2022-2023学年河南省新密市第一高级中学高一第二次线上考试（11月）数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省新密市第一高级中学高一第二次线上考试（11月）数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解一元二次不等式，对数函数不等式，求出，从而求出并集.
【详解】，解得：，
故，
又，
所以，
即.
故选：B
2．已知幂函数在上为增函数，则函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由幂函数的性质得，再根据函数零点的存在性定理求解即可.
【详解】解：由幂函数性质得，解得，
所以，
由于，，，，，
所以根据零点的存在性定理得的零点所在的区间为
故选：C
3．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据基本不等式可得到a＝2，b＝1，得到g(x)＝2|x＋1|，该函数图象可看做y＝2|x|的图像向左平移1个单位得到，从而求得结果.
【详解】因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，
所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，
当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，
所以a＝2，b＝1，
此时g(x)＝2|x＋1|＝
此函数图象可以看作由函数y＝的图象向左平移1个单位得到．
结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值和指数函数的图像和性质，利用基本不等式求出a＝2，b＝1是本题的关键，考查学生的逻辑推理能力和综合分析能力，属中档题.
4．已知，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，令，求出的值，再计算对应的值．
【详解】，且（a），
令，
解得，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目．
5．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据充分不必要条件可知，即可求的a的范围.
【详解】由题意可得，则需，解得，即实数a的取值范围是.
故选：C.
6．是定义在上的偶函数，在任取且，恒有，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据是偶函数以及其单调性，结合对数函数单调性，即可比较大小.
【详解】由题可知，为偶函数，且当时，单调递增，
则
又，
故，即.
故选：C.
7．已知定义在上的函数在上单调递增，若，且函数为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题知函数的图像关于直线对称，进而根据对称性得可得，可得或，再解不等式即可.
【详解】解：因为函数为偶函数，所以函数的图像关于直线对称，
因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，
因为，所以，
所以由可得，由可得或，
解不等式，可得或，解得或，
所以，不等式的解集为．
故选：B
8．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先作函数和的图象，利用特殊值验证A错误，再结合对数函数的性质及二次函数的对称性，计算判断BCD的正误即可.
【详解】作函数和的图象，如图所示：
当时，，即，解得，此时，故A错误；
结合图象知，，当时，可知是方程，即的二根，故，，端点取不到，故BC错误；
当时，，即，
故，即，所以，
故，即，所以，故D正确.
故选：D.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点个数求参数值(取值范围)或相关问题，常先分离参数，再作图象，将问题转化成函数图象的交点问题，利用数形结合法进行分析即可.
二、多选题
9．下列选项中说法错误的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域是
B．函数的单调递增区间是
C．设，则“”是“”的充要条件
D．函数的最小值为
【答案】BCD
【分析】A选项，抽象函数定义域问题，要注意两点，一是定义域是指的取值范围，二是同一对应法则下，括号内对应的取值范围相同；
B选项，单调区间不能用并集符号连接，B错误；
C选项，举出反例，得到充分性不成立，C错误；
D选项，对函数变形后利用基本不等式进行求解，但等号取不到，D错误.
【详解】A选项，因为的定义域为，所以，
则函数的定义域是，A说法正确；
B选项，函数的单调递增区间是，不能用并集符合连接，B错误；
C选项，当时，，故充分性不成立，C错误；
D选项，函数，
当且仅当，即，时，等号成立，
但无解，故等号取不到，D错误.
故选：BCD
10．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．的否定“”
B．函数（其中，且）的图象过定点
C．当时，幂函数的图象是一条直线
D．若函数，则
【答案】BD
【分析】根据命题的否定；指数型，对数型函数恒过定点；幂函数无意义；换元法求函数解析式解决即可.
【详解】对于A，的否定“”，故A错误；
对于B，函数（其中，且），当，即时，的图象过定点；故B正确；
对于C，当时，因为无意义，所以幂函数的图象不是是一条直线；故C错误；
对于D，因为函数，
令，
所以，
所以
所以，故D正确.
故选：BD
11．已知函数若对都有， 则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用题意判断函数单调性，从而求出参数的取值范围即可
【详解】因为函数对都有
所以函数为上单调函数
要使在上单调，结合分式型函数性质知：函数在上单调递增函数，
所以.
故选：AC.
12．已知函数的定义域，为奇函数，为偶函数，当时，则以下结论正确的有（ ）
A．点不是的图象的对称中心
B．，
C．当时，
D．
【答案】BCD
【分析】A选项：根据为奇函数，得到时的对称中心，再利用为偶函数即可得到也是的对称中心；
B选项：根据为奇函数，得到，再利用为偶函数得到，即可得到；
C选项：根据的对称性，可得时的图象也是二次函数图象的一部分，且形状和的图象相同，然后用待定系数法求解析式即可；
D选项：根据得到4是的一个周期，然后结合对称性求即可.
