2022-2023学年河北省金大联考高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省金大联考高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．下列图形能表示函数图像的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的概念进行判断.

【详解】解：根据函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数图像至多有一个交点，

只有C正确．

故选：C．

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由函数解析式有意义，列出不等式组求解即可.

【详解】由，解得且，

故函数的定义域为．

故选：B．

3．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．集合有两个真子集

C．若，则 D．不存在奇数的立方是偶数

【答案】D

【分析】对于A、C,取反例否定结论；对于B：利用真子集的定义即可判断；对于D：由立方运算直接判断.

【详解】对于A：当时，，故A不正确；

对于B：的真子集为，只有一个，故B不正确；

对于C：时，不成立，故C不正确；

对于D：任何奇数的立方均为奇数，故D正确．

故选：D．

4．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】题中阴影部分表示的集合为，再根据交集，并集个补集的运算即可得解.

【详解】解：，

阴影部分表示的集合为或．

故选：D．

5．已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解，

【详解】由题意可知恒成立．

①当时，恒成立；

②当时，，解得．

综上：．

故选：C

6．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性与单调性判断，

【详解】由题意可知，在上单调递减，而是偶函数，

故在上单调递增，，

故选：A

7．对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，那么使得不等式成立的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由不等式解得的范围，然后根据的定义求出的范围．

【详解】由，即，解得，则．

故选：D．

8．已知函数设，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分类讨论，分别解不等式求出a的取值范围.

【详解】当时，，

，当时，，

，当时，，则，

当时，，

（当且仅当时等号成立），当时，，（当且仅当时等号成立），当时，，

则.

综上，

故选：A．

二、多选题

9．已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ）

A．0 B．8 C．16 D．20

【答案】ACD

【分析】求出函数的对称轴，结合函数的单调性，得到不等式解出即可．

【详解】函数的对称轴为，

若函数在区间上单调，则或，解得或．

故选：ACD.

10．已知集合，当时，的值可以是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】AC

【分析】由集合解出m、n，即可求解.

【详解】i.当时，；

ii.当时，，此时，则．

故选：AC．

11．是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是（    ）

A．的单调递增区间为

B．

C．的最大值为4

D．的解集为

【答案】ABD

【分析】A选项，画出函数图象，但两个单调递增区间不能用并集符合连接；

B选项，根据奇偶性得到，结合函数在上的单调性作出判断；

C选项，时，配方求出的最大值，结合函数奇偶性得到的最大值；

D选项，由图象求出的解集为.

【详解】因为是定义在上的偶函数，当时，，

当，，故，

画出的图象如下：

A：两个单调递增区间中间要用和或逗号分开，故A错误；

B：在上单调递减，则，故B错误；

C：当时，最大值为4，又因为是偶函数，故C正确；

D：的解集为，故D错误．

故选：ABD．

12．已知函数若互不相等的实数满足，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】首先根据题意画出函数的图象，得到，，即可得到答案.

【详解】函数的图象图所示：

设，因为，

所以，

当时，，时，，

所以，即.

故选：CD

三、填空题

13．已知集合，若，则a的值为___________．

【答案】

【分析】利用集合的包含关系列方程即可求解.

【详解】当时，即.当时，，不合题意，舍去；当时，，满足题意.

当时，，不合题意，舍去.

故．

故答案为：-2.

14．已知幂函数在上单调递增，则m的值为__________．

【答案】4

【分析】根据幂函数的定义及单调性，求出m的值.

【详解】由题意得：，解得：或4，

又幂函数在上单调递增，所以，

解得：，

综上：m的值是4.

15．已知函数，且，则的值为____________．

【答案】

【分析】由奇函数的性质求解，

【详解】，令，

∵，∴为奇函数，∴，

则，得.

故答案为：

16．已知实数，则的最小值为____________．

【答案】##

【分析】由换元法与基本不等式求解，

【详解】令，

（当且仅当，即时，取等号）．

故答案为：

四、解答题

17．已知全集，，．

(1)求；

(2)求和．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）求出集合，利用并集的定义可求得集合；

（2）求出集合，利用交集、补集和并集的定义可求得所求集合.

【详解】（1）解：对于函数，有，即，解得，

所以，，因此，.

（2）解：，则，，

因此，.

18．已知全集，集合，集合，其中．

(1)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围；

(2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由“”是“”的充分条件，可得，从而可得关于的不等式组，求解即可；

（2）由“”是“”的必要条件，可得，然后分和两种情况求解即可．

【详解】（1）因为“”是“”的充分条件，故，

则，即，解得，

则a的取值范围为；

（2）因为“”是“”是必要条件，故，

①当时，，即，符合题意；

②当时，

则，即，解得，

综上所述：a的取值范围为．

19．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增．

(1)证明：函数在上单调递减；

(2)解关于x的不等式．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据函数的单调性定义再结合偶函数的性质求解即可.

（2）根据已知条件将不等式等价于，再解不等式即可.

【详解】（1）设任意，且，

则，

因为在上单调递增，

所以，

又因为是偶函数，

所以，则在上单调递减；

（2）因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减，在为增函数，

所以不等式等价于，

即，解得.

则不等式的解集为．

20．（1）已知，求的最小值；

（2）已知，求的最小值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用基本不等式即可得解；

（2）利用换元法，将用表示，再根据基本不等式即可得解.

【详解】解：（1），

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为；

（2）因为，则，

所以，

所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

则侧的最小值为．

21．2022年2月4日北京冬奥会在全世界的瞩目下拉开大幕，北京成为了迄令为止，世界上第一个双奥之城，北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡，探索未来，更是受到了各国友人的抢购，造成了一墩难求的局面，某冬奥官方纪念品销售处在2022年1月累计销量突破了40万件．现某企业计划引进新的生产设备和新的产品方案，通过市场分析，2022年2月每生产x（万件）获利（万元），该公司预计2022年2月这个新产品的其他成本总投入为万元．由市场调研分析得知，当前该产品的冰墩墩供不应求．记该企业2022年2月的利润为（单位：万元）．

(1)求函数的解析式；

(2)当2022年2月该产品的冰墩墩的产量为多少万件时，该企业2月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由．

【答案】(1)

(2)当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元

【分析】（1）由题意列式求解，

（2）由二次函数性质与基本不等式求解，

【详解】（1）由已知，，

又

（2）当时，，

则当时，；

当时，，

当且仅当，即时，，

∵，∴的最大值为390，

故当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元．

22．已知函数．

(1)求函数的值域；

(2)已知a为实数，函数的最大值为，求．

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）先根据函数定义域求出，求出，结合，恒大于0求出值域；

（2）设，换元后得到，分三种情况，求出最大值，得到.

【详解】（1）由，

，

∵

∴，

∴，

∵恒大于0，

∴的值域为；

（2），

令，则，即，

则．

①当时，在上单调递增，；

②当时，开口向上，对称轴为，

在上单调递增，；

③当a<0时，当，即时，在上单调递减，

故，

当，即时，在上单调递增，在上单调递减，

故，

当，即时，在上单调递增，

故.

综上所述：.