2022-2023学年河北省保定市部分学校高一上学期12月联考数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省保定市部分学校高一上学期12月联考数学试题

一、单选题

1．若命题：梯形是四边形，则（    ）

A．是全称量词命题，且的否定：有些梯形不是四边形

B．是全称量词命题，且的否定：所有的梯形不是四边形

C．是存在量词命题，且的否定：有些梯形不是四边形

D．是存在量词命题，且的否定：所有的梯形不是四边形

【答案】A

【分析】根据全称命题的否定是特称命题得答案.

【详解】是全称量词命题，且的否定：有些梯形不是四边形.

故选：A.

2．若全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合间的运算求解.

【详解】由题意得，所以.

故选：B.

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】求出的解，然后根据充分性和必要性的概念得答案.

【详解】由，得，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

4．若函数，则的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数单调性求出每一段的值域，进而可得整个函数的值域.

【详解】当时， 在上单调递减，故；

当时， 在上单调递增，故；

得的值域为.

故选：C.

5．若幂函数在上单调递减，则的解析式可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先通过得，再判断是否幂函数以及在上单调递减.

【详解】由，得，不是幂函数，A错误.

由，得，在上单调递增，B错误.

由，得，的定义域为，C错误.

由，得，在上单调递减，D正确.

故选：D.

6．已知函数的图象关于点对称，且，，，则的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】通过题意判断出函数的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性排除即可得答案.

【详解】函数的图象关于点对称，

则函数向右平移个单位，或左平移个单位后得到函数，其关于对称，

即是奇函数，排除A，B，

又，，

当时，，

即在上单调递增，排除D，

故选:C.

7．已知函数，分别由下表给出，且，，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】由题得到，然后解方程组即可.

【详解】由

得

得，所以.

故选：A.

8．某公司通过研发技术、提升工艺、提高效率等方法来降低成本.假设该公司的年成本以每年10%的比例降低，要使年成本低于原来的，至少需要年，则（    ）（参考数据：，）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【分析】由题意列式，根据指对数之间的互化结合对数运算求解.

【详解】设该公司原来的年成本为，年成本低于原来的需要的时间为年，

则由题意得，得，得，

因为，所以.

故选：C.

二、多选题

9．小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（    ）

A． B．弧长

C．扇形的周长为 D．扇形的面积为

【答案】BC

【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案.

【详解】，所以A错；

弧长，所以B对；

扇形的周长为，所以C对；

面积为，所以D错；

故选：BC

10．下列函数的零点在区间内的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】对AB：通过方程求解零点并判断；对C：利用零点存在性定理分析判断；对D：利用图象分析判断.

【详解】对A：

令，得，A正确；

对B：

令，得，B错误；

对C：

由题意得的图象是一条连续不断的曲线，且在内是增函数，

因为，，所以的零点所在的区间是，C正确；

对D：

令，得，

由函数和的图象可知，

和图象交点的横坐标不在内，即的零点不在区间内，D错误.

故选：AC.

11．若函数的定义域与值域的交集为，则称为“交汇函数”，下列函数是交汇函数的是（    ）

A．， B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】求出每个选项中函数的值域和定义域，再求值域和定义域的交集来判断即可.

【详解】因为，，

所以的值域为，的定义域与值域的交集为，A正确.

的定义域为，值域为，定义域与值域的交集为，B正确.

的定义域为，因为，所以，

即值域为

所以的定义域与值域的交集为，C错误.

因为方程无解，故的定义域为，

当时，，

当时，，因为，所以，

所以的值域为，的定义域与值域的交集为，D正确.

故选：ABD.

12．若函数，且，，，则（    ）

A．的图象关于直线对称 B．在上单调递减

C． D．

【答案】BCD

【分析】由复合函数的性质以及函数对称轴的充要条件、函数的单调性等可以找出正确答案.

【详解】由题意得，所以的图象关于直线对称，A错误.

令，则，因为，函数单调递增，所以，，所以，在上单调递减，B正确.

由题意得，，因为，，

所以，，即.

又在上单调递减，所以，

故CD正确.

故选：BCD

【点睛】对于一个复杂函数的研究，我们可以先考察其是否是一些简单幂指对函数的复合函数，可根据复合函数的理论将函数整体的研究转化为一些简单函数的研究；有时候没有很好的方法比较两个式子的大小的时候，可以考虑最基本的作差或者作商法.

三、填空题

13．写出一个与角终边相同的正角：_____________（用弧度数表示）.

【答案】（答案不唯一，符合，即可）

【分析】终边相同的角之间相差或可得答案.

