2021-2022学年上海市行知中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市行知中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．若函数是定义在上的函数，那么“”是“函数是奇函数”的（    ）条件

A．必要不充分 B．充分不必要

C．充分必要 D．既非充分也非必要

【答案】D

【分析】通过举反例，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案.

【详解】当，时，则，但为偶函数；

当，时，则为奇函数，但在处无意义；

综上，“”是“函数是奇函数”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

2．下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】根据等式的性质，结合特殊值对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：当时，没有意义，故A错误；

对B：若，则，故B正确；

对C：若，则或，故C错误；

对D：若，则或，故D错误；

故选：B.

3．已知函数是定义在上的奇函数，且函数在上是严格增函数，若满足，则的值（    ）

A．一定大于0 B．一定小于0

C．等于0 D．正负都有可能

【答案】A

【分析】根据奇函数的性质结合函数单调性，可得函数与零的大小关系，根据题意中的不等式，分情况讨论，可得答案.

【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，

由函数在上是严格增函数，则，，，，

当时，不等式恒成立，则，即；

由不等式恒成立，则中仅可有一个小于零，不妨设，即

由，则，

由函数在上是严格增函数，则，

由函数是定义在上的奇函数，则，即，

故，

故选：A.

4．已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

【答案】A

【分析】由基本不等式可得或，再作出函数的图象，从而由图象分类讨论，从而由此分析关于的方程的实根个数．

【详解】由基本不等式可得，

或；

作函数的图象如下，

①当时，或，

故方程的实根个数为4；

②当时，或或，

故方程的实根个数为6；

③当时，或或或，

故方程的实根个数为8；

④当时，或或或，

故方程的实根个数为7；

⑤当时，或或，

故方程的实根个数为4；

⑥当时，或，

故方程的实根个数为3；

⑦当时，，

故方程的实根个数为2．

故选：．

【点睛】方法点睛：要判断函数零点或方程根的个数，一般需结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断，对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为的形式，通过考查两个函数图象的交点来求，通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法．

二、填空题

5．已知集合，则__________.

【答案】##

【分析】求得集合，再根据集合的交运算求解即可.

【详解】根据题意，，故.

故答案为：.

6．已知函数，则的反函数为__________.

【答案】

【分析】由反函数定义可知，把写成关于的表达式再互换位置即可.

【详解】把改写成

即  所以，

用表示自变量，表示函数，将改写成

所以，函数的反函数为.

故答案为：.

7．函数的单调增区间为__________.

【答案】

【分析】由题意，去绝对值整理函数解析式，根据一次函数的性质，可得答案.

【详解】由函数，根据一次函数的性质，可得时，单调递增，

则函数的单调增区间为.

故答案为：.

8．设函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】对a分类讨论，结合二次函数的图象与性质即可列式求解.

【详解】当时，为增函数，符合题意；

当时，函数在区间上是严格增函数，则需对称轴，∴；

当时，函数在区间上是严格增函数，则需对称轴，∴.

综上，实数的取值范围为.

故答案为：

9．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】对的解析式分离常数，结合其单调性和的单调性，即可列式求解.

【详解】，根据题意可得在单调递减，

又因为在单调递减，则在上单调递减，

则要满足题意，则，解得，故实数的取值范围为.

故答案为：.

10．若函数是上的奇函数，且当时，，则__________.

【答案】

【分析】利用奇函数的性质，建立方程，可得答案.

【详解】由函数是上的奇函数，则，即，解得，

，

故答案为：.

11．若是定义域在上的连续函数，则下列说法正确的是__________（选填序号）.

①若，则在区间中一定仅存在一个零点；

②若，则在区间中一定不存在零点；

③若，则在区间中可能存在零点.

【答案】③

【分析】数形结合，根据零点存在性定理解决即可.

【详解】对于①，，则在区间中一定仅存在一个零点，错误，如图

对于②，，则在区间中一定不存在零点，错误，如图

由②中图可知，③正确.

故答案为：③

12．若是定义在上的奇函数，且在上是严格增函数.若，则不等式的解集是__________.

【答案】

【分析】根据函数奇偶性和单调性，结合已知条件，求解即可.

【详解】根据题意，是上的单调增函数，又为奇函数，故，

则不等式等价于，，解得.

故答案为：.

13．设函数，则不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】根据函数奇偶性，单调性列不等式解决即可.

