2022年新高考北京数学高考真题变式题第13-15题解析版

这是一份2022年新高考北京数学高考真题变式题第13-15题解析版，共38页。试卷主要包含了已知函数.，已知函数f等内容，欢迎下载使用。

 2022年新高考北京数学高考真题变式题13-15题
原题13
1．若函数的一个零点为，则________；________．
变式题1基础
2．若函数有两个零点,则实数m的取值范围为________,两个零点之和为________.
变式题2基础
3．已知函数相邻两个零点之间的距离是，若将该函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则______；______.
变式题3基础
4．已知函数，（其中，为常数，且）有且仅有5个零点，则a的值为__________，的取值范围是__________．
变式题4基础
5．已知，则___________，___________.
变式题5巩固
6．已知函数，且图象的相邻对称中心之间的距离为，，则________；若在上有2个零点，则实数m的取值范围为________.
变式题6巩固
7．已知函数.
①若，则函数的对称轴方程为________；
②若函数在区间上有且仅有三个零点，则的值是____________.
变式题7巩固
8．已知x1＝，x2＝是函数相邻的两个零点，则φ＝__；若函数在上的最大值为1，则m的取值范围是__.
变式题8提升
9．已知函数f（x）=cos（2x+）（-<<0）
①函数f（x）的最小正周期为_______；
②若函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，则的值是_______
变式题9提升
10．若函数与有相同的零点，其中，且在上有且只有一个零点，则的值为____________，实数的最小值为____________.
变式题10提升
11．已知函数．若，则___________；若的定义域为，则零点的个数为_________．
原题14
12．设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
变式题1基础
13．设函数.①若，则的最大值为___________.②若无最大值，则实数的取值范围是___________.
变式题2基础
14．函数.
（1）当时的值城为___________.
（2）若的值域为，则实数a的取值范围为___________.
变式题3基础
15．若函数（且）.①若，则___________；②若有最小值，则实数的取值范围是___________.
变式题4基础
16．设函数.
①若，则的最大值为____________________；
②若无最大值，则实数的取值范围是_________________.
变式题5巩固
17．已知函数，则________；若在既有最大值又有最小值，则实数的取值范围为________．
变式题6巩固
18．已知函数，若，则的值域是___________；若的值域为，则实数的取值范围是_________.
变式题7巩固
19．若函数（且），当时，________；若该函数的值域是，则实数的取值范围是__________．
变式题8巩固
20．已知函数，若，则的值域是______；若的值域为，则实数的取值范围是_________.
变式题9提升
21．定义：已知函数，其中，．若，则实数的取值范围为______；若的最大值为2，则______．
变式题10提升
22．已知函数．
（1）若函数在有且只有一个极值点，则实数a的取值范围____________；
（2）若函数的最大值为1，则_______．
变式题11提升
23．设函数．若a＝－1，则的最小值为________；若是函数的最小值，则实数a的取值范围是________．
变式题12提升
24．设函数，则_______；当 时，函数的值域为 ，则的取值范围是____________.
原题15
25．已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3；   ②为等比数列；
③为递减数列；       ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
变式题1基础
26．如果数列满足(为常数)，那么数列叫做等比差数列，叫做公比差.给出下列四个结论：
①若数列满足，则该数列是等比差数列；
②数列是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列.
其中所有正确结论的序号是___________.
变式题2基础
27．设是数列的前项和，且，，，则①；②；③是等比数列；④不是等比数列，其中所有正确结论的序号是____________.
变式题3基础
28．已知数列的首项，对任意都有，且函数为上的奇函数，给出下列结论：①；②数列是等比数列；③若为数列的前项之和，则时，取得最小值，没有最大值.其中正确的结论是________.（填序号）
变式题4巩固
29．已知在数列中，，，其前n项和为．给出下列四个结论：
①时，；
②；
③当时，数列是递增数列；
④对任意，存在，使得数列成等比数列．
其中所有正确结论的序号是___________．
变式题5巩固
30．已知数列的前n项和为，，若存在两项，，使得，则下列结论正确的是___________.（填写所有正确的序号）
①数列为等差数列；
②数列为等比数列；
③为定值；
④设数列的前n项和为，，则数列为等差数列.
变式题6巩固
31．已知数列和正项数列，其中，且满足，数列满足，其中.对于某个给定或的值，则下列结论中：①；②；③数列单调递减；④数列单调递增.其中正确命题的序号为___________.
变式题7巩固
32．在平面四边形中，的面积是面积的倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则所有正确结论的序号是___________.
①为等比数列；②为递减数列；③为等差数列；④
变式题8提升
33．已知数列满足，下列说法正确的是________．
①；
②都是整数；
③成等差数列；
④．
变式题9提升
34．已知数列满足，设，则下列结论正确的是__________．
①；②；③；
④若等差数列满足，其前n项和为，则，使得
变式题10提升
35．已知首项为的无穷数列满足，并且()，为数列的前项和，对于给定的正整数，给出下面四个结论：
①当为奇数时，有种可能的取值；
②当为偶数时，可能是等差数列；
③当为奇数时，的最大值是；
④当为偶数时，的最大值是.
其中所有正确结论的序号是__________.
变式题11提升
36．已知数列和正项数列，其中，且满足，数列的前n项和为，记，满足．对于某个给定或的值，则下列结论中：①；②；③若，则数列单调递增；④若，则数列从第二项起单调递增．其中正确命题的序号为______．

