2022-2023学年安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学高一上学期12月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数函数单调性解不等式化简集合A，由二次不等式化简B，直接计算并集即可.【详解】，，故选：A2．已知条件，，条件，则是成立的（  ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的概念，由不等式的性质及取特殊值即可得解.【详解】当，时，由得，所以，所以，∴，即p是q的充分条件，取特殊值，，满足成立，但不成立，即，所以p是q成立的充分非必要条件．故选：A．3．若函数，且，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用换元法求出的解析式，然后可得答案.【详解】因为，所以令，则，所以，所以，因为，所以，故选：B.4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（      ）A． B． C． D．【答案】A【分析】的定义域为两个函数定义域的交集，列出不等式组求解即可．【详解】由题可知，，故函数的定义域为，故选：A．5．下列命题中，正确的有（    ）个①若，，：，则它是函数；②若函数的定义域是，则函数的定义域为；③幂函数与图像有且只有两个交点；④当时，方程恒有两个实根.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】对于①，由映射和函数的定义判断即可；对于②，由抽象函数的定义求解即可；对于③，结合幂函数的性质判断；对于④，将问题转化为与的图象交点个数的问题，作出图象即可判断.【详解】对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；对于②，若函数的定义域是（1,2），则 故函数的定义域为，故②对对于③，幂函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减且图像过 ，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增且图像过 所以两个图像有且只有两个交点；故③对；于④，当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个实根.故④错；故选：C6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若角终边上一点的坐标为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】计算得到，在根据三角函数定义计算得到答案.【详解】，即，则，.故.故选：A7．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合诱导公式求得正确答案.【详解】.故选：C8．已知，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把已知的等式平方得到，再化简代入即得解.【详解】由，所以，∴，所以.故选：A． 二、多选题9．下列选项正确的是（    ）A．B．C．若终边上有一点，则D．若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的面积为【答案】BD【分析】利用诱导公式可判断A，利用弧度与角度之间的转化公式可判断B，利用任意角的三角函数定义可判断C，利用扇形的弧长和面积公式可判断D【详解】对于A，，故A错；对于B，，故B正确；对于C，若终边上有一点，则，故C不正确；对于D，若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的半径为，面积为，故D正确.故选：BD10．已知函数，若（其中），则的可能取值有（    ）A． B． C．2 D．4【答案】BCD【分析】根据题设条件可得，根据基本不等式可求最小值.【详解】,因为，故，故，而，故即，而，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故的可能取值为（均验证）.故选：BCD.11．已知函数，则函数的零点个数不可能为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】ACD【分析】根据题意，先作出的图像，再令，将问题转化为与的交点的个数，进而得到交点横坐标的范围，从而分类讨论与两种情况，结合的图像即可判断得的零点的个数，由此得解.【详解】根据指数函数与对数函数的性质，结合函数图像的变换作出的图像，如图，令，则，令，则，即，在图中再作直线，由图象可知与有两个交点，其横坐标设为，则，当时，结合图像可知有2个不等实根；当时，结合图像可知有3个不等实根；综上：可得的实根个数为5，即函数的零点个数是5.故选：ACD. .12．已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（   ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】把指数式化成相应的对数式，运用对数的运算法则及换底公式和基本不等式可求得结果.【详解】解：，令，则，，.对于A，，A选项正确；对于B，，，因为，所以，B选项错误；对于C，，C选项错误；对于D，，所以，D选项正确；故选：AD. 三、填空题13．已知命题，使得，则为_______【答案】，.【分析】存在量词命题（特称命题）的否定，改为，对结论否定.【详解】由题意，，使得，则，.故答案为：，.14．已知是第二象限角，且，则的集合是______________．【答案】【分析】先写出终边在第二象限的角，然后根据不等式得到的范围，再通过对赋值具体求出的值或范围. 其中.