广东省广州市华南师范大学附属中学2022_2023学年八年级上学期期末考试数学试卷

广东省广州市华南师范大学附属中学2022~2023学年八年级上学期期末考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．下列计算正确的是(   )

A． B． C． D．

3．下列因式分解结果正确的是（　　）

A．x2+3x+2=x（x+3）+2 B．4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）

C．a2﹣2a+1=（a+1）2 D．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）

4．已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（    ）

A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2

C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2

5．纳米（nm）是非常小的长度单位，1纳米＝10﹣9米．中国首款云端智能芯片采用了16纳米工艺技术，用科学记数法可将16纳米表示为（　　）

A．16×10﹣9米 B．1.6×10﹣8米

C．1.6×10﹣9米 D．1.6×10﹣10米

6．下列说法正确的是（　　）

A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2

B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0

C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2）

D．点C（﹣3，2）在第一象限内

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝16°，则∠A的度数为（　　）

A．28° B．30° C．32° D．32.5°

8．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式（    ）

A． B．

C． D．

9．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题意列方程为

A． B．

C． D．

10．如图，点D是∠FAB内的定点且AD=2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

二、填空题

11．如果分式有意义，那么x的取值范围是_____．

12．已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是___________边形．

13．等腰三角形的一个角等于，这个等腰三角形的顶角的度数是______．

14．若，则_____．

15．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=10,AC=4,则AD的取值范围是_____.

16．计算的结果是________．

三、解答题

17．计算：

(1)；

(2)．

18．分解因式：

(1)

(2)．

19．解方程：．

20．如图，△ABC（∠B＞∠A）．

（1）在边AC上用尺规作图作出点D，使∠CDB=2∠A（保留作图痕迹）；

（2）在（1）的情况下，连接BD，若CB=CD，∠A=35°，求∠C的度数．

21．如图，是斜边上的一点，连接，将沿翻折得，恰有．

(1)若，求的度数；

(2)试判断的形状，并说明理由．

22．先化筒，再求值：从中选出合适的x的整数值，代入求值．

23．亮亮这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，亮亮发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值不变，于是他把这样的式子命名为等交换对称式．

他还发现像，等等交换对称式都可以用，表示．例如：，．于是，亮亮把和称为基本等交换对称式．

请根据以上材料解决下列问题：

(1)代数式①，②，③，④中．属于等交换对称式的是______（填序号）；

(2)已知．

①若，，求的值；

②若，求的最小值．

24．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1，在中，平分，．求证：

小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：

方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题

方法二：如图3，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题

（1）根据阅读材料，任选一种方法证明

（2）根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题：如图4，四边形中，是上一点，，，，探究、、之间的数量关系，并证明

参考答案：

1．B

【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．

【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：

A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项正确．

故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．C

【分析】根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘，合并同类项，分别判断即可得到答案.

【详解】解：A、与不是同类项，不可以合并，故A错误；

B、，故B错误；

C、，故C正确；

D、，故D错误；

故选择：C.

【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘，合并同类项，解题的关键是熟记运算法则.

3．D

【分析】根据因式分解的方法进行计算即可判断．

【详解】A．因为x2+3x+2=（x+1）（x+2），故A错误；

B．因为4x2﹣9=（2x+3）（2x﹣3），故B错误；

C．因为a2﹣2a+1=（a﹣1）2，故C错误；

D．因为x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），故D正确．

故选：D．

【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法、公式法，解决本题的关键是掌握因式分解的方法．

4．D

【分析】利用同角的余角相等求出∠A＝∠2，再利用“角角边”证明△ABC和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等、对应角相等，即可解答．

【详解】∵∠B＝∠E＝90°，

∴∠A+∠1＝90°，∠D+∠2＝90°，

∵AC⊥CD，

∴∠1+∠2＝90°，故D错误；

∴∠A＝∠2，故B正确；

∴∠A+∠D＝90°，故A正确；

在△ABC和△CED中，

 ，

∴△ABC≌△CED（AAS），

故C正确；

故选：D．

【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件∠A=∠2．

5．B

【分析】由科学记数法的定义表示即可．

【详解】∵1纳米＝10﹣9米，

∴16纳米＝16×10﹣9米＝1.6×10﹣8米．

故选：B．

【点睛】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

6．C

【分析】分别根据坐标系中点的坐标到坐标轴的距离；在x轴上的点的纵坐标为零；关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；各个象限上的点的坐标符号逐一判断即可．

【详解】解：A．已知点M（2，-5），则点M到x轴的距离是|-5|=5，故本选项不合题意；

B．若点A（a-1，0）在x轴上，则a可以是全体实数，故本选项不合题意；

C．点A（-1，2）关于x轴对称的点坐标为（-1，-2），故本选项符合题意；

D．C（-3，2）在第二象限内，故本选项不合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及点的坐标，掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键．

7．C

【分析】由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，再由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质可得∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠ECD，则可得到∠A=2∠D=32°．

【详解】解：∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，

∴，，

∵∠A+∠ABC=∠ACE，∠D+∠DBC=∠ECD，

∴，

∴∠A=2∠D=32°，

故选C．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义．

8．D

【分析】易求出图中拼接前阴影部分的面积＝a2−b2，阴影部分进行拼接后，长为a＋b，宽为a−b，面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．

【详解】图（1）中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2−b2；

图（2）中阴影部分为矩形，其长为a＋b，宽为a−b，则其面积为，

∵前后两个图形中阴影部分的面积，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．

9．A

【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量=所用A型包装箱的数量-12，由此可得到所求的方程．

