【高考数学】2022-2023学年黑龙江省大庆市专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析

这是一份【高考数学】2022-2023学年黑龙江省大庆市专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共45页。试卷主要包含了已知集合，，则，已知复数z满足，则，－1＋8i，已知p，函数的大致图象是等内容，欢迎下载使用。
【高考数学】2022-2023学年黑龙江省大庆市专项突破仿真
模拟试题（一模）

第I卷（选一选）
请点击修正第I卷的文字阐明
评卷人
得分



一、单 选 题
1．已知集合，，则（       ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则（       ）
A．1＋8iB．1－8iC．－1－8．－1＋8i
3．已知p：“”，q：“”，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（       ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（       ）
A．B．
C．D．
5．已知等差数列的前n项和为，且满足，则（       ）
A．5B．10C．7D．14
6．一组5个数据，，，，的和为25，方差为6，则，，，，，5这6个数的方差为（       ）
A．5B．6C．25D．30
7．函数的大致图象是（       ）
A．B．
C．D．
8．如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（       ）

A．1B．C．D．2
9．已知，的值为，x＝m是的一条对称轴，则的最小值为（       ）
A．B．C．D．
10．图中方格都是边长为1的正方形，粗实线画出了一个几何体的三视图，则该几何体的最长棱长为（       ）

A．3B．5C．D．
11．双曲线有一个几何性质：从一个焦点射出的光线射到双曲线上一点M，经双曲线在点M处的切线反射后，反射光线的反向延伸线另一个焦点．已知双曲线的左、右焦点分别为，，从射出的光线投射到双曲线上一点M，经双曲线在点M处的切线l：y＝x＋1反射后，反射光线的反向延伸线点，则a＝（       ）
A．3B．C．5D．
12．已知函数与函数的图象恰有3个交点，则实数k的取值范围是（       ）
A．B．
C．D．
第II卷（非选一选）
请点击修正第II卷的文字阐明
评卷人
得分



二、填 空 题
13．已知x，y满足，则的值为______．
14．已知，，则______．
15．正四棱锥的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为______．
16．在平面直角坐标系xOy中，，⊙M：与抛物线C：有且仅有两个公共点，直线l过圆心M且交抛物线C于A，B两点，则______．
评卷人
得分



三、解 答 题
17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求角A的大小；
(2)若，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．
注：三角形的内角平分线定理：在△PQR中，点M在边QR上，且PM为∠QPR的内角平分线，有．
18．疫情逐渐缓解，学校教学从线上上课方式回归到线下上课方式．为了检验网课学习的成果，某学校进行了一场开学考试．某年级实验班共有先生50人，数学考试成绩的频率分布直方图如下图所示．分布区间分别为，，，，，，数学考试成绩不低于120分为．

(1)求该实验班数学考试成绩达到的人数；
(2)从实验班一切先生的数学试卷中，按考试成绩能否，利用分层抽样的方法随机抽取10人的试卷，再在这10人的试卷中，随机抽取3份试卷，记X为这3份试卷中考试成绩达到的试卷份数．求X的分布列和数学期望．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到点P处，平面PAE⊥平面ABCE．

(1)证明：平面PAB⊥平面PBE；
(2)求二面角C－PA－B的正弦值．
20．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．
21．已知函数，其中．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
22．在平面直角坐标系中，已知直线l：．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的一个参数方程；
(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且，求m的值．
23．已知函数，．


(1)在给出的平面直角坐标系中画出和的图象；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．

答案：
1．C

【分析】
先求得集合A、B，再由集合的交集运算可得选项.
【详解】
由于，，
所以.
故选：C.
2．C

【分析】
由题意得复数z，代入即可得到答案.
【详解】
由，得，
故选：C.
3．D

【分析】
由p、q分别定义集合和，用集合法求解.
【详解】
由选项可判断出m≥0.
由q：“”可得.
由p：“”可得.
由于p是q的必要不充分条件，所以ÜA.
若m=0时，，ÜA不满足，舍去；
若m>0时，.
要使ÜA，只需m>1.
综上所述：实数m的取值范围是.
故选：D
4．A