参考答案：
1．     1    
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】∵，∴
∴

故答案为：1，

2．         
【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数的图像与直线，根据图像可得实数m的取值范围，利用对称性可得零点之和.
【详解】解析:由得.在同一平面直角坐标系中作出函数的图像与直线.如图所示.

由图知,当,即时,两图像有两个交点,
则原函数有两个零点,此时.
设两个零点分别为,,由于两交点关于直线对称,
所以,
.
故答案为：；
【点睛】本题考查函数零点问题，将其转化为图像的交点个数问题是本题的关键，是基础题.
3．     2     1
【分析】根据题意求出函数的最小正周期,可得出的值,再利用图象的平移变换可得出解析式,进而得出结果.
【详解】由于函数相邻两个零点之间的距离是,则该函数的最小正周期为,.
将函数的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为.即,所以
故答案为：2,1.
【点睛】本题考查利用图象平移求三角函数解析式,同时也考查了利用正弦型函数的周期求参数,考查函数值的计算,属于基础题.
4．     1    
【解析】由条件可得函数必有一个零点为，即可求出，然后令可得，然后可建立不等式求解.
【详解】因为函数，为偶函数，有且仅有5个零点
所以必有一个零点为，所以，即
令，可得，即，即
因为有且仅有5个零点，所以，解得
故答案为：1；
5．     ；     .
【分析】根据降幂公式和辅助角公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，,
故答案为:；.
6．         
【解析】由图象的相邻对称中心之间的距离为，所以函数的最小正周期为3，可求出的值，再根据，，可求出的值，从而得到的解析式, 当时，作出的大致图象，结合函数在上的图象,可得出的图象与直线有两个交点时，实数m的取值范围，得到答案.
【详解】因为图象的相邻对称中心之间的距离为，
所以函数的最小正周期为3，即，解得，则.
又，，所以，所以.
当时，的大致图象如图.

