重庆市南开中学校2022-2023学年七年级上学期期末数学试题

这是一份重庆市南开中学校2022-2023学年七年级上学期期末数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

重庆市南开中学校2022-2023学年七年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．与−2互为倒数的是（    ）
A．2 B．−2 C．12 D．−12
2．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（   ）

A． B． C． D．
3．若一个角的补角比它的余角的2倍大30°，则这个角的度数是（    ）
A．30° B．60° C．90° D．75°
4．下列计算正确的是（    ）
A．x2y+2xy2=2x2y2 B．−3ab−3ba=−6ab
C．2a+3b=5ab D．−a3+a2=a5
5．下列说法正确的是(   )
A．过一点P只能作一条直线 B．直线AB和直线BA表示同一条直线
C．射线AB和射线BA表示同一条射线 D．射线a比直线b短
6．已知x=2是一元一次方程−ax+2=0的根，则a的值为（    ）
A．−1 B．1 C．2 D．−2
7．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为(   )

A．85° B．75° C．65° D．55°
8．已知线段AB=6cm，C为AB的中点，D是AB上一点，CD=2cm，则线段BD的长为(      )
A．1cm B．5cm C．1 cm或5cm D．4cm
9．边长为1的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2023时停止运动，此时与2023重合的点是（    ）

A．点A B．点B C．点C D．点O

二、多选题
10．（多选）如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（    ）

A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠A=∠CDE D．∠C+∠ABC=180°
11．（多选）已知关于x的方程3−kx2=3+k的解为非负整数且满足x<3，则符合条件的所有k值为（    ）
A．k=−32 B．k=−1 C．k=−34 D．k=−98

三、填空题
12．重庆八中为了增加学生的阅读量，拓展学生的视野，截止到2021年底图书馆藏书和电子图书共计达390000多册，其中数字390000用科学记数法表示为______．
13．已知关于x，y的单项式−xmy与2x2yn+2的和仍是单项式，则mn=______．
14．如图，直线AB、EF相交于点O，CD⊥AB于点O，∠EOD=128°，则∠BOF的度数为_________.

15．如图是一个数值转换机，若输入a的值为−1，则输出的结果应为 ________．

16．某商场进行促销活动,某商品的优惠措施是“第二件商品半价”,现购买2件该商品,相当于这2件商品打了_________折
17．已知∠AOB=30°，∠BOC=80°，那么∠AOC=___________．
18．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=2a−b2，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3=21−32=−14，则方程x⊗(−1)=6x−1−1的解是______．
19．如图，图中正方形ABCD的边长为8，则图中阴影部分的面积为______．

20．在2024个“□”中依次填入一列数字m1，m2，m3，…，m2024，使得其中任意四个相邻的“□”中所填的数字之和都等于11．已知m3=2，m6=−7，则m1+m2024的值为______．


2


−7


…



21．某商家主营的A，B，C三种商品在11月份的销售单价之比为4:3:5，其销售数量之比为3:2:2．随着市场形势的变化，12月份时，A商品增加的销售额占12月份A，B，C三种商品销售总额的211，同时B，C两种商品增加的销售额之比为3:1．如果B，C两种商品12月份销售额相等，那么该商家主营的这三种商品11月份与12月份的销售总额之比为______．

四、解答题
22．计算及化简
(1)−24×34−56+712−12；
(2)−32÷13−−12022；
(3)5mn−2m+34m−2mn；
(4)2a+3b−136a−12b．
23．解方程：
(1)x−x−24=5x−76−1；
(2)0.3x+0.20.2−0.1x+0.040.03=1．
24．完成下面的证明：
已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．求证：∠EGF=90°．

证明：∵HG∥AB（已知）
∴∠1=∠3（ ① ）
又∵HG∥CD（已知），
∴∠2=∠4
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+ ② =180°（ ③ ）
又∵FG平分∠BEF（已知），∴∠1=12∠BEF
又∵FG平分∠EFD，∠2=12∠EFD
∴∠1+∠2=12∠BEF+∠EFD，∴∠1+∠2=90°
∴∠3+∠4=90°（ ④ ）
即∠EGF=90°．
25．如图，在同一平面内有三个点A、B、C．