【分析】
根据指数函数的单调性和对数函数的单调性可得大小关系.
【详解】
由于，所以，
而，故即，故，
故，所以，
故选：A.
5．D

【分析】
根据等差数列的前项和公式，等差数列的通项公式即得.
【详解】
设等差数列的公差为，
由，可得，
即，
因此.
故选：D.
6．A

【分析】
利用平均数和方差公式，即可计算.
【详解】
∵一组5个数据，，，，的和为25，方差为6，
∴这5个数据，，，，的平均数为，
，，
∴，，，，，5这6个数的平均数为，
∴，，，，，5这6个数的方差为.
故选：A.
7．B

【分析】
确定函数的奇偶性排除两个选项，然后由导数确定函数的单调性得正确结论．
【详解】
，所以是奇函数，排除CD，
又，所以是增函数，排除A，选B．
故选：B．
8．C

【分析】
利用向量的线性运算可求的值.
【详解】
，而，
故，
而且不共线，故，
故选：C.
9．B

【分析】
利用三角函数的性质可得，进而可得，即得.
【详解】
∵的值为，
∴，又，
∴，
∴，又x＝m是的一条对称轴，
∴，即，
∴的最小值为.
故选：B.
10．D

【分析】
由三视图画出几何体可得答案.
【详解】
由三视图可得原几何体为三棱锥，

把三棱锥放在上面正方体中，做底面，
则，

所以，，
，
则该几何体的最长棱长为.
故选：D.
11．D

【分析】
由直线与双曲线方程联立方程组，消元后利用判别式为0得关系，然后再由代入后可解得．
【详解】
由得，
所以，
即，又，
所以，，或（舍去），
故选：D．
12．B

【分析】
把题意转化为关于x的方程有3个根.进行分类讨论：分别研讨和的根的情况，求出k的取值范围.
【详解】
由于函数与函数的图象恰有3个交点，所以有3个根.
证：x=1为其中一个根.
当时，可化为，及
i.或时，方程有且仅有一个根x=-1；
ii. 且时，方程有两个根，或x=-1.
当时，可化为.
令，（x>0）.则.
当时，有，所以在上单减.
由于，所以有且只要1个根x=1.所以需求有两个根或x=-1， 才有3个根，此时且.
当时，有且仅有一个根x=-1，所以只需在有2个根.此时.
在上，，单减；在上，，单增.
且当时，；当时，；
所以只需，即，亦即.
记.
则，所以当时，，所以在上单调递减，所以当时，，在上单调递增.所以，即（当且仅当x=1时取等号）.
所以要使成立，只需，解得.所以且.
综上所述：实数k的取值范围是.
故选：B

利用导数研讨零点成绩：
（1）确定零点的个数成绩：可利用数形的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解成绩就是判断能否存在零点的成绩，可参变分离，转化为求函数的值域成绩处理.可以经过构造函数g（x）的方法，把成绩转化为研讨构造的函数g（x）的零点成绩；
（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思绪：①利用最值或极值研讨；②利用数形思想研讨；③构造辅助函数硏究，
13．

【分析】
作出约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义数形即可得解；
【详解】
解：约束条件所表示的可行域，如图所示：
由，解得，即，
由，则，平移直线，显然当直线过点时，在轴的截距，
所以

故
14．##0.75

【分析】
由可得答案.
【详解】
，
由于，
所以，
故答案为.
15．

【分析】
设四棱锥的内切球的半径为，由题可得，进而即得.
【详解】
设底面的为，连接，则，
设四棱锥的内切球的半径为，连接，得到四个三棱锥和一个四棱锥，它们的高均为，

∴，
即，
解得，
∴该四棱锥的内切球的表面积为.
故答案为.
16．0

【分析】
根据给定条件，求出圆心M的坐标，设出直线l的方程，与抛物线方程联立求解作答.
【详解】
因⊙M与抛物线C有且仅有两个公共点，而⊙M与抛物线C都关于x轴对称，因此，两个公共点的横坐标相反，并且，
由消去y并整理得：，且，
于是得，解得，
即点，显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为，
由消去x并整理得：，设，则，
所以.
故0
17．(1)
(2)

