2022-2023学年河南省郑州市回民高级中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省郑州市回民高级中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下面给出的四类对象中，能构成集合的是（ ）
A．郑州回高2022年入学的高一年级新生中身高较高的全体学生
B．郑州市很受欢迎的主题游乐园
C．河南省所有的5A级风景区
D．中国全域内较大的湖泊
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性逐一判断各选项作答.
【详解】对于A，高一年级新生中身高较高的学生，对象不能确定，没有衡量较高的标准，A不是；
对于B，很受欢迎的主题游乐园，对象不能确定，无法界定很受欢迎的标准，B不是；
对于C，河南省所有的5A级风景区，对象明确可知，能判断一个风景区是与不是河南省所有的5A级风景区中的元素，C是；
对于D，中国全域内较大的湖泊，对象不能确定，没有衡量较大的标准，D不是.
故选：C
2．已知非空数集A，B，命题p：对于，都有，则p的否定是（ ）
A．对于，都有B．对于，都有
C．，使D．，使
【答案】D
【分析】直接写出全称量词命题的否定即可．
【详解】命题“对于，都有”的否定是：“，使”．
故选：D．
3．已知，，，则P与Q的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】A
【分析】作差并整理可得，通过判断差的正负，即可得出答案．
【详解】
∵，∴
∴
又∵
∴，即．
故选：A．
4．已知集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中不能表示阴影区域的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的韦恩图，求出阴影区域对应的集合表示式即可作答.
【详解】由韦恩图知，阴影区域的所有元素都在集合B中，都不在集合A中，
因此阴影区域对应的集合为，或，或，即选项A，C，D都正确；
对于B，阴影区域对应的集合真包含于，B不正确.
故选：B
5．已知集合，方程无实根，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据方程无实数根求出参数的取值范围，即可得到集合，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】解：由，即，解得，所以，
又方程无实根，当时方程显然无解；
当时，解得，
所以，即方程无实根，
因为，
所以“”是“”的充分不必要条件；
故选：A
6．若，，，则这三个集合间的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答.
【详解】依题意，，，
，而，{偶数}，
因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即，
所以.
故选：C
7．已知，，若，则的最小值是（ ）
A．9B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求解作答.
【详解】，，，则，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故选：B
8．已知集合 ，，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】解一元二次不等式化简集合B，分类讨论解不等式化简集合A，再借助求解作答.
【详解】解不等式得：，即，而，
不等式，
当时，或，或，显然，
当时，，，显然，
当时，，，由得，解得，
当时，，则，
当时，，，恒有，则，综上得，
所以实数a的取值范围是.
故选：C
二、多选题
9．已知集合，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】解出集合A，根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系即可判断．
【详解】
由于，则选项A正确；
由于，则选项B不正确；
由于，则选项C正确；
由于，则选项D不正确．
故选：AC．
10．使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】BCD
【分析】求解不等式的解集，结合选项及充分不必要的判定得答案．
【详解】∵，∴，∴或，
∴结合选项可得，使“”成立的一个充分不必要条件可以是：
“或”；“”；“”．
故选：BCD．
11．下列说法正确的是（ ）
A．不论a取何实数，命题p：“，”为真命题
B．不论b取何实数，命题q：“二次函数的图像关于y轴对称”为真命题
C．不论k取何实数，命题s：“方程必有两个负实根”为真命题
D．不论m取何实数，命题t：“，使不等式成立”为真命题
【答案】AB
【分析】对于任意实数a，分析不等式有正数解判断A；由二次函数对称轴判断B；由根与系数的关系判断C；举例说明判断D作答.
【详解】对于A，，方程中，，即一元二次方程
有不等实根，显然，即，因此不等式的解集为，
当时，，A正确；
对于B，，二次函数的图像对称轴为y轴，因此二次函数的图像关于y轴对称，B正确；
对于C，，方程两根之积均为负数，有异号两根，命题“方程必有两个负实根”不正确，C错误；
对于D，因当时，不等式的解集为，即不存在使不等式成立，D错误.
故选：AB
12．已知不等式，下列说法正确的是（ ）
A．若，则不等式的解集为
B．若，则不等式的解集为
C．若，则不等式的解集为或
D．若，则不等式的解集为
【答案】BD
【分析】结合的取值范围分类讨论，可求出不等式的解集，即可得到答案．
【详解】不等式，
整理得，即，
若，则，所以不等式的解集为，故选项A错误；
若，则，所以不等式的解集为，故选项B正确；
若，则，所以不等式的解集为，故选项C错误；
若，则，所以不等式的解集为，故选项D正确．
故选：BD．
三、填空题
13．已知集合，集合，且CBA，则符合上述条件的集合B的个数为_______．
【答案】6
【分析】利用列举法表示出集合A，C，再根据给定条件求出集合B的可能情况作答.