(1)连接AC，画出直线AB，射线BC；
(2)尺规作图（保留作图痕迹）：
①在线段AC上作一点D，使得CD=AB；
②在射线BC上作线段BM，使得BM=2AB．
26．已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．如图1，若∠AOC=128°，OD平分∠AOC．

(1)求∠BOD度数；
(2)请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
27．对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于其个位数字的2倍，则称这个自然数m为“向上数”．当三位自然数m为“向上数”时，交换m的百位数字和十位数字后会得到一个三位自然数n，规定Fm=m−n90，例如：当m=584时，因为8=4×2，所以584是“向上数”；此时n=854，则Fm=m−n90=584−85490=−3．
(1)写出最大的“向上数”和最小的“向上数”，并求出它们的Fm值；
(2)已知一个三位自然数t是“向上数”，t的各个数位上的数字和记为k，若Ft+k能被7整除，求所有满足条件的三位自然数t．
28．随着2023年“元旦”的日益临近，某品牌店从厂家购进了A、B两种商品．已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价低20元，购进8件A种商品与购进10件B种商品的货款相同．
(1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)若该店从厂家购进了A、B两种商品共100件，所用资金恰好为9200元．出售时，A种商品在进价的基础上加价40%进行标价；B商品按标价出售，则每件可获利30元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售出后共可获利多少元？
(3)在（2）的条件下，“元旦”期间，A商品按标价的九折出售，B商品按标价出售一部分商品后进行促销，按标价的八五折再让利3.5元出售，则A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出所获利润减少了40%，则B商品按标价售出多少件？
29．已知，AE∥BD，∠A=∠D．

(1)如图1，判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
(2)作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为线段AB上一点，连接FG，∠CFG的平分线FM交线段AG于点H．如图2，若∠ECF=120°，∠AFH=20°，∠CFG=110°，求∠E的度数；
(3)如图3，连接AC，在（2）的条件下，将射线FG绕点F以5°每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（0
参考答案：
1．D
【分析】根据倒数的定义进行判断，即可得到答案．
【详解】解：与−2互为倒数的是：1−2=−12，
故选：D
【点睛】本题考查了倒数的定义，解题的关键是掌握倒数的定义进行解题．
2．B
【分析】根据三视图的定义解题即可.
【详解】从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图.熟练掌握三视图的概念是解题的关键.
3．A
【分析】设这个角为x度．根据一个角的补角比这个角的余角的2倍还多30°，构建方程即可解决问题．
【详解】解：设这个角为x度．
则根据题意：180−x=2(90−x)+30，
解得：x=30．
所以这个角的度数是30°．
故选：A
【点睛】本题考查余角和补角的有关计算，一元一次方程的应用，掌握方程思想，能根据题意找出等量关系并列出方程是解决此题的关键．
4．B
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．
【详解】A．x2y+2xy2中的2个项不是同类项，不能合并，故错误；
B．−3ab−3ba=−6ab，正确；
C．2a+3b中的2个项不是同类项，不能合并，故错误；
D．−a3+a2中的2个项不是同类项，不能合并，故错误；
故选B．
【点睛】本题考查了同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．
5．B
【分析】过一点可以做无数条直线，根据直线的表示方法，AB和BA是表示同一条直线．而射线AB和射线BA表示不同的射线，射线与直线不能进行长短的比较．
【详解】A、过一点P可以作无数条直线；故错误．
B、直线可以用两个大写字母来表示，且直线没有方向，所以AB和BA是表示同一条直线；故正确．
C、射线AB和射线BA，顶点不同，方向相反，故射线AB和射线BA表示不同的射线；故错误．
D、射线和直线不能进行长短的比较；故错误．
故选B．
【点睛】考查了直线，射线的表示方法，要能够区分直线与射线的不同点．
6．B
【分析】把x=2代入−ax+2=0，然后解关于a的方程即可．
【详解】把x=2代入−ax+2=0，得
−2a+2=0，
解得a=1．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
7．B
【分析】先根据平行线的性质定理得∠CAE=120°，然后由已知得∠BAC=45°，再由∠BAE=∠CAE−∠BAC即可得解．
【详解】解：∵ AC∥DE，
∴∠E+∠CAE=180°，
由已知可知：∠E=60°,∠BAC=45°，
∴∠CAE=180°−∠E=180°−60°=120°，
∴∠BAE=∠CAE−∠BAC=120°−45°=75°；
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质定理与直角三角板的知识，熟练掌握平行线的性质定理是解答此题的关键．
8．C
【分析】根据题意画出图形，由于点D的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：∵线段AB=6cm，C为AB的中点，
∴AC=BC=12AB=3cm．
当点D如图1所示时，
BD=BC+CD=3+2=5cm；
当点D如图2所示时，
BD=BC−CD=3−2=1cm．
∴线段BD的长为1cm或5cm．
故选：C．

