2021-2022学年江苏省连云港市高一上学期期末调研（五）数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省连云港市高一上学期期末调研（五）数学试题

一、单选题

1．过两点和的直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据斜率公式，结合倾斜角与斜率直线的关系，建立方程，可得答案.

【详解】斜率，又倾斜角，，．

故选：D．

2．设某厂去年的产值为1，从今年起，若该厂计划每年的产值比上年增长8％，则从今年起到第十年，该厂这十年的总产值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由条件可得从今年起到第十年，该厂这十年的产值构成一个首项为，公比为的等比数列，然后利用等比数列的求和公式可得答案.

【详解】因为去年的产值为1，该厂计划每年的产值比上年增长8％，

所以从今年起到第十年，该厂这十年的产值构成一个首项为，公比为的等比数列，

所以该厂这十年的总产值为

故选：C

3．过点的抛物线的标准方程是(   )

A．或 B．

C．或 D．

【答案】C

【分析】由题意，根据抛物线的标准方程，代点可得答案.

【详解】由于点在第四象限，故抛物线焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上，

则标准方程可分别设为，，

代入点，分别可得，，

所以抛物线方程为或.

故选：C.

4．求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由圆心在直线x﹣2y﹣2＝0上，可设圆心C（2b+2，b），再根据圆心到两点A（0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，即得圆心和半径，从而求得圆的标准方程．

【详解】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，

即，解得，

可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为．

故选：D．

5．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在轴上，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线定点的定义，求得，设出双曲线方程，写出渐近线方程，利用点到直线距离公式，建立方程，可得答案.

【详解】由题意得，即，设双曲线的方程为，

焦点到其渐近线的距离为，

双曲线方程为，综上，双曲线的方程为．

故选：B．

6．已知是函数的导函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数求导法则，求出导函数，代入可得答案.

【详解】由题意，．

故选：A.

7．下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）中阴影三角形的个数为1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列.设的前n项和为，若，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】依题意可得，再求出，即可得到方程，解得即可；

【详解】解：易知，所以，由，得，所以.

故选：C

8．已知是函数的导数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，求出函数的导数，得到在上单调递增，问题等价于，即可解决．

【详解】令，则，

因为，

所以，即，

设，

所以，

因为，

所以，所以在上单调递增，

因为，

所以，

所以等价于，

则，即，解得．

所以不等式的解集是．

故选：C

二、多选题

9．已知点，，如果直线上有且只有一个点P使得，那么实数m可以等于（    ）

A．4 B． C．10 D．

【答案】CD

【分析】根据圆的性质，问题等价于直线与圆相切，利用点到直线距离公式，可得答案..

【详解】直线上有且只有一个点P使得，

则此直线与以AB为直径的圆：相切．，解得

故选：CD.

10．设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的有（    ）

A．当n＝15时，Sn取最大值 B．当n＝30时，Sn＝0

C．当d＞0时，a10+a22＞0 D．当d＜0时，|a10|＞|a22|

【答案】BC

【分析】根据等差数列前n项和公式，结合二次函数的性质、等差数列的通项公式逐一判断即可.

【详解】∵d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，S10＝S20，

∴10a120a1d，

解得a1＝﹣14.5d，

Sn＝na114.5nd（n﹣15）2，

当d＞0时，当n＝15时，Sn取最小值；当d＜0时，当n＝15时，Sn取最大值，故A错误；

当n＝30时，Sn（n﹣15）20，故B正确；

当d＞0时，a10+a22＝2a1+30d＝d＞0，故C正确；

当d＜0时，|a10|＝|a1+9d|＝﹣5.5d，

|a22|＝|a1+21d|＝﹣6.5d，

∴当d＜0时，|a10|＜|a22|，故D错误．

故选：BC．

11．（多选）已知双曲线，则（    ）

A．双曲线的焦距为

B．双曲线的虚轴长是实轴长的倍

C．双曲线与双曲线的渐近线相同

D．双曲线的顶点坐标为

【答案】BC

【分析】由题知，，再依次讨论各选项即可得答案.

【详解】因为，，

所以，，焦距为，所以A错误；

因为，所以B正确；

双曲线与双曲线的渐近线方程均为，所以C正确；

令，得，所以双曲线的顶点坐标为，所以D错误．

故选:BC．

12．已知，若在区间上有且只有一个极值点，则的取值可以为（    ）

A．1 B． C．e D．0

【答案】AC

【分析】先求导，再设，，最后对的大小讨论，即可得单调性，最后判断有无极值点以及极值点的个数．

【详解】，

，

设，

则

当时，在上恒成立，故在上为增函数，

，，

函数在上有且只有一个零点，使得，且在上，，在上，，

为函数在区间上唯一的极小值点；

当时，，，

故函数在上为增函数，又，

在上恒成立，即在上恒成立，

函数在上为增函数，此时函数在区间上没有极值点；

当时，，当时，总有成立，

即在上为增函数，即在上恒成立，

此时函数在区间上没有极值点.