【分析】
（1）由题设可得，从而可求.
（2）根据角平分线性质可得，利用余弦定理可得的关系，两者可求的长度，从而可求三角形的面积.
(1)
由于，故，
所以即，
而为三角形内角，故.
(2)
由于，所以，

由于为角平分线，故且即，
由余弦定理可得，
且
所以，解得，
故，
所以三角形的面积为.
18．(1)30
(2)分布列见解析，

【分析】
（1）根据直方图可得相应的频率，从而可求相应的人数.
（2）根据（1）的频率可求10人数学成绩的人数，再根据超几何分布可求的分布列，根据公式可求期望.
(1)
由直方图可得数学成绩大于120的频率为，
故数学成绩大于120的人数为人.
(2)
利用分层抽样的方法随机抽取10人的试卷，其中共有6人数学成绩达到，
而可取，
，，
，，
故的分布列如下：

0
1
2
3






.
19．(1)证明见解析
(2)

【分析】
（1）首先由勾股定理逆定理得到，再由面面垂直的性质得到平面，从而得到，再根据，即可得到平面，从而得证；
（2）取的中点，连接，即可得到平面，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解．
(1)
证明：在矩形中，由为中点，易得，又．
，即，
，
又平面平面．平面平面，平面．
平面
又面，，又，，平面，
所以平面，由于平面
平面平面；
(2)
解：取的中点，连接，则，
又平面平面，平面平面，
平面，
平面．
如图以为原点建立空间直角坐标系．
则，， ，，
，，，．
设平面的法向量为，
，令，则．
设平面的法向量为，
，令，则．
设平面与平面所成的角为．
则，所以
二面角的正弦值为．

20．(1)
(2)证明见解析

【分析】
（1）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，，，的关系，解方程可得，，，进而得到椭圆方程；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时设，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由整理可得，即可求出直线过定点坐标；
(1)
解：由题意可得，，即，又
，解得，，，
则椭圆的方程为；
(2)
证明：由（1）可得，
①当直线的斜率存在时，设，，，
由，所以，
又，代入整理得，
由消去整理得，
所以，，
所以，
整理得，
当时，直线过，不符合题意，
所以，即，
故直线的方程为，符合题意，
故恒过点；
②当直线的斜率不存在时，设，，由，解得，
即直线的方程为，必过定点，
综上可得，直线恒过定点；
21．(1)0；
(2)证明见解析.

【分析】
（1）利用导数求出函数的单调区间，即可得出函数的极值，也是函数的最小值；
（2）构造函数，利用导数可证明，据此可得出，再由不等式的性质可证明再利用即可得证.
(1)
, 令，解得，
由为增函数知，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，
所以的最小值为.
(2)
令，则，由时，，时，，
可知在上递减，在上递增，所以当时，取最小值.
故，即对.
故，故
而对，，
故原式得证.
22．(1)，；
(2).

【分析】
（1）根据极坐标与直角坐标转化公式即可求出直线极坐标方程，由极坐标与直角坐标转化公式可得圆的直角坐标方程，再转化为参数方程即可；
（2）求出圆心到直线的距离，再由半径、半弦长、弦心距间的关系列出方程求解即可.
(1)
将代入
得：
即直线l的极坐标方程为.
由圆C的极坐标方程为可得：

故圆C的参数方程为.
(2)
点 到直线l：的距离，
则.
23．(1)详见解析；
(2).

【分析】
（1）根据值函数分区间去值后变成分段函数，然后作图；
（2）由题可得，然后利用数形可得参数取值范围.
(1)
由题意得：
，
，
画出和的图象如图所示.


(2)
∵，
由，可得或，
由，可得，
要使恒成立，则，
解得，
所以实数a的取值范围为.