【详解】由题知，

定义域为，关于原点对称，

因为，

所以为偶函数，

令，，作图如下

由图知，在上单调递增，

所以在上单调递增；

因为，

所以，

所以

所以，即，

解得，或

故答案为：

14．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】由题意，去绝对值整理函数解析式，利用零点的定义，建立方程，可得答案.

【详解】由函数，

当时，方程存在根，则解得，解得；

当时，方程存在根，则解得，解得；

综上所述，.

故答案为：.

15．已知函数是偶函数，其中是实数，若在区间有解，则实数的取值范围为______

【答案】

【分析】求得的两根，结合函数是偶函数，以及韦达定理求得关系；再对分离参数，结合二次函数值域以及方程有解，即可求得结果.

【详解】令，解得或，因为为偶函数，

故和是方程的两个根，则，

故；

又当时，，

故方程有解，即有解，则，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

16．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围为______________.

【答案】

【分析】由题意可得在的范围包含在的范围内，先运用基本不等式求得在的范围，再讨论，结合函数的单调性可得的范围，解的不等式可得所求范围.

【详解】当时，，

当时，

若时，在上是单调递增函数，

所以，满足则，

所以，

，

又，所以.

若时，则，

在上是单调递增函数，此时，

在上是单调递减函数，此时

满足 则

又，所以，

综上，，

故答案为.

【点睛】本题主要考查了分段函数，考查了任意性和存在性问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查运算能力，属于中档题.

三、解答题

17．已知集合.

(1)求；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)

(2)或或

【分析】（1）根据一元二次方程的解法以及绝对值的定义和一元一次不等式的解法，求得集合与集合，利用集合的交集运算，可得答案；

（2）根据集合的包含关系，分集合是否为空集的两种情况，利用方程解得情况，可得答案.

【详解】（1）由方程，因式分解可得，解得或，则；

由不等式，去绝对值可得，解得，则；

故.

（2）当时，方程无解，解得，此时，符合题意；

当时，由，则方程的解为或，

①当为方程的解时，则可得，解得；

②当为方程的解时，则可得，解得；

综上所述，或或.

18．已知函数，其中实数为常数.

(1)若，解关于的方程；

(2)若函数是奇函数，求实数的值.

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）根据，求得，再解方程即可；

（2）根据，求得参数，再验证即可.

【详解】（1）因为，则，解得，则，即，

整理得，则，或，解得或.

故方程的根为或.

（2）函数是奇函数，又的定义域为，则，解得；

当时，，则，

满足为奇函数，故.

19．某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量与促销费t之间的关系为(其中k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.

（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t至少为多少(万元)？

（2）已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？

【答案】（1）(万元)；（2）当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).

【解析】（1）可得当时，，解得，则可列不等式求出；

（2）根据题意可列出y关于的函数关系，再利用基本不等式可求出.

【详解】解：（1）由，当时，，得，∴，

由，解得，

所以促销费至少为19万元；

（2）网店的利润y(万元)，由题意可得：

，

当且仅当，即时取等号，此时；

所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).

20．已知函数定义在上，且满足对任意的，均有，并且当时，.

(1)证明：是上的严格增函数；

(2)若，求解.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合抽象函数满足的形式，直接证明即可；

（2）根据题意求得，结合函数单调性，求解即可.

【详解】（1）证明：在上任取，且，

则

，

因为，则，又当时，，故，

即，，

故是上的严格增函数.

（2）令，由可得，即，解得，

又为上的严格增函数，故等价于，，解得.

故不等式的解集为.

21．已知函数.

（1）若时,的解集为时，求实数的值；

（2）若对任意,存在,使，求实数的范围；

（3）集合，若,求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）的解集为,则,代入即可解得b的值；

（2）存在,使,则当时即可,再根据和分别求出b的范围,再取并集即可；

（3）设,,因为,所以,且当时,无解,再根据二次函数的性质得出,代入二次函数解析式解得,再根据得出,以及得出,最终取交集得出a的取值范围.

【详解】（1）的解集为,且是二次函数,

解得.

（2）存在,使,则当时即可

是开口向上的二次函数

或

①若

则

对任意都成立

,即；

②若

则

对任意都成立

,即；

要存在,使

和中只需一值>0即可,

即实数的范围为

（3）设,,

,且当时,无解

设,且,

则,

∴当时,无解

若,又

∴当时,一定有解

又,

,即

令或0

又且

即a的取值范围为.

【点睛】本题考查了二次函数的性质及一元二次不等式的解法、二次函数最值的求法,遇到二次函数的性质不熟悉时,还可以采取画图的方法研究，写过程时详细地讨论.本题属于中等题.