【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
9．A
【分析】由图可知规律滚动一圈，4个单位为一个循环．由2023÷4=505⋯⋯3，即可知结果．
【详解】由图可知滚动一圈，即4个单位为一个循环．
∵2023÷4=505⋯⋯3，
∴与2023点重合的是A．
故选：A．
【点睛】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．
10．ACD
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．
【详解】解：A、∵∠1和∠2是AB、CD被BD所截得到的一对内错角，∴当∠1=∠2时，可得AB∥CD，故A符合题意；
B、∵∠3和∠4是AD、BC被BD所截得到的一对内错角，∴当∠3=∠4时，可得AD∥BC，故B不符合题意；
C、∵∠A和∠CDE是AB、CD被AE所截得到的一对同位角，∴当∠A=∠CDE时，可得AB∥CD，故C符合题意；
D、∠C和∠ABC是AB、CD被BC所截得到的一对同旁内角，∴当∠C+∠ABC=180°时，可得AB∥CD，故D符合题意．
故选：ACD．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的三种判定方法是解答本题的关键．
11．ABC
【分析】先求出方程的解，再根据方程的解为非负整数且满足x<3，即可求出k的值
【详解】∵3−kx2=3+k，
解得：x=−2k+3k．
当k=0时，该等式不成立，
∴k≠0
∵关于x的方程3−kx2=3+k的解为非负整数且满足x<3，
∴x的值是0，1，2，
当x=0时，−2k+3k=0，
解得：k=−32；
当x=1时，−2k+3k=1，
解得：k=−1．
当x=2时，−2k+3k=2，
解得：k=−34．
综上所述：符合条件的所有k值为：−32，−1，−34
故选：ABC
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解决本题的关键是解为非负整数即可确定k的值．
12．3.9×105
【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n是比原整数位数少1的数．
【详解】390000=3.9×105．
故答案为：3.9×105．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．−2
【分析】根据同类项的定义可得x的指数要相等，y的指数也要相等，即可得到m，n的值，代入计算可得．
【详解】解：∵单项式−xmy与2x2yn+2的和仍是单项式，
∴单项式−xmy与2x2yn+2是同类项，
则m=2，n+2=1，即m=2，n=−1，
∴mn=−2，
故答案为：−2
【点睛】此题主要考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，关键是把握两点：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可．
14．38°
【分析】由平角的定义知∠EOD+∠EOC=180°，从而可求得∠EOC的度数，根据对顶角相等得∠DOF=∠EOC=52°，然后由垂线的定义可知∠DOB=90°，从而求得∠BOF的度数．
【详解】∵∠EOD+∠EOC=180°，
∴∠EOC=180°-128°=52°，
∴∠DOF=∠EOC=52°，
∵CD⊥AB，
∴∠DOB=90°，
∴∠BOF=90°-52°=38°，
故答案为：38°．
【点睛】本题主要考查的是邻补角的性质、对顶角的性质和垂线的定义，求得∠DOF的度数是解题的关键．
15．7
【分析】根据所给数值转换机列式计算即可．
【详解】解：依题意得，−12−2×−3+4=1−2×−3+4=3+4=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．
16．7.5
【分析】设若购买2件该商品，则相当于这2件商品共打了x折，一件商品的价格为a元，根据现价=原价×折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设若购买2件该商品，则相当于这2件商品共打了x折，一件商品的价格为a元，
根据题意得：  a+0.5a=2a×x10 
解得：x=7.5．
故答案为7.5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．50°或110°
【分析】本题是角的计算的多解问题，求解时要注意分情况讨论，可以根据OA在∠BOC的位置关系分为OA在∠BOC的内部和外部两种情况求解．
【详解】解：