【详解】依题意，，因CBA，则B，
因此集合B的可能情况有：，共6个，
所以符合条件的集合B的个数为6.
故答案为：6
14．已知，则函数的最大值为____________
【答案】
【分析】利用基本不等式即可得到结果.
【详解】
∴
当时，等号成立，其最大值为，
故答案为：
15．若不等式的解集是，则不等式的解集为_______．
【答案】
【分析】根据给定的解集，求出参数的关系，再代入解一元二次不等式作答.
【详解】因不等式的解集是，则是方程的两个根，且，
则有，即有，且，不等式化为，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
16．已知为实数，命题甲：关于的不等式的解集为；命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围为_______．
【答案】
【分析】通过分类讨论可求得命题甲为真命题时的取值范围；根据一元二次方程根的特征，求得命题乙为真命题时的取值范围，进而得到甲、乙至少有一个为真命题时，实数的取值范围．
【详解】由命题甲：关于的不等式的解集为，
当时，不等式恒成立；
当时，则满足，解得，
综上可得．
由命题乙：关于的方程有两个不相等的负实数根，
则满足，整理得，
所以，解得．
所以甲、乙至少有一个为真命题时，有或，
可得，即实数的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题
17．已知集合，集合．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义、补集的定义求解作答.
【详解】(1)解不等式得：，而，
所以.
(2)由（1）知或，或，
所以或.
18．（1）已知，，求的取值范围；
（2）已知x，y，z都是正数，求证：．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【分析】（1）将表示成，再根据不等式的性质求解即可；
（2）利用基本不等式即可得证．
【详解】（1）令
所以，得
所以
因为，
所以，
所以，即
故的取值范围为．
（2）证明：由x，y，z都是正数，
则，，
相加可得，，当且仅当时，取得等号．
19．已知集合，集合
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若，则，即是方程的根，由此求解即可；
（2）因为，所以，分情况讨论，求解即可．
【详解】(1)因为，且
所以，即是方程的根
所以，得
则
所以．
(2)因为，所以
对于方程，
①当即时，，满足
②当即或时，
因为，所以或或
当时，，得
当时，，无解
当时，，无解
综上所述，．
20．已知集合，命题p：“不等式对一切实数x都成立．
(1)若命题p是真命题，求实数k的取值范围；
(2)当命题p是真命题时，记实数k的取值范围对应集合为集合B，若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分、、三种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围；
（2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.
【详解】(1)解：因为命题p：“不等式一切实数都成立”是真命题，
当时，成立；当时，不成立；
当时，，所以
综上所述，
(2)解：因为，所以，
由（1）可得，
因为，
当，即时，，满足，
当，即时，，
若，则，不等式组无解，
综上所述，.
21．如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角(图中四个三角形)铺草坪，造价为80元/m2.
（1）设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)，求出S关于x的函数关系式；.
（2）当AD长取何值时，总造价S最小，并求这个最小值.
【答案】（1）；（2）当AD的长为米时，总造价有最小值11800元.
【解析】（1）设，，根据正方形、长方形的面积公式得出，再由相应单价乘以面积得出S关于x的函数关系式；
（2）由基本不等式求出最小值即可.
【详解】解：（1）设，则，所以所以，
所以
（2）因为
当且仅当，即时，(元)
答：当AD的长为米时，总造价有最小值11800元.
22．已知非空集合，集合，命题，命题．
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）当实数为何值时，是的充要条件．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求解二次不等式以及分式不等式解得集合，根据，分类讨论，即可列出不等式求得参数范围；
（2）根据（1）中所求，结合是的充要条件，即可容易求得结果.
【详解】（1）解不等式，即，解得，则.
由于是的充分不必要条件，则A，又，
①当时，即当或时，，满足题意；
②当时，即当或时，，
因为A，则，解得，
又当，，不合乎题意.所以；
③当时，即当时，因为A，则，此时.
综上所述，实数的取值范围是；
（2）由于是的充要条件，则，
所以，和1是方程的两根，
由韦达定理得，解得.
故.
【点睛】本题考查利用充分不必要条件、充要条件求参数，考查运算求解能力，属于中等题.
（1）解出集合，由题意得出，可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围；
（2）由题意，进而可得出和是方程的两根，利用韦达定理可求得实数的值.