【详解】∵是第二象限角，∴．∵，∴．当时，由得，且；当时，由得，且；当为其他整数时，满足条件的角不存在．所以，所求的集合是.【点睛】本题考查象限角的概念和对赋值的思想，属于中档题.第一象限角的集合，第二象限角的集合，第三象限角的集合，第四象限角的集合.对赋值时，先取，再取，再取， ，这样可以保证对取值不重复不遗漏.15．已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为_________．【答案】【分析】由偶函数定义结合对数运算可得，进而整理可得，利用换元法令，根据题意结合分类讨论解决二次函数的最值问题.【详解】∵函数是偶函数，则，故，∴，则，可得：，令，当且仅当，即时等号成立，则，由题意可得：在上的最小值为，∵的对称轴为，则有：若，即时，在上单调递增，当时取到最小值，则，解得：；若，即时，在上单调递减，在上单调递增，当时取到最小值，则，解得：（舍去）；综上所述：.故答案为：.16．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则______．【答案】【分析】由题设条件得与，利用赋值法得到，从而求得当时，，再由上述两等式推得是以4为周期的函数，由此可求得的值.【详解】因为为奇函数，则，令，则，故，则，令，则，又因为为偶函数，则，令，则，因为，所以，联立，解得，所以当时，.又因为，即，则，所以函数是以4为周期的函数，故.故答案为：. 四、解答题17．求值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用根式运算、指数运算计算作答.（2）根据给定条件，利用对数运算法则及对数性质计算作答.【详解】（1）.（2）.18．已知不等式的解集是，不等式的解集是.(1)当时，求；(2)如果是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据题意，求得，再结合集合的交运算，求解即可；（2）根据集合之间的包含关系，列出关于的不等式，求解即可.【详解】（1），即，也即且，解得，即；当时，即，解得或，即；故.（2），则或，即，由题可知，，则或，解得.故实数的取值范围为：.19．(1)请化简：．(2)已知,,求.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据诱导公式化简即可（2）计算的平方，分析的大小即可求值.【详解】（1）原式=（2）因为，两边平方得，有所以又因为，所以，，则所以．【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，同角三角函数的关系，正余弦函数的性质，属于中档题.20．求证：.【答案】证明见解析【分析】从左边开始，将式子变形为，进而将式子化简，结合同角三角函数的平方关系进行变形，最后证得答案.【详解】左边右边所以原等式成立.21．已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝lnx．（1）求方程在[0，2π]上的解；（2）求证：对任意的a∈R，方程f（x）＝ag（x）都有解；（3）设M为实数，对区间[0，2π]内的满足x1＜x2＜x3＜x4的任意实数xi（1≤i≤4），不等式成立，求M的最小值．【答案】（1）或；（2）详见解析；（2）【解析】（1）利用诱导公式化简，结合同角三角函数的基本关系式求得的值，由此求得方程的解.（2）将分成和两种情况，结合零点存在性证得结论成立.（3）先证得，再证得，由此求得的最小值为.【详解】（1）因为，，所以，即，且.若，则，与矛盾.所以，从而.又，所以或.（2）当时，由得，即是该方程的一个解；当时，令.因为的图像在区间上连续不断，且，，根据零点存在性定理可知，存在，使得.因此，当时，方程有解.综上所述，对任意，方程都有解.（3）先证：.取，.再证：当时，都有，即.①若，因为，于是，所以，而，所以.②若，，，所以；③若，，，所以，于是对任意满足条件的，都有.综上所述，的最小值为.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.22．已知函数.（1）若，且在上存在零点，求实数的取值范围；（2）若对任意，存在使，求实数的取值范围；（3）若存在实数，使得当时，恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）10.【分析】（1）由时，，令，当时，分离参数，再令，得出的单调性，从而得出的值域，可得实数a的取值范围；（2）由得，即令，则的对称轴为，由得对称轴的范围，从而得当的最小值为，再由，得，可得的范围；（3）的对称轴为,根据对称轴与区间的关系分情况讨论的单调性,求出最值,根据列出不等式组,化简得出的取值范围,从而得到实数的最大值.【详解】（1）由时，，令，当时，，令，则的定义域为，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为是定义域为的奇函数，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，或，所以或，所以要使在上存在零点，则需或.故：实数a的取值范围是或.（2）由得，即令，则的对称轴为，当时，对称轴，所以当时，的最小值为，而，所以，所以要使对任意，存在使，则需； （3）的对称轴为.①若,则在上单调递增,, 由,得,解不等式组,得.②若,即时,在上单调递减,在单调递增,且，.,即,得.③若,即时,在单调递减,在单调递增,且 ，,即,则.④若,即时,在上单调递减,,,即,则.综上, 的取值范围是,的最大值为10.【点睛】本题考查二次函数的零点和其值域等问题，以及恒成立，存在等较综合的问题，属于难度题.对于不等式的存在性的问题时，常有以下情形：（1），使不等式成立，则；（2），使不等式成立，则；（3）,使不等式成立,则；（4）,使不等式成立,则；（5）,,均有恒成立，则；（6）,,均有恒成立，则.