①如图1，当OA在∠BOC内部，
∵∠AOB=30°，∠BOC=80°，
∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=50°；
②如图2，当OA在∠BOC外部，
∵∠AOB=30°，∠BOC=80°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=110°；
综上所述，∠AOC为50°或110°．
故答案为：50°或110°．
【点睛】本题考查了角的计算，本题只是说出了两个角的度数，而没有指出OC与∠AOB的位置关系，因此本题解题的关键是根据题意准确画出图形．
18．x=5
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：2x−1=6x−1−1，
去分母得：2=6−x+1，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
19．32π−64##−64+32π
【分析】用割补法求解即可．
【详解】解：如图，设弧的交点为E，以AB为直径的圆的圆心为O，连接OE,AE,BE．
∵正方形ABCD的边长为8，
∴OA=OB=OE=4．
S阴影=412π×42−12×8×4=32π−64．
故答案为：32π−64．

【点睛】本题考查了割补法求图形的面积，熟练圆的面积公式是解答本题的关键．
20．16
【分析】根据题意任意四个相邻的“□”中所填的数字之和都等于11，m3=2，m6=−7，则找出m1和m2024之间与已知数据的联系即可．
【详解】解：由题知m1+m2+m3+m4=11，
m2+m3+m4+m5=11，
m3+m4+ms+m6=11，
．．．．．
m2021+m2022+m2023+m2024=11，
∴m1=m5=m9=…=m4n−3，
m2=m6=m10=…=m4n−2，
m3=m7=m11=…=m4n−1，
m4=m1=m12=…=m4n，
∴m2024=m4，m1=m5，
∵m3=2，m6=−7，m3+m4+m5+m6=11，
∴m4+m5=16，
即m1+m2024=16，
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，归纳处数字的变化规律是解题的关键．
21．711
【分析】设A商品的单价为4y，11月份的销售数量为3x，用代数式分别表示出三种商品11月份的销售额，进而求出11月份销售总额，再设12月份销售总额为m，得出12月份A商品增加的销售额为211m，B和C两种商品增加的销售额为m−28xy−211m=911m−28xy，进而用代数式表达出B，C两种商品12月份的销售额，再根据B，C两种商品12月份销售额相等列等式，求出m与xy的关系，即可得出答案．
【详解】∵A，B，C三种商品在11月份的销售单价之比为4:3:5，
设在11月份A商品的单价为4y，则B，C商品的单价分别为3y，5y；
设A商品11月份的销售数量为3x，则B、C商品11月份的销售数量分别为：2x、2x．由此可得，
11月份A商品的销售额为：4y⋅3x=12xy，
11月份B商品的销售额为：3y⋅2x=6xy，
11月份C商品的销售额为：5y⋅2x=10xy，
11月份A，B，C三种商品销售总额为：12xy+6xy+10xy=28xy；
设12月份A，B，C三种商品销售总额为：m，
则12月份A商品增加的销售额为211m，B和C两种商品增加的销售额为m−28xy−211m=911m−28xy，
又B，C两种商品增加的销售额之比为3:1，
因此B商品增加的销售额为：33+1×911m−28xy=34×911m−28xy，
C商品增加的销售额为：13+1×911m−28xy=14×911m−28xy，
由此可得：
12月份B商品的销售额为：6xy+34×911m−28xy，
12月份C商品的销售额为：10xy+14×911m−28xy，
由B，C两种商品12月份销售额相等可得：6xy+34×911m−28xy=10xy+14×911m−28xy
解得：m=44xy，
所以这三种商品11月份与12月份的销售总额之比为：28xym=28xy44xy=711，
故答案为：711．
【点睛】本题考查列代数式和等式的实际应用，未知数较多，有一定难度，依据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
22．(1)-24
(2)26
(3)2m−mn
(4)7b

【分析】（1）先利用乘法分配律计算，再算加减；
（2）先算乘方，并把除法转化为乘法，再算乘法，后算加减；
（3）去括号合并同类项即可；
（4）去括号合并同类项即可．
【详解】（1）−24×34−56+712−12
=−24×34−−24×56+−24×712−12
=−18+20−14−12
=−24
（2）−32÷13−−12022
=9×3−1
=27−1
=26
（3）5mn−2m+34m−2mn
=5mn−10m+12m−6mn
=2m−mn
（4）2a+3b−136a−12b
=2a+3b−2a+4b
=7b
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
23．(1)x=32
(2)x=−811

