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    2021-2022学年湖北省十堰市丹江口第一中学高一 5月联考数学试题(解析版)

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    这是一份2021-2022学年湖北省十堰市丹江口第一中学高一 5月联考数学试题(解析版),共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2021-2022学年湖北省十堰市丹江口第一中学高一 5月联考数学试题 一、单选题1.设全集,集合,则    A B C D【答案】B【分析】根据补集、交集的定义计算可得;【详解】解:因为,所以,又所以故选:B2.在中,若,则    A45°  B C D【答案】C【分析】由正弦定理可得,再利用余弦定理计算可得;【详解】解:因为,由正弦定理所以,即,不妨令由余弦定理因为,所以故选:C3.已知函数的部分图象如图所示,则的值分别为(    A B C D【答案】A【解析】利用正弦函数的周期性可得,进而求得,再利用时取得最大值可求得.【详解】在同一周期内,函数在时取得最大值,时取得最小值,函数的周期满足,由此可得,解得函数表达式为.时取得最大值2,可得,得.故选:A.【点睛】本题考查由的部分图象确定函数解析式,考查正弦函数的周期性和最值,属于基础题.4.一个多面体的所有棱长都相等,那么这个多面体一定不可能是(    A.三棱锥 B.五面体 C.六棱锥 D.六面体【答案】C【分析】根据几何体的结构特征说明三棱锥,四棱锥以及六面体的每条棱可以都相等,作图说明六棱锥的每条棱不可能都相等,即可判断答案.【详解】一个多面体的所有棱长都相等,三棱锥是正四面体时,满足题意,选项A可能;正四棱锥的每条棱可以都相等,即每个侧面都是等边三角形,底面是正方形,即五面体的所有棱长可以都相等,选项B可能;如果六棱锥的棱长都相等,则该棱锥为正六棱锥,如图:六棱锥,O为底面中心,,由于底面底面,,与矛盾,则正六棱锥的底面边长与棱长不可能相等,所以C不可能;六面体是正方体时,满足题意,所以D有可能.故选:C.5.已知函数,下列结论中错误的是A B.函数的图象关于直线对称C的最小正周期为 D的值域为【答案】D【解析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得,利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解.【详解】解:由,故正确;由定义可知为偶函数,故正确;由周期公式可得的最小正周期为:,故正确;由余弦函数的性质可得的值域为,故错误;故选:【点睛】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式,考查了余弦函数的图象和性质,属于基础题.6的内角的对边分别为,则下列说法不正确的是(    A.若,则B.若,则有两解C.若为钝角三角形,则D.若三角形为斜三角形,则【答案】C【分析】由大角对大边及正弦定理判断A;由,可得有两解,从而判断B;由余弦定理判断C;由三角形的内角和公式、两角和和正切公式及诱导公式判断D.【详解】对于A选项,若,则,由正弦定理可得所以,,故A选项正确;对于B选项,,则,如图:所以有两解,B选项正确;对于C选项,若为钝角三角形且为钝角,则,可得C选项错误;对于D,因为所以因为所以所以,所以D正确.故选:C.7.函数,若,则    A B C3 D2【答案】A【分析】,进而根据其奇偶性得,进而得答案.【详解】解:令由于所以函数为奇函数,因为,即,所以所以所以.故选:A8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节,我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗,以此达到装点环境、渲染气氛的目的,并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花,已知图二中正六边形的边长为,圆的圆心为正六边形的中心,半径为,若点在正六边形的边上运动,为圆的直径,则的取值范围是(    A B C D【答案】C【分析】计算得出,求出的取值范围,由此可求得的取值范围.【详解】如下图所示,由正六边形的几何性质可知,均为边长为的等边三角形,当点位于正六边形的顶点时,取最大值当点为正六边形各边的中点时,取最小值,即所以,.所以,.故答案为:.【点睛】方法点睛:求两个向量的数量积有三种方法:1)利用定义:2)利用向量的坐标运算;3)利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用. 二、多选题9.边长为2的等边中,的中点.下列正确的是(    ABCD【答案】ACD【分析】由向量加减法法则,可以判断选项ABD,再由向量数量积公式可判断C.【详解】根据向量加法法则可知,,故A正确;根据向量减法法则可得,故B错误;由向量数量积公式得,故C正确;根据向量加法法则可知,,所以D正确.故选:ACD.10.设有下列四个命题正确的是(    A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过空间中任意三点有且仅有一个平面C.若空间两条直线不相交,则这两条直线平行D.若直线平行平面,则平面内有无数条直线与平行【答案】AD【分析】根据平面的有关知识,线线平行、线面平行的有关知识对选项进行分析,从而确定正确选项.【详解】A选项,两两相交且不过同一点的三条直线,共有个不在一条直线上的个交点,确定一个平面,A选项正确.B选项,空间中任意三点,若三点共线,则过空间中的这三点有无数个平面,B选项错误.C选项,空间两条直线不相交,可能异面,C选项错误.D选项,直线平行平面,则过直线l的平面与平面的交线都与平行,而这样的交线有无数条,所以D选项正确.故选:AD11i是虚数单位,e是自然对数的底)称为欧拉公式,被称为世界上最完美的公式,在复分析领域内占重要地位,它将三角函数与复数指数函数相关联.根据欧拉公式,下列说法正确的是(    A.对任意的B在复平面内对应的点在第一象限CD【答案】ABD【分析】根据已知的欧拉公式,利用复数和三角函数的性质直接带入运算即可.【详解】对于A选项,,正确;对于B选项,,而在复平面内对应的点在第一象限,正确;对于C选项,错误;对于D选项,===,正确.故选:ABD12.已知函数,方程有四个不同的实数根,从小到大依次是则下列说法正确的有(    A B C D可以取到3【答案】BD【分析】由分段函数对应区间上指对数函数的性质画出函数图象,根据已知方程知两个零点分别在的两侧,结合图象及原方程根的个数确定的范围,进而得到的范围,即可确定答案.【详解】由题设,,其函数图象如下:的对称轴为,即所以必有两个零点分别在的两侧,由上图知:,满足原方程有四个实根,,则D正确;所以;且;且.所以,则AC错误,B正确.