【高考数学】2022-2023学年黑龙江省大庆市专项突破仿真
模拟试题（二模）

第I卷（选一选）高考高考
高考高考高考
评卷人高考
得分高考高考

高考高考高考高考
高考高考高考
一、单 选 题高考
1．已知集合，则的元素个数为（       ）高考
A．3 B．4 C．5 D．6高考高考高考
2．已知复数，则的虚部是（       ）高考高考高考高考
A． B． C．1 D．i高考
3．在空间中，已知命题的三个顶点到平面的距离相等且不为零，命题：平面平面，则是的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件高考高考高考
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件高考
4．已知数列{an}是首项为，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满足，则S9=（　　）高考
A．35 B．40 C．45 D．50高考
5．在流行病学中，基本传染数是指每名者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个者平均会1个以上的人，从而导致这种疾病的人数呈指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.接种新冠疫苗是预防新冠､降低发病率和重症率的有效手段.已知新冠的基本传染数，若1个者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个者新的传染人数为，为了有效新冠疫情（使1个者传染人数不超过1），我国疫苗的接种率至少为（       ）高考高考
A． B． C． D．高考高考
6．已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（       ）高考高考
A． B． C． D．3高考高考
7．设，若，，，则（       ）高考
A． B． C． D．高考高考高考
8．已知函数，若，则实数的值为（       ）高考
A． B． C．1 D．2高考高考
9．西安中学抗疫志愿者小分队中有3名男同学，2名女同学，现随机选派2名同学前往社区参加志愿服务，在已知抽取的1名志愿者是女同学的情况下，2名都是女同学的概率是（       ）高考高考高考
A． B． C． D．高考高考
10．已知的展开式中所有项的系数之和为，则该展开式中项的系数是（       ）高考
A． B． C． D．高考
11．关于函数f（x）＝|cosx|+cos|2x|有下列四个结论：高考高考
①f（x）的值域为[﹣1，2]；高考
②f（x）在上单调递减；高考高考高考
③f（x）的图象关于直线x＝对称；
④f（x）的最小正周期为π.高考高考
上述结论中，不正确命题的个数有（       ）高考高考
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个高考高考高考
12．已知函数在处的切线方程为，不等式恒成立，则的值为（       ）高考高考高考
A．1 B． C．2 D．e高考高考高考高考
第II卷（非选一选）高考高考
高考高考
评卷人高考
得分高考
高考高考
高考高考
高考
二、填 空 题高考高考
13．抛物线的准线方程是____________________．
14．已知函数为上的奇函数，则实数______________________．高考
15．已知实数满足约束条件，则的值为_____________________．高考高考
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C相交于A，B两点，且点A在x轴上方，若，，则双曲线C的离心率的取值范围是______．高考高考高考高考高考
评卷人高考高考
得分高考高考
高考
高考高考高考

三、解 答 题高考高考
17．在中，.高考高考
(1)求的大小；高考
(2)若，证明.高考
18．随着2022年北京的成功举办，吉祥物“冰墩墩”成为现象级“顶流”，憨态可掬的大熊猫套着冰晶外壳，“萌”万千网友.奥林匹克官方旗舰店“冰墩墩”一再，各冬奥官方特许商店外排起长队，“一墩难求”，成了冬奥赛场外的另一场冰雪浪漫和全民狂欢.某商家将6款基础款的冰墩墩，随机选取3个放在一起组成一个盲盒进行售卖.该店2021年1月到11月盲盒的月量如下表所示：高考
月份数
1高考高考高考
2高考
3高考高考
4高考
5高考高考
6高考高考
7高考高考
8高考高考高考
9高考高考高考
10高考高考
11高考高考
月量万个高考高考高考
高考高考高考高考
高考
高考高考
高考高考

高考高考
11高考高考高考高考
高考高考高考
15高考高考
高考高考
17高考高考
高考高考
(1)求出月量（万个）与月份数的回归方程，并预测12月份的销量；高考高考
(2)小明同学想通过购买盲盒集齐6款基础款冰墩墩，为此他购买了2个盲盒，设为这2个盲盒中不同款冰墩墩的个数，求的分布列以及期望.高考高考
参考公式及数据：回归直线的方程是，则.高考
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱PB中点.高考高考
高考
（1）求证：平面PCD；高考高考
（2）设点N是线段CD上一动点，且DN＝λDC，当直线MN与平面PAB所成的角时，求λ的值.高考高考高考
20．椭圆的左顶点为，离心率为．高考高考
(1)求椭圆的方程；高考高考
(2)已知点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程.高考高考
21．已知函数.高考高考
（Ⅰ）当时，求在上的最值；高考高考高考
（Ⅱ）若对一切，不等式恒成立，求实数a的取值范围.高考
22．如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的心型曲线的极坐标方程为为曲线上一动点，曲线的参数方程为为参数，.高考
高考高考
(1)若与交于三点，证明：为定值；高考高考
(2)射线逆时针旋转后与交于点，求的值.高考高考高考
23．已知函数．高考高考高考
（1）当时，求不等式的解集;高考高考
（2）若，求a的取值范围．高考
高考高考高考
答案：高考高考高考高考
1．A高考高考