【详解】A选项：为奇函数，则时的对称中心，又为偶函数，所以也是的对称中心，故A错；
B选项：为奇函数，则，又为偶函数，所以，可整理为，故B正确；
C选项：由时，，再结合对称性可得时的图象也是二次函数图象的一部分，设 ，，，代入可得，解得，所以时，，故C正确；
D选项：由，可得，所以4是的一个周期，，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．圆的半径是6 cm，则圆心角为30°的扇形面积是_________．
【答案】3π
【分析】根据扇形的面积公式即可计算.
【详解】,.
故答案为：3π.
14．函数的递减区间是__________.
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，然后再根据函数和函数的单调性进行判断后可得答案．
【详解】由，可得，解得，
∴函数的定义域为．
又函数在上单调递增，
函数在上单调递增，在上单调递减，
∴函数在上单调递增，在上单调递减．
∴函数 的递减区间是．
故答案为：．
15．已知函数若是函数的最小值，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【分析】考虑分段函数的两段函数的最小值，要使是函数的最小值，应满足哪些条件，据此列出关于a的不等式，解得答案.
【详解】要使是函数的最小值，
则当 时，函数应为减函数，
那么此时图象的对称轴应位于y轴上或y轴右侧，即
当 时，，当且仅当x=1时取等号，
则，解得，
所以 ，
故答案为：.
16．已知函数若函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【分析】作出函数的图象，利用换元法，结合函数零点定义、数形结合思想进行求解即可.
【详解】令，则.作出函数的图象，如图所示，
由图象可知当时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点，当时，函数有三个零点.要使关于x的函数有6个不同的零点，则函数有两个不同的零点，且，，则由根的分布可得解得，即实数m的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：运用数形结合思想、换元法是解题的关键.
四、解答题
17．计算：
（1），
（2）.
【答案】（1）210；（2）
【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质即可求出结果.
【详解】（1）原式=2(×)6+ −4×−×+1
=2×22×33+2-7-2+1
=210．
（2）原式=2-2++lg24
=+2
=
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式和对数的运算性质，考查计算能力.
18．已知集合，函数的定义域为B.
（1）求；
（2）已知集合，若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）先利用指数函数的单调性和对数函数的定义域求法化简集合A，B，再利用集合的补集、交集运算求解；
（2）根据，分，两种情况讨论求解.
【详解】（1）因为集合，
，或，
所以；
（2）已知集合，
因为，
当时，，解得，成立；
当时，则或，
解得或，
综上：实数m的取值范围是或，.
19．已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）设函数，当时，求的最小值；
（3）设函数，若对任意，总存在，使得成立，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】(1) 根据二次函数,则可设,再根据题中所给的条件列出对
应的等式对比得出所求的系数即可.
(2)根据(1)中所求的求得,再分析对称轴与区间的位置关系进行分类讨论求解的最小值即可.
(3)根据题意可知需求与在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.
【详解】(1)设.
①∵,∴,
又∵,
∴,可得,
∴解得即.
(2)由题意知,,,对称轴为.
①当,即时,函数h(x)在上单调递增,
即；
②当,即时,函数h(x)在上单调递减,在上单调递增,
即.
综上,
(3)由题意可知,
∵函数在上单调递增,故最小值为,
函数在上单调递减,故最小值为,
∴,解得.
【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.
20．在某市举行的科技博览会上，某公司带来的一种小型智能设备大受欢迎，该公司决定将该设备大量投放国内市场.已知该种设备的年固定研发成本为250万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：
(1)写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式.（利润销售收入成本）
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大年利润.
【答案】(1)
(2)当年产量为90万台时，该公司获得的年利润最大，最大为1000万元.
【分析】（1）根据利润销售收入成本进行求解即可；
（2）利用二次函数的性质、基本不等式分类讨论求解即可.
【详解】（1）
（2）当时，，
故当时，，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，.
所以当年产量为90万台时，该公司获得的年利润最大，最大为1000万元.
21．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1),；(2)证明见解析；(3)
【分析】（1）由求得；由求得；
（2）利用单调性的定义证明即可；
（3）根据奇函数和单调性脱去“”，得到关于的不等式恒成立，根据二次函数的性质即可求解的范围．
【详解】(1)∵为上的奇函数，
∴由得，
又得，
,；
(2)任取，且，则
，
∵, ∴，
∵ ，
∴，
即，
故为上的减函数；
（3）由得，
∵是奇函数,∴，
∵在上为减函数 ，
∴对恒成立，即恒成立，
当时显然不成立，
当时，满足，解得，
综上可得：．
【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，以及转化思想的应用，二次函数的最值以及单调性的应用，是中档题．
22．已知函数，且，其中为奇函数，为偶函数.
（1）求的解析式：
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据函数奇偶性定义，解出奇函数和偶函数的表达式即可；
（2）代入到中，分离参数，将问题转化为函数的最值问题来解．
【详解】解：（1）为定义在上的偶函数，为定义在上的奇函数，
，，
又由，
，
，；
（2）不等式在，上恒成立，
化简为，
，
，，
令，则．
则原式可化为，，恒成立．
显然当时，取得最大值，
．
【点睛】本题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．