2022-2023学年湖北省武汉市高一上学期期末模拟（四）数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市高一上学期期末模拟（四）数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系求解.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
2．已知.则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用表示，由此求得的取值范围.
【详解】因为，且，
而，
所以，即.
故选：C
3．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性和函数值的正负进行判断即可得到选项.
【详解】函数定义域为，且，函数为奇函数，排除C、D；
又函数，排除B．
故选：A
4．在中，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角函数诱导公式对原式进行化简可得的值，利用平方关系得到的值，再结合三角形的内角，求解的值，进而得到的值，即可求解.
【详解】解：在中，，
平方得，，
因为A为三角形的一个内角，所以，，
所以，，
所以，结合，可得，，
所以.
故选：A.
5．已知函数，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用幂函数的性质比较、、大小，再由单调性比较a、b、c大小.
【详解】由，，即，
所以，又，
所以，而递增，
故
故选：D
6．已知，且，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】转化后由基本不等式“1”的妙用求解
【详解】因为，，所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立.所以的最小值为2.
故选：A
7．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上,则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出的解析式，根据在上递增可得，再根据最大的负零点的范围可得，故可得的取值范围.
【详解】，
令，则.
故轴右侧的第一条对称轴为，左侧第一条对称轴为，
所以，所以.
令，则，故，
最大的负零点为，所以即，
综上，，故选B.
【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响.三角函数图像问题中的参数的取值范围问题，常常需要结合图像的对称轴和对称中心来考虑.
8．已知函数，若函数恰有2个零点，，且，且的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质，结合二次函数的性质、函数零点的定义，分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，
，
当时，，
当时，当时，函数单调递增，即，
当时，函数单调递增，即，
所以当时，函数单调递增，且当时，，
当时，，因此函数有一个零点，不符合题意；
当时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
故函数有最小值，最小值为，
当时，函数单调递减，而，
当时，因为，所以有，这时函数有两个零点，
且，是方程的两个根， 则有，
则有，设，显然，
所以有：，
即，而，
所以，或，而，
所以，或，
由，而，
所以有且，所以，故舍去，
因此；
当时，因为，所以有，即，
当时，因为，所以，
此时，因为，所以，
因此有，而，所以有 ，
综上所述：，
故选：B
【点睛】关键点睛：利用分类讨论思想，结合二次函数的性质是解题的关键.
二、多选题
9．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】ABD
【分析】根据一元二次不等式可求两个不等式的解，根据不等式组的解只有一个整数解，结合两不等式的解的交集，即可确定第二个不等式端点需要满足的关系，即可列不等式求解.
【详解】解不等式，得或
解方程，得
（1）当，即时，不等式的解为：
此时不等式组的解集为，依题意，则，即；
（2）当，即时，不等式的解为：，要使不等式组的解集中只有一个整数，
则需满足：，即；
所以k的取值范围为.
故选：ABD.
10．下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．任意的正数， 且，都有
C．若正数、满足，则的最小值为3
D．设、为实数，若，则的最大值为
【答案】BCD
【分析】对于A、B、C选项直接用均值不等式计算即可.对于D选项，先用均值不等式计算 ，将结果代入已知得到的范围，再将配方、解出不等式即可.
【详解】选项A： ，
当 时， ，当且仅当时有最小值.
故A不正确.
选项B：
对于任意正数 ， ，而 ，所以 ，
当且仅当 时取得最大值.
所以 ，当且仅当时取得最大值.
故B正确.
选项C：对于正数， ,所以
所以

当且仅当 ，即时取得最小值.
故C正确.
选项D：因
所以 ，即
所以 ，当且仅当 时等号成立.
故D正确.
故选：BCD.
11．已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（ ）
A．在区间上有且仅有个不同的零点
B．的最小正周期可能是
C．的取值范围是
D．在区间上单调递增
【答案】BC
【分析】根据三角函数对称轴情况可得的取值范围，进而判断各选项.
【详解】解：由函数（），
令，，则，，
函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，
由，得，即，
则，，，，
即，
，C正确；
对于A，，，
，
当时，在区间上有且仅有个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有个不同的零点；故A错误；
对于B，周期，由，则，
，
又，所以的最小正周期可能是，故B正确；
对于D，，，
又，
又，所以在区间上不一定单调递增，故D错误；
故选：BC．
12．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
【答案】AC
【分析】函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；
若函数的值域为等价于的最小值为，由此可列出方程，即可求出实数的值；
若函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；
若，，即可解出不等式；即可选出答案.
【详解】对于A，因为的定义域为，所以恒成立，则，解得，故A正确；
对于B，因为的值域为，所以的最小值为，所以，解得，故B错误；
对于C，因为函数在区间上为增函数，
所以当m=0时，，符合题意；
当时，，解得；所以，故C正确；
对于D，当m=0时，，由，可得，解得，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．设或，或，，是的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是______．
【答案】##.
【分析】转化为集合问题，利用集合的真包含关系进行求解.