【分析】高考
解对数不等式求集合B，再应用集合的交运算写出的元素，即知元素的个数.高考高考
【详解】高考
由题设，高考高考
所以，共有3个元素.高考
故选：A高考
2．C高考高考
高考高考
求出，即可得出，求出虚部.高考高考高考
【详解】高考高考高考高考
，，其虚部是1.高考高考
故选：C.高考
3．B高考
高考高考高考
【分析】高考
由线面平行的性质平面与平面的位置关系判断即可.高考高考
【详解】高考
当平面平面时，的三个顶点到平面的距离相等且不为零；高考
当的三个顶点到平面的距离相等且不为零时，平面可能与平交，例如当平面且的中点在平面内时，的三个顶点到平面的距离相等且不为零，但平面与平交.高考
即是的必要不充分条件高考高考高考
故选：B高考
4．C高考高考
高考高考
【分析】
根据等差数列的通项公式基本量计算出，进而利用等差数列求和公式及等差中项计算出结果.高考
【详解】高考高考高考高考高考
，则，即，即，所以.高考
故选：C高考高考
5．A高考高考
高考
【分析】高考高考
根据已知条件建立不等式关系，然后将代入化简即可求出的范围高考高考高考
【详解】高考高考高考
为了使1个者传染人数不超过1，高考高考
只需，即，高考高考高考
所以，高考高考
由题意得，所以，高考高考高考
，得，高考高考
所以疫苗的接种率至少为，高考高考
故选：A高考高考高考
6．A
高考高考高考
【分析】高考
根据向量数量积的定义及运算性质即得．高考
【详解】高考高考高考
∵，，且与的夹角为，高考高考
∴，高考高考
∴，高考
∴．高考高考高考高考高考
故选：A.高考高考高考
7．C高考高考
高考高考高考
【分析】高考
利用对数函数的性质即得.高考高考
【详解】高考高考
∵，高考高考高考
∴，，，高考高考
∴.高考
故选：C.高考
8．C高考高考高考
高考
【分析】高考高考
由题可得或，即求.高考高考高考
【详解】高考高考高考
∵函数，，高考高考
∴或，高考高考
解得.高考
故选：C.高考
9．C高考高考高考
高考高考高考
【分析】高考高考
利用条件概率求解.高考高考高考
【详解】高考高考
解：从3名男同学和2名女同学，随机选派2名共有种方法，高考高考高考高考
含有1名志愿者是女同学有种方法，高考高考
所以含有1名志愿者是女同学的概率是，高考高考高考
2名志愿者都是女同学有种方法，高考高考高考
所以2名志愿者都是女同学的概率是，高考
所以在抽取的1名志愿者是女同学的情况下，2名都是女同学的概率是，高考
故选：C高考高考
10．B高考高考高考