.在上有2个零点,
即的图象与直线有两个交点.
结合函数在上的图象知，当时满足条件.
则实数m的取值范围为.
故答案为：(1). (2).
【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质、函数的零点，考查数形结合思想及学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.
7．         
【解析】
【详解】①当时，可得，
解方程，可得，
此时，函数的对称轴方程为；
②当时，，
，则，
由于函数的最小正周期为，而区间刚好为函数的一个周期区间，
若函数在区间上恰好有个零点，则，解得.
故答案为：；.
【点睛】本题考查余弦型函数对称轴方程的求解，同时也考查了利用余弦型函数在区间上的零点个数求参数值，考查计算能力，属于中等题.
8．          （﹣，]
【分析】利用三角函数的性质得到ω＝2，再根据已知零点得到φ＝，然后根据三角函数的性质得到关于m的不等式，即可得解.
【详解】解：设函数f（x）的最小正周期为T，由题意可得，则T＝π，
所以＝π，所以ω＝2，
则f（x）＝sin（2x+φ），
由题意知2×+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ﹣，k∈Z，
又0＜φ＜，
所以φ＝，
所以f（x）＝sin（2x+），
因为函数g（x）在[﹣，m]上的最大值为1，且当x∈[﹣，m]上的最大值为1，
当x∈[﹣，m]时，﹣≤2x+≤2m+，
所以﹣＜2m+≤，
所以﹣＜m≤.
故答案为：，（﹣，]
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是在得到当x∈[﹣，m]时，﹣≤2x+≤2m+后，得到﹣＜2m+≤.
9．         
【分析】直接利用周期公式得到周期，根据题意得到，根据零点个数得到，计算得到答案.
【详解】 ，
当时，，
故，当时，满足条件
故答案为：
【点睛】本题考查了三角函数周期，根据零点个数求参数，意在考查学生的综合应用能力.
10．     ##60°##     ##15°##
【分析】根据函数零点相同得到，进而求出，分别求出与的零点，求出实数的最小值.
【详解】因为函数与有相同的零点，故两个函数的最小正周期相同，故，则的零点为，，故，；将，，代入到中，得到，解得：，，则，，因为，解得：.令
，解得：，则，，令，解得：，，因为在上有且只有一个零点，所以实数的最小值为.
故答案为：，
11．          1
【分析】利用诱导公式及二倍角的正切公式化简函数，再代入求解；
由已知得，构造函数，，
利用导数研究函数的单调性结合函数的零点存在性定理即可求解.
【详解】，
若．则．
令，，整理得．
设，若，则．
则，，求导，
当时，．
又，，，故在上存在唯一的零点，
又在上单调递增，所以在区间上零点的个数为1．
故答案为：，1
12．     0（答案不唯一）     1
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，  解得 .
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1

13．     0    
【分析】根据分段函数各区间上函数的单调性、值域，判断的最大值；讨论参数a的范围，结合各区间的函数值域端点值的大小关系，判断有无最大值，即可求的取值范围.
【详解】①由已知得，易知：上递增且值域为；上递减且值域为，
∴的最大值为.
②上递增且值域为；上递减且值域为，
当时，显然，故存在最大值.
当时，显然，即无最大值.
综上，.
故答案为：0，.
14．          或
【分析】当时，，再分别求出和的值域即可，根据题意画出函数的图象，再结合图象即可得到答案.
【详解】当时，，
当时，为增函数，值域为，
当时，，
在为增函数，，值域为，
综上：值域为.
在同一坐标系下画出函数和的图象，
如图所示：
，解得或，

因为的值域为，由图知：或.
故答案为：，或
15．         
【分析】先计算的值，再计算的值；通过分类讨论确定不等式后即可求得的取值范围.
【详解】当时，，
所以，
所以；
当时，，
当时，取得最小值，
当时，且时，，
此时函数无最小值.
当时，且时，，
要使函数有最小值，则必须满足，解得.
故答案为：；.
16．2
【分析】试题分析：如图，作出函数与直线 的图象，它们的交点是，由 ，知是函数 的极小值点，
①当时， ，由图象可知的最大值是 ；
②由图象知当时， 有最大值；只有当 时，，无最大值，所以所求 的取值范围是．

【考点】分段函数求最值,数形结合
【名师点睛】1.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量的值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量的值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．
【详解】
17．         
【解析】第一空：直接代入函数计算即可；
第二空：作出函数图像，观察图像可得结果.
【详解】解：第一空：，；
第二空：的图像如下：

令，，得，
，，得，
若在既有最大值又有最小值，则
实数的取值范围为.
故答案为：；
【点睛】本题考查分段函数的求值问题，考查学生数形结合的能力，关键是要作出函数图像，是一道中档题.
18．         
【分析】当时，分别求两段函数的值域，再求并集即可求的值域，利用的单调性分别求出时，的值域为的子集，求出的范围再令的范围满足求出的范围，再求交集即可求解.
【详解】当时，，
当，，
当时，在单调递减，在单调递减，
所以时，当时，此时，
所以值域为.
当时，在单调递增，此时，
是的子集，所以，解得，
当时，在单调递增，
此时值域为，不符合题意，
当时，在和单调递增，
此时值域为，不符合题意，
当时，在单调递增，此时，
当时，对称轴为，
令，可得，
令解得：或，
若的值域为则，
又因为是的子集，
所以解得，所以.
故答案为：；.
【点睛】思路点睛：对于分段函数，当自变量的范围不确定时要根据定义域分成不同的子集进行分类讨论.
19．     5    
【分析】第一空，代入，即得解；
第二空，分段，解不等式，当时，分，讨论，利用对数函数单调性求解即可
【详解】当时，；
若函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，
若，当时，不成立；
若，函数为增函数，所以，
所以实数的取值范围.
故答案为：5，
20．     ；     ；
【分析】若，分别求出在及上的最值，取并集得答案；结合图像，只需即可得到的范围．
【详解】解：当时，．
当，时，
在，上单调递减，在，上单调递增，
可得的最大值为，最小值为；
当，时，为增函数，．
综上所述，的值域是；
根据题意得：，
如图，当，解得：或，令，解得：
故，故实数的取值范围是