【详解】设集合或，或，．
因为是的充分而不必要条件，所以，所以，（等号不同时取到），解得．
故答案为：.
14．已知，，则______．
【答案】##0.36
【分析】由指数与对数的运算性质求解
【详解】因为，所以，又，所以，
所以，，
故答案为：
15．已知，，则的值为___________.
【答案】
【分析】由积化和差公式与和角公式，可得答案.
【详解】因为，所以.①
因为，所以.②
因为，所以由得，即.
所以.
故答案为：
16．定义函数，表示函数与较小的函数．设函数，，p为正实数，若关于x的方程恰有三个不同的解，则这三个解的和是________．
【答案】
【解析】根据新定义,将函数分类讨论确定解析式形式.对分类讨论,确定的取值范围.进而得符合题意的解析式.根据解析式判断函数的单调性,结合函数示意图,即可求得方程的三个根,进而求得三个零点的和.
【详解】因为,
则 ,
所以,,
当时, ,所以此时
则
若,当时, ,所以此时,则;当时, ,所以此时,则
综上可知,
此时在R上只有两个根,与题意恰有三个不同的解矛盾,所以不成立
因而不成立,所以
若,当时, ,由可解得
所以此时
当时, ,此时,所以
因为,即
综上可知,此时
所以在上单调递减,此时
在上单调递增,此时
在上单调递减,此时
在上单调递增,此时
函数图像示意图如下图所示:
当时,即
解得
所以三个零点的和为
故答案为:
【点睛】本题考查了函数在新定义中的应用,分类讨论确定函数解析式,函数零点的意义及求法,综合性强,属于难题.
四、解答题
17．已知集合，集合.
(1)若；求实数m的取值范围；
(2)命题，命题，若p是q的充分条件，求实数m的取值集合.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）讨论或，根据列不等式组即可求解.
（2）由题意得出A⊆B，再由集合的包含关系列不等式组即可求解.
【详解】（1）∵，∴当时，m－1≥m2，解得：m∈∅.
当时，m－1≥4或m2≤2，∴或.
（2）∵x∈A是x∈B的充分条件，∴A⊆B，
∴，解得：m≤－2或2≤m≤3.
所以实数m的取值集合为或
18．已知函数.
(1)若函数的图象过点，且，求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换整理化简，根据题意代入整理得，结合角的范围求解；
（2）根据题意代入整理，以为整体运算求解，注意根据角的范围判断三角函数值的符号．
【详解】（1）因为.
所以.
因为函数的图象过点，
所以.
因为，所以，所以，解得.
（2）因为，所以.
因为，所以.
所以，
又，所以.
因为，所以，所以.
19．已知幂函数的定义域为全体实数R.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式;
（2）将在上恒成立转化为函数在上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．
【详解】（1）∵是幂函数，∴，∴或2.
当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，
∴m＝2,∴.
（2）即，要使此不等式在上恒成立，
令,只需使函数在上的最小值大于0.
∵图象的对称轴为，故在上单调递减，
∴，
由，得，
∴实数k的取值范围是.
20．已知函数，.
(1)求的最小正周期、对称轴和单调递增区间；
(2)若函数与关于直线对称，求在闭区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)最小正周期为，对称轴为，单调增区间为
(2)；
【分析】（1）对的解析式化简整理，结合正弦函数的图像与性质即可求出最小正周期、对称轴和单调递增区间；
（2）结合轴对称求出的解析式，进而结合正弦函数的图像与性质即可求出最值.
【详解】（1）由
.
函数的最小正周期为，
令得，故对称轴为，
由得，
即单调增区间为.
（2）设图像上任意一点为，
点关于对称的点在函数上，即
，
又，所以，则，
故，
所以；.
21．已知，函数.
(1)若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
(2)若关于的方程有两个不同实数根，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)利用函数的单调性去掉法则转化成不等式组恒成立，再借助均值不等式计算作答.
(2)求出方程的二根，再结合对数函数的意义讨论即可计算作答.
【详解】（1）依题意，，，
，，而恒有，于是得，
，，而，
当且仅当，即时取“=”，于是得，因此有，
所以实数的取值范围是.
（2）依题意，，
由，
因此，，，解得，，
因原方程有两个不同实数根，则，解得且，
所以的取值范围是.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，函数的定义域为D，(1)成立⇔；
(2)成立⇔.
22．已知，函数，其中．
(1)设，求t的取值范围，并把表示为t的函数；
(2)若对区间内的任意，总有，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由已知可得，即，代入即可求得；
（2）问题转化为对成立，由二次函数分类讨论即可求解.
【详解】（1），
，，从而，，
又，∴，
又，∴，
（2）要使得对区间内的任意恒成立，
只需，也就是对成立
二次函数，，开口向下，对称轴为
①当时，即，函数在上单调递减，
则，解得
②当时，即，函数在上单调递增，在上单调递减，
则，解得
③当时，即，函数在上单调递增，
则，解得
综上，实数a的取值范围是