【分析】高考
分析可知，求出的值，写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.高考
【详解】高考高考
的展开式中所有项的系数之和中考模拟，解得.高考高考
的展开式通项为，高考高考高考
令，解得，高考高考
因此，展开式中项的系数为.高考高考
故选：B.高考高考高考高考
11．A高考
高考高考高考
【分析】高考
化简可得，令，的性质依次讨论即可.高考高考
【详解】高考
，高考高考高考高考
令，则，高考高考
在单调递增，，高考高考
所以的值域为，故①正确；高考高考高考
当，单调递减，令，则，在单调递增，在上单调递减，故②正确；高考高考高考
，，即，高考高考
的图象不关于直线对称，故③错误；高考高考
，且的最小正周期为，的最小正周期为，故④正确.高考高考
故不正确的命题有1个.
故选：A.高考
高考高考高考高考
关键点睛：解决本题的关键是将函数化简为.高考高考
12．A高考
高考高考
【分析】高考
根据函数在处的切线方程为，导数的几何意义求得，不等式恒成立，即，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案.高考高考
【详解】高考
解：，高考
因为函数在处的切线方程为，
所以，解得，高考
所以，高考
则，高考
令，高考
则，高考高考高考
所以函数在上递增，高考高考高考高考
又，高考高考高考高考高考
则存在，使得，高考
即存在，使得，
则，故，高考高考
当时，，当时，，高考高考高考
所以函数在上递减，在上递增，高考高考高考高考
所以，高考
又因为不等式恒成立，高考
所以，高考高考高考
所以的值为1.高考高考高考
故选：A.高考高考
13．高考高考
高考高考高考
【分析】高考高考
先将抛物线方程化为标准方程，然后可求出，从而可求出准线方程高考高考
【详解】高考高考高考高考高考
抛物线的标准方程为，高考高考
所以，得，高考高考
所以抛物线的准线方程为，高考高考高考
故高考高考高考高考
14．1高考
高考
【分析】高考高考
利用奇函数的性质有，列方程求参数a即可.高考高考高考
【详解】高考高考高考高考
由题设，高考高考
所以，可得.高考
故1高考
15．1高考高考
高考高考高考
【分析】高考高考
画出可行域，根据目标式的几何意义判断时对应直线所过的点，即可求值.高考高考
【详解】高考
由约束条件可得如下可行域，
高考高考
要使目标式，即其所在直线在y轴上的截距，高考
由图知：当过与的交点时，高考高考
所以.
故高考高考
16．高考高考

【分析】
根据双曲线以及直线的对称性可得四边形是矩形，然后根据焦点三角形的边的关系列出不等关系进行求解.高考高考高考高考
【详解】高考高考高考
因为且互相平分，所以四边形是矩形.高考高考
在直角三角形中，，所以，故高考
当时，，当则高考
由双曲线定义知，又因为,可得，解得或(舍去)高考高考
故答案为:高考高考高考

17．(1)；高考高考高考
(2)证明见解析.高考高考高考
高考
【分析】高考
(1)利用降幂公式化简已知条件，求出ta即可求出B；高考高考高考高考
(2)余弦定理和已知条件即可证明．高考高考
(1)高考高考
在中，∵，高考高考
∴，高考高考高考高考
∴，高考
∴，高考高考高考高考
∵，高考高考
∴；高考
(2)
∵，∴．高考高考
由余弦定理得①，高考
∵，∴②，高考高考高考高考高考
将②代入①，得，高考高考高考
整理得，∴．高考
18．(1)，预计12月份的销量为万个；高考高考
(2)分布列见解析，高考高考
高考高考高考
【分析】高考高考高考高考
（1）首先求出，，根据参考数据和回归方程的系数公式，算出，即可得回归直线方程，再将代入回归直线方程即可预测12月份的销量；高考高考
（2）的可能取值为、、、，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．高考高考高考
(1)高考
解：依题意，，所以，所以，所以月量（万个）与月份数的回归方程为，当时，预计12月份的销量为万个；高考
(2)高考高考
解：依题意的可能取值为、、、，则，，，，高考
所以的分布列为：高考
高考高考
高考
高考高考
高考
高考高考高考

高考高考
高考高考
高考高考高考
高考高考
高考高考高考高考
所以高考高考
19．（1）证明见解析；（2）高考高考
高考高考高考高考
【分析】高考
（1）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据可得；高考
（2）表示出，求得平面的一个法向量，由即可求得值.高考高考高考高考
【详解】高考高考
（1） PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，则可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，高考高考
则，高考高考高考
，高考
设平面的法向量为，高考
则，即，令，则，即，高考高考
，，且平面PCD ，平面PCD；高考高考
（2）可得，高考高考
，高考高考
，高考高考
易得平面的一个法向量，高考高考
设直线MN与平面PAB所成的角为，高考高考高考
则，高考高考高考高考
则当时，即时，，高考高考高考
所以当直线MN与平面PAB所成的角时.高考高考
高考
高考高考高考
思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.高考
20．(1)；高考高考
(2)或高考