【详解】与角终边相同的角：

又题目要求正角，可取，化为弧度数为.答案不唯一

故答案为：（答案不唯一，符合，即可）

14．若函数的定义域为，则函数的定义域为_______________.

【答案】

【分析】根据函数的定义域，可得不等式组，解不等式组即可.

【详解】由题意得，解得：，

∴函数的定义域为.

故答案为：.

15．若，，且，则_____________.

【答案】

【分析】根据指、对数之间的互化，结合指数运算求解.

【详解】令，则，，，

∵，即，则，其中，

∴或（舍去）.

故答案为：.

16．已知函数的零点为和1，则的取值范围为______________.

【答案】

【分析】根据题意得之间的不等关系，再根据之间的不等关系，利用韦达定理来求解的取值范围.

【详解】易得，由题意得，又，

所以，，.

因为，

所以，所以.

由题意得，1是关于的方程的两个根，

所以，得.

故答案为：.

四、解答题

17．求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数幂运算求解；（2）根据对数运算以及换底公式运算求解.

【详解】（1）原式.

（2）原式.

18．已知集合，.

(1)若，求的取值范围；

(2)若，且集合，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据空集的性质分析运算；（2）由，根据子集关系结合韦达定理分析运算.

【详解】（1）由题意得，解得，

故的取值范围为.

（2）∵，则，是方程的两个根，不妨设，

∴，

又∵，则，且，

所以，故.

19．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的油速（单位：m/s）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.

(1)若一条鲑鱼的游速为2m/s，求该鱼的耗氧量的单位数；

(2)假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，12s后甲正好追上乙，求甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值.

【答案】(1)8100

(2)

【分析】（1）将游速为2m/s代入可解出鱼的耗氧量的单位数；

（2）先根据追及问题表示出甲乙的速度差，然后根据可求出各自的耗氧量的单位数的比值.

【详解】（1）由题意得，得.

故该鱼的耗氧量的单位数为8100.

（2）设甲鲑鱼的游速为（单位：m/s），耗氧量的单位数为，乙鲑鱼的游速为（单位：m/s），耗氧量的单位数为.

由题意得，则，

得，得.

20．已知是定义域为的偶函数.

(1)求的最大值；

(2)从下面①②两个结论中任意选择一个证明，如果两个都证明，按第一个计分.

①；        

②.

【答案】(1)2

(2)证明见解析

【分析】（1）根据偶函数的定义域必然关于原点对称这一性质可以得到之间的关系式，进而运用基本不等式可以求出的最大值；

（2）①式运用基本不等式的“1”的妙用易证，②式变形一下之后也可运用基本不等式的“1”的妙用证明.

【详解】（1）由题意得，即.

由，得，当且仅当或时，等号成立.

故的最大值为2.

（2）选①：由（1）得，显然，所以

，

当且仅当，即，时，等号成立.

故.

选②：当时，显然成立；

当时，因为所以，

当且仅当，即时，等号成立.

，

综上：成立.

【点睛】在“已知求的最值”时，经常采用“1”的妙用的方法.

21．已知函数.

(1)在给定的坐标系中作出在上的图象；

(2)若函数（，且），且当时，的图象始终在的图象上方，求的取值范围.

【答案】(1)图象见解析

(2)

【分析】（1）运用零点分段法去掉绝对值符号后可画图；（2）函数必定是单调函数，故我们只需讨论函数递增还是递减，然后结合图像可得.

【详解】（1）当时，，当时，，

在上的图象如图所示.

（2）由题意得的图象过定点.

当时，在上单调递增，所以，得.

当时，在上单调递减，所以，

得，即.

综上，的取值范围为.

22．已知函数.

(1)求关于的不等式的解集；

(2)已知函数，若的最小值为，求满足的的值.

【答案】(1)

(2)0或2

【分析】（1）消去后直接解不等式即可；（2）将代入的表达式中，整理进行换元可将表达式整理成一个含参的二次函数在定区间的最值问题，可求出的最小值为后解方程即可.

【详解】（1）由题意：，得，所以，得.

故不等式的解集为：.

（2）由题意得，

令，因为，所以.

设函数，.

当，即时，在上单调递减，在上单调递增.

所以，得或（舍去）.

当，即时，在上单调递增，

所以，得或（舍去）.

综上，的值为0或2.

【点睛】复合函数求最值要多注意换元法，可以考虑从里层函数往外剥洋葱一样的方式一层一层往外求；含参的二次函数在定区间的最值，一般都需要分类讨论，讨论顶点横坐标和区间的位置关系.