【详解】解：根据题意，得：，

故选：A．

【点睛】此题考查分式方程的问题，关键是根据公式：包装箱的个数与文具的总个数÷每个包装箱装的文具个数是等量关系解答．

10．A

【分析】作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，利用轴对称的性质得AG=AD=AH=2，利用两点之间线段最短判断此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2，可得△AGH是等边三角形，进而可得∠FAB的度数．

【详解】解：如图，作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，连接DC′，DE′，

此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2，

根据轴对称的性质，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB，

∴AG=AH=GH=2，

∴△AGH是等边三角形，

∴∠GAH=60°，

∴∠FAB=∠GAH=30°，

故选：A．

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．

11．x≠3

【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．

【详解】解：由题意得，x﹣3≠0，

解得x≠3．

故答案为x≠3．

【点睛】考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

12．八

【分析】根据多边形内角和的公式求解即可．

【详解】解：设这个多边形为边形，由题意可得：

解得

故答案为：八

【点睛】此题考查了多边形内角和，解题的关键是掌握多边形内角和的公式．

13．或

【分析】根据等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和即可进行解答．

【详解】解：①可为顶角，此时顶角度数是，

②当底角为时，顶角度数是：，

故答案为：或．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和，解题时注意进行分类讨论．

14．

【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．

【详解】解∶当时，

故答案为∶．

【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

15．3＜AD＜7

【分析】连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，利用SAS证得△BDE≌△CDA，进而得到BE=CA=4，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得AE的取值范围，进而求出AD的取值范围.

【详解】

如图，连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，

∵在△ABC中，AD是BC边上的中线

∴BD=CD

在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（SAS）

∴BE=CA=4

在△ABE中，AB+BE>AE，且AB﹣BE＜AE

∵AB=10,AC=4,

∴6＜AE＜14

∴3＜AD＜7

故答案为3＜AD＜7

【点睛】本题考点涉及三角形全等的判定及性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.

16．

【分析】先把所给式子的每一个括号内的式子利用平方差公式因式分解，分别计算后约分即可．

【详解】解：

=．

【点睛】本题考查了平方差公式的计算，掌握平方差公式是解题的关键．

17．(1)；

(2)

【分析】（1）直接根据多项式与多项式的乘法法则计算即可；

（2）根据多项式与单项式的除法法则计算．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

【点睛】此题主要考查整式的乘除运算，解题的关键是熟知整式的运算法则．

18．(1)；

(2)．

【分析】（1）提取公因式，即可求解；

（2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

19．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】解：去分母得，

解得，

经检验是分式方程的解．

【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解本题的关键．

20．（1）详见解析；（2）∠C=40°．

【分析】（1） 作AB的垂直平分线交AC于点D,则DA= DB;

（2）由（1）得∠CDB=2∠A，因为CB=CD，所以∠CBD=∠CDB，再根据三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：（1）如图，点D为所作；

（2）由（1）得∠CDB=2∠A=2×35°=70°，

∵CB=CD，

∴∠CBD=∠CDB=70°，

∴∠C=180°﹣70°﹣70°=40°．

【点睛】此题主要考查了基本作图、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.

21．(1)；

(2)是等腰三角形．理由见解析

【分析】（1）由直角三角形的性质可得出答案；

（2）由折叠的性质得出，证出，由等腰三角形的判定可得出结论．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）解：是等腰三角形．

理由：由（1）可知，

∵将沿翻折得，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴是等腰三角形．

【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．

22．，当时，原式

【分析】先根据分式的混合计算法则进行化简，再根据分式有意义的条件结合已知条件确定x的值，最后代值计算即可．

【详解】解：

，

∵，且x为整数，

∴，

∴原式．

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．

23．(1)①、④；

(2)①8；②

【分析】（1）根据基本交换对称式的定义即可判断；

（2）①利用多项式乘多项式的法则将等式的左边展开，然后根据两个多项式相等时，同类项的系数相等进行求解；

②根据n的值，得出ab的值，变形即可求出其最小值．

【详解】（1）①中x，y交换位置后代数式的值不变，所以是等交换对称式；

②a−b中，a，b交换位置后代数式的值改变，所以a−b不是等交换对称式；

③中m，n交换位置后代数式的值改变，所以不是等交换对称式；

④xy+yz+zx中x与y，y与z，z与x交换位置后代数式的值不变，所以xy+yz+zx是等交换对称式；

综上分析可知，①、④是等交换对称式；

故答案为：①、④；

（2）∵，

即，

∴，，

①∵，，

∴，，

∴，

②∵，

∴，

∴，

∵，

∴的最小值为．

【点睛】本题考查了新定义，多项式乘多项式，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

24．（1）证明见解析；（2），证明见解析

【分析】（1）方法一，在上截取，使得，连接，用SAS定理证明，然后得到，，从而得到，然后利用等角对等边求证，使问题得解；

方法二，延长到点，使得，连接，利用三角形外角的性质得到∠ABC=2∠E，从而得到∠E=∠C，利用AAS定理证明△AED≌△ACD，从而求解；

（2）在上截取，使得，连接，利用三角形外角的性质求得，从而得到，利用SAS定理证明，然后利用全等三角形的性质求解．

【详解】解：（1）方法一：如图2，在上截取，使得，连接，

∵平分，

∴

又∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

∴

∴

方法二：如图3，延长到点，使得，连接，

∵平分，

∴

∵

∴∠ABC=2∠E

又∵

∴∠E=∠C

∵AD=AD

∴△AED≌△ACD

∴AC=AE=AB+BE=AB+BD

（2）在上截取，使得，连接

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴,

∵

∴

∴

∴

∴．

【点睛】本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．