【分析】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
（2）先化整，再根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）x−x−24=5x−76−1，
12x−3x−2=25x−7−12，
12x−3x+6=10x−14−12，
12x−3x−10x=−14−12−6，
−x=−32，
x=32；
（2）0.3x+0.20.2−0.1x+0.040.03=1，
3x+22−10x+43=1，
33x+2−210x+4=6，
9x+6−20x−8=6，
9x−20x=6−6+8，
−11x=8，
x=−811．
【点睛】本题考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
24．见解析
【分析】根据平行线的性质，角平分线的性质，逐个进行分析填空即可．
【详解】证明：∵HG∥AB（已知）
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）
又∵HG∥CD（已知），
∴∠2=∠4
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+ ∠EFD =180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵FG平分∠BEF（已知），∴∠1=12∠BEF
又∵FG平分∠EFD，∠2=12∠EFD
∴∠1+∠2=12∠BEF+∠EFD，∴∠1+∠2=90°
∴∠3+∠4=90°（等量代换）
即∠EGF=90°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，垂直定义，能够熟练运用平行线的性质是解决本题的关键．
25．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）利用直线、射线和线段的定义画图即可；
（2）先以点B为圆心，以线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，再以点D为圆心，以线段AB的长为半径画弧，交BC于点M，则BM=2AB．
【详解】（1）解：根据题意：连接AC，连接AB并两端延长，连接BC并沿BC方向延长；
图形如下：

（2）解：以点B为圆心，以线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，以点D为圆心，以线段AB的长为半径画弧，交BC于点M，则BM=2AB，
图形如下：

【点睛】本题考查了尺规作图：作线段及画出直线、射线、线段，熟练掌握尺规作图的规则是解决问题的关键．
26．(1)∠BOD=116°
(2)OE平分∠BOC，理由见解析

【分析】（1）根据∠AOC=128°，OD平分∠AOC，求出∠AOD，即可求解．
（2）根据已知和（1）计算出∠COE、∠EOB，即可说明理由．
【详解】（1）解：（1）∵∠AOC=128°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=12∠AOC=64°，
∴∠BOD=180°−∠AOD=116°．
（2）由（1）知，∠AOD=∠COD=12∠AOC=64°
∵∠DOE=90°，
∴∠EOB=180°−∠AOD−∠DOE=26°，∠COE=90°−∠DOC=26°
∴∠COE=∠EOB，
∴OE平分∠BOC．
【点睛】本题考查角平分线的定义，角的和差，数形结合是解题的关键．
27．(1)最大的向上数984，Fm=1，最小的向上数121，Fm=−1，
(2)263、321、584、642、963

【分析】（1）百位上的最大数为9，最小数为1，十位数字等于其个位数字的2倍，即可求得十位数字为偶数，且1到9最大的偶数为8，最小的偶数为2，据此即可求得最大的向上数和最小的向上数及Fm的值
（2）根据题意设t=100a+10b+c，求得Ft+k=2a+c，由c的取值进行分类讨论即可求得t的所有取值
【详解】（1）根据题意：百位上的最大数为9，最小数为1，十位数字等于其个位数字的2倍，即可求得十位数字为偶数，且1到9最大的偶数为8，最小的偶数为2，
∴最大的向上数m=984，此时n=894，Fm=m−n90=984−89490=1，
∴最小的向上数m=121，此时n=211，Fm=m−n90=121−21190=−1，
（2）根据题意设：t=100a+10b+c（a、b、c为1到9的自然数）且b=2c，
∴k=a+b+c=a+3c，
∴Ft+k=100a+10b+c−100b+10a+c90+a+3c=a−b+a+3c=2a+c，
∵b=2c，
∴c的取值只能为1，2，3，4；
∵Ft+k能被7整除，即2a+c能被7整除，
∴当c=1时，2a+1=7，a=3，b=2，t=321
当c=2时，2a+2=14，a=6，b=4，t=642
当c=3时，2a+3=7，a=2，b=6，t=263，或2a+3=21，a=9，b=6，t=963
当c=4时，2a+4=14，a=5，b=8，t=584
∴所有满足条件的三位自然数t为：263、321、584、642、963
【点睛】本题考查新定义下的实数运算和列代数式，解题的关键是抓住“向上数”的特征
28．(1)A种商品每件的进价是100元，B种商品每件的进价是80元
(2)全部售完共可获利3600元
(3)B商品按标价售出10件

