2021-2022学年新疆克拉玛依市高级中学高一 5 月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年新疆克拉玛依市高级中学高一 5 月月考数学试题

一、单选题

1．已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的几何意义，即可求出结果.

【详解】因为在复平面内对应的点在第四象限，

所以，所以.

故选：A.

2．已知复数z满足，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的除法运算化简，再求出，由，即可得出答案.

【详解】因为，所以复数，所以，所以.

故选:C.

3．等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得；

【详解】解：

故选：B

4．在中，一定成立的等式是(   )

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将正弦定理变形即可得答案.

【详解】解：根据正弦定理得，

即.

故选:C.

5．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先计算出等腰梯形的面积为，再利用计算得到答案.

【详解】等腰梯形的面积

则原平面图形的面积.

故选：C.

6．在平行四边形中，为的中点，为的中点，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先由为的中点，得到

，再由为的中点，结合平面向量基本定理，即可得出结果.

【详解】因为为的中点，

所以，

又在平行四边形中，为的中点，

所以.

故选A

【点睛】本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型.

7．在中，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据求得，直接利用三角形的面积公式即可求得结果.

【详解】因为为三角形的内角，所以，

所以三角形的面积.

即的面积为.

故选：D．

8．如图在正方体中，P为中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由得出直线与所成的角为或其补角，再由余弦定理得出所求角.

【详解】易知，则直线与所成的角为或其补角，设，则，，，，因为异面直线的夹角范围为，所以直线与所成的角为.

故选：D

9．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.

【详解】如图，设，则，

由题意，即，化简得，

解得（负值舍去）.

故选：C.

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.

10．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为假命题的是

A．若，，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，，则

【答案】B

【详解】对于A：若，，则又所以，故A对；

对于B：若，，则或相交，故B错；

对于C：若，，则，故C对；

对于D：若，，，则，故D对；

故选B.

11．是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ）

A．如果，m，n是异面直线，那么

B．若，则

C．若，则

D．如果，m，n共面，那么

【答案】B

【分析】由直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可.

【详解】解：对于A：如果，m，n是异面直线，那么或n与相交，A不正确；

对于B：若，则，使得，，则，使得，∴，∵，则，B正确；

对于C：若，则的位置关系为：平行或相交，C不正确；

对于D：如果，m，n共面，则m，n的位置关系：相交或平行，D不正确；

故选：B

12．如图，在正方体中，点P为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（    ）

A．

B．三棱锥的体积为定值

C．过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形

D．DP与平面所成角的正弦值最大为

【答案】D

【分析】A.通过平面进行说明；B.根据等体积法进行说明；C.分析点位置，作出截面图形后进行判断；D.先分析线面为，然后表示出，通过分析的长度确定出正弦值的最大值.

【详解】由题可知平面，所以，故A正确；

由等体积法得为定值，故B正确；

设的中点为，当时，如下图所示：

此时截面是三角形，

当时，如下图所示：

此时截面是梯形，故C正确；

选项D，在正方体中，连接，则为在平面上的射影，则为与平面所成的角，

设正方体的棱长为1，，则，，

当取得最小值时，的值最大，即时，的值最小为，

所以的值最大为，故D不正确.

故选：D.

【点睛】方法点睛：作空间几何体截面的常见方法：

（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；

（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；

（3） 作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；

（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.

二、填空题

13．已知一个圆柱的底面半径为2，体积为，则该圆柱的表面积为___________.

【答案】

【分析】根据圆柱体积求高，再应用圆柱的表面积公式求圆柱的表面积.

【详解】由题设，若圆柱的高为，则，故，

所以圆柱的表面积为.

故答案为：

14．在中，内角所对的边分别为.若，则______________.

【答案】

【解析】利用正弦定理求得，再代入，即可求解，得到答案.

【详解】在中，因为，

由正弦定理，可得，解得，

又因为，即，解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用三角形的正弦定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15．已知复平面内平行四边形中，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点对应的复数为__________.

【答案】

【分析】利用复数的几何意义､向量的坐标运算性质､平行四边形的性质即可得出.

【详解】因为点对应的复数为，对应的复数为，

所以点，，

设，则可得，所以点，

因为四边形是平行四边形，所以，

因为对应的复数为，所以，

设，则，

解得：，所以点的坐标为，

所以点对应的复数为，

故答案为：.

16．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为__________．

【答案】

【详解】作图，取中点，由条件易证，所以是两个直角三角的公共斜边，根据直角三角形斜边中点的性质知,所以是外接球的球心，因为，，所以，所以，．

点睛：本题已知三棱锥底面为直角三角形，求三棱锥外接球的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的内接多面体等知识，属于中档题．解决此类问题的关键是找球心，求半径，本题根据两个共斜边的直角三角形的斜边中点性质，很容易得到到四个球上点等距离的点，即找到球心是斜边中点，即可解决问题．

三、解答题

17．已知，，.

（1）求向量与的夹角；

（2）求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）若向量与的夹角为，由已知条件可得，即可求向量与的夹角；

（2）利用向量数量积的运算律有，即可求模.

【详解】（1）由题意，，若向量与的夹角为，

∴，即，得，

∴；

（2），

∴.

18．如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点．

(1)求证：平面PAC；

(2)求证：

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，即可得证；

（2）由线面垂直的性质得到，再根据，即可得到平面，即可得证.

【详解】（1）∵点D、E分别是棱AB、PB的中点，

∴，

又∵平面，平面；

∴平面．

（2）∵底面，底面，

∴，

∵，，平面，

∴平面，

又∵平面，

∴．

19．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知且．

(1)求角A的大小；

(2)若，求三角形的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由内角和定理结合三角恒等变换得出角A的大小；

（2）由余弦定理得出 ，再由三角形面积公式计算即可.

【详解】（1）解：∵，

∴，

，

∵，∴，

又，∴，∵，∴；

（2）∵，

∴，

∴；

20．设向量，在三角形中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．

(1)求角C；

(2)若，边长，求三角形的周长l的值．

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）由结合余弦定理得出角C；

（2）由得出，再由余弦定理求出，进而得出周长.

【详解】（1）由已知可得，所以，所以．

（2）由题意可知，可得，所以，

由余弦定理可知，

则，即，故周长为．

21．如图．正方体中，棱长为1，

(1)求证：AC⊥平面；

(2)求二面角的平面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）证明：∵在正方体中，平面ABCD，

又平面ABCD，

∴，

∵，，，BD，平面，

∴AC⊥平面；

（2）∵，所以，又，而，面BAC，

∴为二面角的平面角．

在中，，，

∴，

∴．

22．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，底面， 为直线上一动点．

(1)求证：；

(2)若，分别为线段，的中点，求证：平面；

(3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)存在，.

【分析】（1）连，由菱形得，由线面垂直性质得，线面垂直的判定和性质即可证结论．

（2）取的中点，连、，由题意得且，故四边形为平行四边形，所以，由线面平行的判定定理证结论．

（3）先假设存在满足条件的点，再进行推理，即过作的延长线于，连，可证得中，从而确定的值．

【详解】（1）连接，因为四边形为菱形，所以．

因为平面，平面，所以．

又，面，所以平面．

又平面,所以．

（2）取的中点，连、．

因为为线段中点，所以，．

因为四边形为菱形，为线段的中点，所以，．

所以，，故四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面．

（3）直线上存在点，使得面面，且．理由如下：

如图，过作的延长线于，连．

因为菱形中，所以．

因为底面，平面，所以．

又，面，所以平面．

又平面，故平面平面．

因为在中，，所以．

故直线上存在点，使平面平面，且．