故选:BD【点睛】关键点点睛:根据分段函数上指对数函数的性质画出函数图象,由方程判断的分布并结合函数图象确定它们的范围,进而确定根的范围. 三、填空题13.函数,则________【答案】1【分析】利用函数解析式求得.【详解】依题意.故答案为:14.若复数满足是虚数单位),则__________.【答案】【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】因为所以.故答案为:.15.试写出一个满足下列条件的函数解析式___________.①为最小正周期;为一根对称轴;值域为【答案】(答案不唯一)【分析】结合三个条件,对余弦函数进行变形得到,满足题意.【详解】,满足三个条件,符合题意.故答案为: 四、双空题16.半正多面体亦称阿基米德多面体,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美,以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体,如图,它由八个正三角形和六个正方形构成,它的所有棱长都为2,则该半正多面体外接球的表面积为___________;若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动,则该正四面体体积最小值为___________.【答案】          【分析】首先找到外接球的球心,再利用勾股定理计算即可;若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动,则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时,该正四面体体积最小,然后根据正四面体内切球的相关计算求解即可.【详解】由题意知,该半正多面体的外接球的球心是正方体的中心,正方体棱长为所以该半正多面体外接球的半径,故其表面积为.若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动,则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时,该正四面体体积最小.此时,设正四面体的棱长为a,则正四面体的高为,考查轴截面,则有,解得所以.故答案为:.【点睛】关键点点睛:本题第空的关键点是探究出结论:若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动,则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时,该正四面体体积最小. 五、解答题17.已知(1)时,求(2)的夹角为钝角,求x的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】1)根据得到,再求的模长即可.2)根据题意得到,再解不等式组即可.【详解】1)因为,所以,解得所以.2的夹角为钝角,所以,解得.的取值范围18.已知向量,函数.(1)的单调递减区间;(2)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向左平移个单位长度,得到函数的图象,求的解析式及其最小正周期..【答案】(1)(2),周期为 【分析】1)利用向量数量积的坐标公式,根据三角函数恒等变换化简函数解析式,结合整体思想,求得答案;2)根据三角函数的图象变换,求得函数的解析式,利用周期公式,可得答案.【详解】1,解得:的单调递减区间为2)由(1)所得,把图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,可得再向左平移个单位长度,可得周期.19.如图,在棱长为1的正方体中,分别是棱的中点.(1)证明:共面;(2)求四边形的周长;(3)求多面体的体积.【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】1)证明确定四点共面.2)分别计算各线段长度得到周长.3)确定多面体为三棱台,再利用棱台的体积公式计算即可.【详解】1)连接,如下图:正方体中,,故四边形是平行四边形, GM分别是棱BC的中点,故,即共面.2.所以四边形的周长.3)多面体为三棱台,体积为.20.我市旅游资源丰富,知名景点众多,如我们熟悉的武当山,太极湖,丹江大坝,郧西龙潭河,郧阳九龙瀑,竹山女娲山,竹溪十八里长峡,房县双野,西关印象等等.还有许多景点还在开发建设中,某旅游开发公司计划2022年在一地质大裂谷开发新的游玩项目,全年需投入固定成本300万元,若该项目在2022年有万人游客,则需另投入成本万元,且,该游玩项目的每张门票售价为80.为吸引游客该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展,每年给该旅游开发公司财政补贴20x万元.(1)2022年该项目的利润(万元)关于人数(万人)的函数关系式(利润=收入-成本);(2)2022年的游客为多少时,该项目所获利润最大?最大利润是多少?.【答案】(1)(2)游客为30万人时利润最大,最大为205 【分析】1)根据题意得到门票收入为40x万元,财政补贴收入20x万元,共60x万元收入,然后由利润求解;2)根据分段函数分,分别求得其最大值,取其中最大值的求解.【详解】1)解:门票收入为40x万元,财政补贴收入20x万元,共60x万元收入,利润2)当时,时,时,由基本不等式知,当且仅当时等号成立,综上,游客为30万人时利润最大,最大为205.21.在中,内角的对边分别为,且.(1)的大小;(2),求的面积;(3)的最大值.【答案】(1)(2)(3) 【分析】1)利用正弦定理边化角,结合两角和差正弦公式化简整理可得,由此可得2)利用余弦定理可构造方程求得,由三角形面积公式可求得结果;3)利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范围,令,将所求式子化为,由单调性可求得最大值.【详解】1)由正弦定理得:,又,又.2)由余弦定理得:,解得:.3)由余弦定理得:(当且仅当时取等号),,则上单调递增,,即的最大值为.22.已知O为坐标原点,对于函数,称向量为函数的相伴特征向量,同时称函数为向量的相伴函数.(1)的相伴特征向量,求实数m的值;(2)记向量的相伴函数为,求当的值;(3)已知为(1)中函数,,请问在的图象上是否存在一点P,使得,若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在点,使得. 【分析】1)利用特征向量的定义即得;2)根据题意可得相伴函数,再根据条件可得,由最终得到结果;3)由题可得的解析式,设,根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.【详解】1的相伴特征向量, 2向量的相伴函数为.3)由题可知当且仅当时,同时等于图像上存在点,使得. 

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