故答案为：；．
21．          2
【分析】根据及新定义即可求得实数的取值范围；作出函数及函数的大致图象，根据的最大值为2得到，即可得到的值．
【详解】由题意得，所以，
即实数的取值范围为；
在同一坐标系中作出函数
及函数的大致图象如图所示，
令，解得或．
结合图象可知，若的最大值为2，则．

故答案为：；2.
【关键点点睛】解决本题的关键是作出两函数的图象，根据两函数图象的位置关系及的最大值为2得到，即.
22．          .
【分析】（1）由时有解可得；
（2）时，由不等式的性质知不可能得最大值1，时，由二次函数知识求解．
【详解】解：（1）时，，，若在有且只有一个极值点，则在上有解，故；
（2）时，的对称轴是，
①即时，在递增，，函数无最大值
②即时，在递增，在递减，
故，解得：或（舍）；
时，，
综上，
故答案为：，．
23．     0    
【分析】分别求出函数在时和时的最小值，进而求得函数的最小值；根据是函数的最小值，则，且小于等于时函数的最小值，最后求出答案.
【详解】a＝－1时，，当时，，当时，，则的最小值为0；
是函数的最小值，当时，，则，且最小值为，
当时，，
于是.
故答案为：0，.
24．     ；    
【分析】第一空：根据范围，代入对应函数解析式求值即可；第二空：先求出在R上的值域，结合图象即可求出的取值范围.
【详解】第一空：由题意知：，；
第二空：当时，在上为增函数，值域为；
当时，，值域为，画出图象如下：

令，解得，由图象可知，要使函数 的值域为 ，有.
故答案为：；.
25．①③④
【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.

