C
21．D
【分析】利用复数的乘法运算法则计算化简即得.
【详解】，
故选：D.
22．A
【分析】利用分式的乘法和除法运算求解.
【详解】解：因为复数，
所以，
故选：A
23．C
【分析】由题意得复数z，代入即可得到答案.
【详解】由，得，
故选：C.
24．C
【分析】由已知解方程组求得，然后由复数的乘法法则计算．
【详解】由解得，
所以．
故选：C．
25．D
【分析】利用复数的乘除运算即可求解.
【详解】解：.
则
故选：D.
26．D
【分析】由复数的几何意义可得复数，利用复数的乘法可求得结果.
【详解】由复数的几何意义可知，
故.
故选：D.
27．D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
28．B
【分析】由{an}中等差数列部分求出相应公差，求得a5，再由前5项构成的等比数列求出a3，而得解.
【详解】设第项到第项构成的等差数列的公差为，则，解得，所以．设前项构成的等比数列的公比为，则，又，所以，所以，即第天可见部分占满月的，
故选：B．
29．D
【分析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，则有，，从而可求出，进而可求得结果
【详解】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为的等差数列，
则有，，
故解得则，
故选：D.
30．B
【分析】设第n圈有块石板，由题意可知构成首项，公差d=9的等差数列，利用通项公式代入即可求解.
【详解】设第n圈有块石板，由题意可知构成首项，公差d=9的等差数列，
所以.
所以第六圈的石板块数.
故答案为：B
31．C
【分析】先得到新数列14，29，44，…是首项为14，公差为15的等差数列，求出通项公式，解不等式求出数列的项数.
【详解】由题意得：新数列14，29，44，…是首项为14，公差为15的等差数列，
设新数列为，则通项公式为，
令，解得：，
因为，所以这个数列的项数为134.
故选：C
32．D
【分析】利用已知条件将每一层有的塔的数目设为，依题意可知，…成等差数列，利用等差数列通项公式以及前项和公式即可得出结论.
【详解】设该数列为，依题意可知，，，…成等差数列，且公差为2，，
设塔群共有层，则，解得．
故最下面三层的塔数之和为．
故选：D.
33．C
【分析】依题意数列是以2为首项，以15为公差的等差数列，即可得到数列的通项公式，再解不等式求出的取值范围，最后根据等差数列前项和公式计算可得；
【详解】解：由题意可知数列既是3的倍数，又是5的倍数，
因此数列是以2为首项，以15为公差的等差数列，
，令，解得，
因此这个新数列的最后一项为，
设新数列的前n项和为，则．
故选：C．
34．D
【分析】分析可知“天干”可看作是个元素构成的等差数列，“地支”可看作是个元素构成的等差数列，计算出年的天干和地支，即可得出结论.
【详解】“天干”可看作是个元素构成的等差数列，“地支”可看作是个元素构成的等差数列，
从年到年经过年，且年为辛丑年，
以年的天干和地支分别为首项，因为，则的天干为已，
，则年的地支为巳，即公元年为己巳年.
故选：D.
35．D
【分析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为d的等差数列求解.
【详解】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为，公差为d的等差数列，
则有，，
故，解得．
所以，
故选：D.
36．A
【分析】由题意转化为等差数列，由等差数列的通项公式列出方程求解即可.
【详解】由题设知在等差数列中，，.
所以，，解得，
故选：A
37．A
【分析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，从而得到答案．
【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.
由题可知，所以，
，
，
，
故选：A．
38．B
【分析】根据冬至到夏至的晷长成等差数列，求出夏至晷长，再由夏至到冬至晷长为等差数列，由秋分的位置，确定出在对应数列中的项，从而求出秋分晷长
【详解】冬至到夏至晷长记为数列，数列为等差数列，公差，
冬至晷长，若芒种晷长所以，所以夏至晷长
夏至到冬至晷长记为数列{}，数列{}为等差数列，公差，夏至晷长
秋分这个节气的晷长
故选：B
39．B
【分析】根据从冬至到夏至的日影长等量减少，由等差数列求解.
【详解】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以构成等差数列，
由题意得：，则，
，则，
所以公差为，所以，
故选：B
40．C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
41．C
【解析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.
【详解】解：由题意可得，
求得，或，
故选：C.
【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．
42．C
【分析】求出，利用数量积的定义建立关系即可求出.
【详解】，，
则，解得.
故选：C.
43．C
【分析】由两向量的夹角为锐角，可得两向量的数量积大于零，且两向量不共线，从而可求出的取值范围
【详解】由向量，，因为向量与的夹角为锐角，则且，解得且，即的取值范围为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算及向量的共线定理的应用，其中解答中熟记平面向量的坐标运算法则和平面向量的共线定理，列出相应的关系式是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
44．D
【分析】由向量夹角的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】解：由向量夹角的坐标表示得：
，解得：；
故选：D．
45．C
【分析】由题意可得，的坐标，进而可得，，代入向量求夹角公式，可得关于k的一元二次方程，即可求得答案.
【详解】由题意，，．
所以，
又，且与的夹角为120°，
所以，
化简并整理得：k2＋2k－2＝0，解得k＝.
故选：C
46．C
【分析】直接由且与不共线求解即可.
【详解】由题意知，且与不共线，且，解得．
故选：C.
47．D
【分析】先表示出的坐标，再根据向量的夹角公式列出关于m的方程，解得答案.
【详解】由题意得，
故 ，
解得 ，其中不合题意，舍去，
故，
故选：D
48．C
【分析】由题知，进而解不等式组即可得答案.
【详解】因为，，
所以，
因为向量，的夹角是锐角，所以，解得，且．
所以，实数的取值范围是.
故选：C
49．C
【分析】设向量、的起点均为，终点分别为、，可得出与轴正方向的夹角为，设向量与轴正方向的夹角为，由题意可得出且 ，由可得出实数的取值范围.
【详解】设向量、的起点均为，终点分别为、，可得出与轴正方向的夹角为，
设向量与轴正方向的夹角为，由于，

则或.
即B在与（不与A重合）之间，
，因此，实数的取值范围是，故选：C.
【点睛】本题考查利用向量夹角的取值范围求参数，解题时充分利用数形结合法，找到临界位置进行分析，可简化运算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
50．A
【分析】由与的夹角与与的夹角的余弦值相加为0求解．
【详解】由已知，
，
，
∵与的夹角与与的夹角互补，
∴，解得．
故选：A．
【点睛】本题考查平面向量的夹角，考查平面向量的数量积定义，属于基础题．
51．C
【解析】设，，根据平面向量坐标运算，结合向量夹角公式可构造方程求得结果.
【详解】不妨设，，
则，，
则，，，
由向量夹角公式可知：，解得：，
，则，故舍掉一根，
.
故选：．
【点睛】本题考查利用平面向量夹角求解参数值的问题，解题关键是能够明确向量夹角与向量数量积和模长之间的关系.
52．D
【分析】且与不同向，进而求解即可得答案.
【详解】解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即，
由，共线得，得，
故.
故选:D.