【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据购进8件A种商品与购进10件B种商品的货款相同列出方程，解出可得结论；
（2）设购买A种商品a件，根据所用资金9200元可得购进A、B两种商品的件数，在根据两种商品的售价和进价可得总利润；
（3）设B商品按标价售出m件，根据等量关系A商品的利润+B商品的利润=（2）中的利润60%列出方程，可得结论．
【详解】（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是(x−20)元，
由题意得8x=10(x−20)，
解得：x=100，
100−20=80（元）．
答：A种商品每件的进价是100元，B种商品每件的进价是80元；
（2）设购买A种商品a件，则购买B商品(100−a)件，
由题意得100a+80(100−a)=9200，
解得a=60，100−a=40．
100×40%×60+40×30=3600（元）．
答：全部售完共可获利3600元；
（3）设B商品按标价售出m件，
则A商品的利润：(100×140%×90%−100)×60=1560
B商品的利润：30m+(80+30)×85%−80−3.5(40−m)=20m+400
由题意得：
1560+20m+400=3600×1−40%，
解得m=10．
答：B商品按标价售出10件．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可求解．
29．(1)AB∥CD，理由见解析；
(2)∠E=50°；
(3)t的取值可以为：4秒，6秒，26秒．

【分析】（1）根据AE∥BD，得到∠A+∠B=180°，进一步可得∠D+∠B=180°，所以AB∥CD；
（2）延长CD交AE于点N，求出∠ECN=60°，再求出∠ENC=70°，即可求出∠E=180°−70°−60°=50°；
（3）分情况讨论，作出图形，结合图形分析，求出旋转的角度即可求出t的值．
【详解】（1）解：AB∥CD，理由如下：
∵AE∥BD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠D，
∴∠D+∠B=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：延长CD交AE于点N，

∵∠ECF=120°，
∴∠ECN=180°−120°=60°，
∵∠CFG=110°，FM平分∠CFG，
∴∠CFH=∠GFH=55°，
∵∠AFH=20°，
∴∠CFA=∠CFH−∠AFH=35°，
∵AB∥CD，
∴∠CFA=∠FAB=35°，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAE=70°，
∵AB∥CD，
∴∠ENC=∠BAE=70°，
∴∠E=180°−70°−60°=50°；
（3）解：第一种情况：当FG转到FG′，FM′∥AC时，

∵∠CAB=65°，FM′∥AC，
∴∠FH′B=∠CAB=65°，
∵AB∥CD，
∴∠FH′B=∠CFH′=65°，
∵FH′平分∠CFG′，
∴∠CFG′=130°，
∵由（2）可知旋转前：∠CFG=110°，
∴旋转角度为：130°−110°=20°，
故旋转时间为：20°÷5°=4s；
第二种情况：当FG转到FG′，FM′∥AE时，

由（2）可知：∠EAB=70°，
∵FM′∥AE，
∴∠FH′B=∠EAB=70°，
∵AB∥CD，
∴∠FH′B=∠CFH′=70°，
∵FH′平分∠CFG′，
∴∠CFG′=140°，
∵由（2）可知旋转前：∠CFG=110°，
∴旋转角度为：140°−110°=30°，
故旋转时间为：30°÷5°=6s；
第三种情况：当FG转到FG′，FM′∥EC时，

∵FM′∥EC，
∴∠CFM′=∠ECD=120°，
∵FH′平分∠CFG′，
∴∠H′FG′=120°，
∵FH′平分∠CFG′，
∴∠CFG′=240°，
∵由（2）可知旋转前：∠CFG=110°，
∴旋转角度为：240°−110°=130°，
故旋转时间为：130°÷5°=26s；
综上所述：t的取值可以为：4秒，6秒，26秒．
【点睛】本题考查角平分线的相关计算，平行线的判定及性质，解题的关键熟练掌握以上相关知识点，对（3）问要分情况讨论，找出所有满足条件的t的取值，难度较大，考查的是学生的综合能力．