综上所述，的取值范围为结合选项，只有A,C满足.

故选：AC

三、填空题

13．若直线与直线互相平行，则实数_____．

【答案】

【分析】根据两直线平行即可直接求出参数a.

【详解】当时，，两直线不平行；

当时，由，得，解得.

故答案为：-2.

14．与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程是___________.

【答案】

【分析】据题意可设所求方程为,代入点坐标可得到，进而求得双曲线方程.

【详解】据题意可设所求方程为，把)代入易得，故所求双曲线方程为.

答案：

【点睛】求双曲线方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；离心率相同的方程可设为.

15．已知数列的前n项和公式，则其通项公式________.

【答案】.

【分析】利用关系式，当时，，当时，，即可求解.

【详解】由题意，数列{an}的前n项和公式

当时，，

又由当时，，

所以数列的通项公式为.

故答案为：

16．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为__________mm/min.

【答案】##

【分析】将函数关于求导，再将代入上式的导函数，即可求解．

【详解】解：因为

，

．

故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/min.

故答案为：

四、解答题

17．记为等差数列的前项和，已知，．

    （1）求的通项公式；

    （2）求，并求的最小值．

【答案】（1）；（2），最小值为–16．

【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；

（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出.

【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法

设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．

[方法二]：函数+待定系数法

设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以．

（2）[方法1]：邻项变号法

由可得．当，即，解得，所以的最小值为，

所以的最小值为．

[方法2]：函数法

由题意知，即，

所以的最小值为，所以的最小值为．

【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；

方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；

（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值；

方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值．

18．已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上．若右焦点到直线的距离为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）求此椭圆的离心率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用点到直线距离公式，可以求出，再借助椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，即可表示出椭圆方程；（2）套用离心率公式即可.

【详解】（1）设椭圆右焦点的坐标为，

因为到直线的距离为3，

所以，即，

因为，所以

又椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，所以

所以，

所以椭圆方程为.

（2）由（1）得，，，所以椭圆的离心率为.

【点睛】本题考查利用点到直线距离公式求参，和椭圆焦点在轴上的方程表示.

19．已知数列是等差数列，且，.

(1)若数列中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第项，按原来顺序组成一个新数列，试求出数列的通项公式；

(2)令，求数列的前项和.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】(1)利用等差数列性质求出数列公差及通项公式，由求解作答.

(2)由(1)的结论求出，再用错位相减法计算作答.

【详解】（1）等差数列中，，解得，公差，

则，因此，，

依题意，，

所以数列的通项公式，.

（2）由(1)知，，

则，

因此，，

，

所以.

20．已知函数.

(1)当时，求在点处的切线方程；

(2)若，求函数的单调区间；

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）利用导数的几何意义求处切线的斜率，并求，进而写出切线方程.

（2）由已知可得，讨论、，根据的符号求对应自变量的范围，即可得单调区间；

【详解】（1）当时，，

，

，，

函数在点处的切线方程为.

（2）由题意，，

（ⅰ）当时，，

令，得；，得；

∴在单调递增，单调递减；

（ⅱ）当时，，

令，得；，得或，

∴在单调递增，在，上单调递减.

21．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上.

(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；

(2)过点F的直线l交抛物线C于A、两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程及.

【答案】(1)的坐标为，准线方程为

(2)，

【分析】（1）将已知点代入抛物线方程，解得参数的值，即可得答案.

（2）由求得直线的方程，利用抛物线定义，结合弦长公式以及中点坐标公式，可得答案.

【详解】（1）点在抛物线上，，，

的坐标为，抛物线C的准线方程为.

（2）由题可知，直线l经过与，

的斜率，直线l的方程为，

设A，B的坐标分别为，，

则由抛物线的定义可知，

又AB的中点为，，

22．已知函数

(1)求证：；

(2)若函数有两个不同零点，求证：.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）构造函数，求导，证明即可；（2）设，

设，设的两根为，不妨设，由，，得，解得，同理，令即可解决.

【详解】（1）要证，即证

令，

，

令，得，

当时，，单增，

当时，，单减，

故，

即得证.

（2）由题知

所以，，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

又，，，

由题意的两个根为，

不妨设，且

设，

设的两根为，

不妨设，

由知，

故，

又，即，

又由于在上单减，故，

同理可得，

令，解得，，，

即得证.