26．①③④
【解析】根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判断①②③④中的四个数列是否是等比差数列，即可得到答案.
【详解】①数列满足，则，满足等比差数列的定义，故①正确；
②数列，
，不满足等比差数列的定义，故②错误；
③等比数列，满足等比差数列，故③正确；
④设等差数列的公差为，则，
故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；
故答案为：①③④
27．①②④
【分析】在等式中令，解出的值，可判断①的正误；在等式中，用替代，可判断②的正误；由与作差得出，结合可判断③④的正误.
【详解】在中，令，则，，①正确；
在中，令为，则，②正确；
当时，将与相减得，
即，所以，，
因为，所以不是等比数列，④正确，③错误.
故答案为：①②④.
28．①②③
【分析】根据题中的关系式化简数列递推公式，再逐项计算验证答案.
【详解】根据题意，函数为奇函数，所以，且,
计算得，又，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以，，①正确；
又，所以是等比数列，②正确；
由知时，时，且时，，所以③正确.
因此①②③都是正确的.
故答案为：①②③.
29．①②④
【分析】①依题意可得，即可求出，②表示出，根据二次函数的性质即可判断；利用特殊值判断③，④利用构造法构造数列成等比数列，即可得到结论；
【详解】解：①当时，，则，
即，则，
则，，
则；故①正确．
②因为，，所以，，
即，故②正确；
③当时，不妨设，
则由，，
得，
则，
则，故数列是递增数列错误；故③错误．
④设，
则，
，
，即
存在，数列成等比数列，此时公比；故④正确；
故答案为：①②④
30．②③④
【分析】利用求得，可判断①②；求得数列的通项公式可判断③；
求得，利用等差数列的求和公式及等差数列的定义可判断④.
【详解】对于①②，，当时，，所以；
当时，，，即，
即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故②正确，①错误；
对于③，由②知，若存在两项，，使得，
此时，即，故③正确；
对于④，，所以，
所以，所以.
故数列为等差数列，故④正确.
故答案为：②③④
31．①②④
【分析】根据得，结合，解得，得，可判断①；
根据，，得，得，可判断②；
求出，利用恒成立，可判断③；
由，得，，两式相减得，根据，结合，，可得，可判断④.
【详解】依题意有，所以，所以，
又，所以，解得，所以，即，故①正确；
因为，所以，又，
所以，所以，所以，所以，即，故②正确；
因为且，所以，所以恒成立，所以数列单调递增；故③不正确；
由得，由得，
所以，
所以，
所以，
两式相减得，
所以，
由③知，递增，所以，又，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，又为正项数列，所以恒成立，
综上所述，数列单调递增.故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点点睛:判断数列的单调性时,利用平方关系式消去和得到是解题关键.
32．②③④
【分析】设与交于点，由面积比得，根据平面向量基本定理得与关系，从而得数列递推关系，然后根据各选项求解数列，判断结论即可.
【详解】设与交于点，，
，
，，共线，所以存在实数，使得，
所以，
所以，所以，，
所以，，，不是等比数列，①错；
因为，所以，即，所以是等差数列，③正确；
又因为，则，即，，
所以当时，，即，
所以是递减数列，②正确；
因为，
，
所以两式相减得
，
所以，④正确.
故答案为：②③④.
33．②③
【分析】根据，直接求得，由递推公式得，令，则有，
从而的出数列的通项，从而可判断②③④的对错.
【详解】解：，故①错误；
因为，即
则，
两式相减得：，
所以，
令，
则有，
又，，
所以，
所以，
又因均为整数，
所以都是整数，故②正确；
当n为奇数时，则为偶数，为奇数，
，即，
即，所以成等差数列，故③正确；
因为，
所以当为奇数时，，
所以当为偶数时，，
故④错误.
故答案为：②③.
34．①③④
【分析】通过题目给的首项与通项公式，可以算出前几项，发现该数列是一个从第四项开始的周期数列，然后可以通过计算验证选项①、③，根据数列的实际取值，可以判断选项②，通过比较和的增长幅度，可以判断选项④.
【详解】，，
，，，，，，，
此数列是从第四项开始的的周期数列，且满足，，故①正确；
选项②，在数列中，，，，，，是不存在，故②错误；
选项③，，故③正确；
选项④，等差数列，，，，其，
数列是从第四项开始的的周期数列，而，呈指数被的增长，无穷大，而是一个二次函数的增长形式，增长幅度相对于指数而言有限，故，使得，所以选项④正确.
故答案为：①③④
35．②④
【分析】由题可得或，据此可求、，从而判断①；
根据数列满足或，可取数列为，据此可判断②；
根据k＝1时的值即可判断③；
分别讨论和时，的范围即可判断当k为偶数时的最大值，从而判断④.
【详解】由题可得，即或，
∵，∴或，
又∵，∴.
同理或，
∴只有种可能取值，不是种可能取值，故①错误；
对于②，根据满足或，
可取数列为，
此时显然满足当为偶数时，是等差数列，故②正确；
当k＝1时，，故③错误；
当时，∵，
∴，
∵，，∴；
当时，∵，∴，
∵，
∴，
综上，无论如何都有，
故.
故答案为：②④.
【点睛】本题①②③关键在于根据已知条件举例判断；④的关键是分类讨论和时，的范围，当k为偶数时，通过求出的范围对进行放缩即可得答案.
36．①②③
【分析】求得的范围判断①；求得的值判断②；判定出数列单调性判断③；由数列第三项小于第二项否定④.
【详解】由，可知，则，又
则，解之得.则①判断正确；
由，可得，则，则
又由，可知，则
则由，则或（舍）
则或（舍）. 则②判断正确；
由，可知，则
若，则，
又，则，则，则
由，可得，则
又，则数列单调递增. 则③判断正确；
由，可得
由，，

则当时，，
即数列的第三项小于第二项.
则数列从第二项起单调递增的说法判断错误.
故答案为：①②③