【分析】高考高考高考
（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可；高考高考高考高考
（2）设，由表示出直线的斜率，进而写出直线的方程，联立椭圆求出弦长，由求出，即可求得直线的方程.高考高考
(1)高考高考
由题意知：，则，故椭圆的方程为；高考高考高考
(2)高考高考高考
高考
设，又，故，又直线点，故的方程为，高考高考高考
联立椭圆方程可得，显然，，高考高考
则，高考高考
又，由，可得，高考
解得或，
故直线的方程为或.高考高考高考
21．（Ⅰ）值1，最小值；（Ⅱ）.高考高考
高考高考
【分析】高考
（Ⅰ）当时， 求得函数的导数，得到函数的单调性和最值，即可求解；高考高考
（Ⅱ）由不等式的恒成立转化为求解函数的的最值，导数对分类讨论求，函数的单调性和性质，即可求解.高考高考高考
【详解】高考高考
（Ⅰ）由函数，则，高考高考
当时， 可得高考高考高考
令，即，解得；高考高考
令，即，解得；高考高考高考
所以在递增，在递减，所以，高考高考高考
又，所以，高考高考
所以在上的值为1，最小值为.高考高考高考
（Ⅱ）由函数，则，解得，
又由，高考
因为，则，可得，高考高考高考高考
所以，
（i）当时，，所以在递增，高考
所以恒成立；高考高考高考
（ii）当时，高考
当时，单调递增；当时，单调递减，高考高考高考高考
所以，，，高考高考高考
所以，使得，高考高考高考
所以当时，；当是，，高考
所以在单调递减，在单调递增，高考
又因为，高考高考
所以，所以，即实数的取值范围是.高考

本题主要考查导数在函数中的综合应用，恒成立问题的求解，以及三角函数的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．高考高考高考
22．(1)2高考高考
(2)高考高考
高考高考
【分析】高考高考高考高考
（1）写出的极坐标方程，代入即可证明；高考高考
（2）设出的极坐标方程，代入，再利用辅助角公式即可高考高考
(1)高考高考
曲线的极坐标方程为和.高考高考高考高考
设.高考高考高考
.高考高考高考
(2)高考高考
设,则.高考高考高考高考
高考高考高考
高考
当,即,等号成立.高考
所以的值为.
23．（1）.（2）.高考高考高考
高考高考
【分析】高考
（1）利用值的几何意义求得不等式的解集.高考
（2）利用值不等式化简，由此求得的取值范围.高考
【详解】高考高考高考
（1）[方法一]：值的几何意义法高考高考
当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，高考高考
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，高考
当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，高考高考
∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，高考
所以的解集为.高考高考高考高考
高考高考高考
[方法二]【最优解】：零点分段求解法高考高考
   当时，．高考高考高考
当时，，解得；高考高考高考
当时，，无解；高考高考高考
当时，，解得．高考高考高考
综上，的解集为．高考
（2）[方法一]：值不等式的性质法求最小值高考高考高考高考高考
依题意，即恒成立，高考高考
，高考高考高考
当且仅当时取等号，高考
,高考高考
故，高考
所以或，高考高考
解得.高考高考高考高考
所以的取值范围是.高考高考高考
[方法二]【最优解】：值的几何意义法求最小值高考
由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.高考高考
[方法三]：分类讨论+分段函数法高考高考高考
当时，高考高考高考
高考高考
则，此时，无解．高考
当时，

则，此时，由得，．高考高考
综上，a的取值范围为．高考高考
[方法四]：函数图象法解不等式     高考高考
由方法一求得后，构造两个函数和，高考高考
即和，高考高考
如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，高考高考高考
由图易知，则．高考高考
高考高考
【整体点评】高考高考高考
（1）解值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．高考高考
方法一采用几何意义方法，适用于值部分的系数为1的情况，高考高考
方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；
（2）方法一，利用值不等式的性质求得，利用不等式恒成立的意义得到关于的不等式，然后利用值的意义转化求解；高考高考
方法二与方法一不同的是利用值的几何意义求得的最小值，最有简洁，为最优解法高考
方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求最小值，要注意函数中的各值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；高考
方法四与方法一的不同在于得到函数的最小值后，构造关于的函数，利用数形思想求解关于的不等式.高考高考高考
高考高考