2022-2023学年黑龙江省佳木斯市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省佳木斯市第二中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，若，，则等于

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】根据题意得到，=，故得到=.

故答案为D.

2．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解不等式即可求解.

【详解】由题意可得：可得：且，

所以函数的定义域为，

故选：D.

3．下列不等式中成立的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.

【详解】A. 若，则错误，如时，，所以该选项错误；    

B. 若，则，所以该选项正确；

C. 若，则，所以该选项错误；

D. 若，则，所以该选项错误.

故选：B

4．奇函数f(x)在(0，＋∞)上的解析式是f(x)＝x(1－x)，则在(－∞，0)上，函数f(x)的解析式是（    ）

A．f(x)＝－x(1－x) B．f(x)＝x(1＋x)

C．f(x)＝－x(1＋x) D．f(x)＝-x(x－1)

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.

【详解】依题意，是奇函数，

当时，，

所以.

故选：B

5．命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先化简命题是假命题对应的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果.

【详解】命题为假命题，即命题为真命题，首先，时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，综上可知，.

故选项A中，是的充分必要条件；

选项B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要条件；

选项C中可推出，且推不出，即是的一个充分不必要条件；

选项D中推不出，且可推出，即是的一个必要不充分条件.

故选：C.

6．已知函数，则函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性求解即可.

【详解】解：令，解得，

所以，函数的定义域为，值域为，

因为函数在上单调递增，在上单调递减，

函数在定义域内为增函数，

所以，根据复合函数单调性得在上单调递增，在上单调递减，

故选：D

7．已知定义在上的奇函数在上单调递减，定义在上的偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性与单调性，依次讨论，，，时的符号即可得答案.

【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，

因为定义在上的偶函数在上单调递增，且，

所以在上是单调递减，且.

所以，当时，，，；

当时，，，；

当时，，，；

当时，，，；

故满足的的取值范围是

故选：B

8．已知，，，下列不等式正确的个数有（    ）

①，②，③，④.

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】由于，得，根据基本不等式对选项一一判断即可．

【详解】因为，，，

所以，得，当且仅当时取等号，②对；

由，当且仅当时取等号，①对；

由得，所以，当且仅当时取等号，③对；

由，当且仅当时取等号，④对

故选：D

二、多选题

9．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】CD

【分析】分别判断各个选项中的两个函数的对应法则和定义域是否相同，从而得出答案.

【详解】选项A. 函数与的法则不同，故不是同一函数.

选项B. 的定义域为，的定义域为，

他们的定义域不同，故不是同一函数.

选项C. 函数与的对应法则和定义域均相同

所以他们表示同一函数.

选项D. 函数与的对应法则和定义域均相同，所以他们表示同一函数.

故选：CD

10．下列函数中，当0≤x≤2时，y随x的增大而减小的是（　　）

A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣4x+5 C．y＝x2 D．y＝

【答案】AB

【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性逐一判断即可.

【详解】一次函数y＝﹣x+1解析式中x的系数为负数，所以该一次函数是实数集上的减函数，当然符合题意；

二次函数y＝x2﹣4x+5的对称轴为，而且开口向上，所以当0≤x≤2时，该函数单调递减，符合题意；

二次函数y＝x2的对称轴为纵轴，且开口向上，所以当0≤x≤2时，该函数单调递增，不符合题意；

反比例函数y＝的定义域为，显然不符合题意，

故选：AB

11．已知函数是上的减函数，则实数的可能的取值有（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】ABC

【分析】根据题意可得，解之即可得解.

【详解】因为函数是上的减函数，

所以

解得.

故ABC正确，D错误

故选：ABC.

12．已知具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数；①，②，③，④.其中满足“倒负”变换的函数是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】AC

【分析】根据函数的新定义逐项分析即可.

【详解】解：由题意得：

对于①：，满足题意；

对于②：，不满足题意；

对于③：即

故，满足题意；

对于④，，不满足题意.

故选：AC.

三、填空题

13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为________________

【答案】

【分析】先由题意求出函数的定义域为，再由求解，即可得出结果.

【详解】因为函数的定义域为，

所以；即函数的定义域为；

由，解得，

因此的定义域为.

故答案为：.

14．，则_______．

【答案】

【分析】利用换元法进行求解即可.

【详解】令，

于是有，

故答案为：

15．为偶函数，则___________.

【答案】

【分析】根据偶函数判断参数值，进而可得函数值.

【详解】由为偶函数，

得，

，

不恒为，

，

，

，

故答案为：.

16．已知定义域为的函数在上单调递增，且，若，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】先根据函数的单调性和奇偶性，得到函数在上单调递增，再利用单调性的定义求解.

【详解】解：因为定义域为的函数在上单调递增，且，

所以函数在上为奇函数，且在上单调递增，

又，所以，

又不等式等价于，

所以，解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：

四、解答题

17．集合，．

(1)当，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出集合，当时，得出集合，进而利用交集定义求解即可；

（2）由可得，分两种情况，，分别列出关于的不等式，解之即可

【详解】（1）集合，

当时，；

所以；

（2）因为，所以；

①当时，，解得，此时；

②当时，应满足，

解得，此时；

综上所述，的取值范围是，

即的取值范围是．

18．已知幂函数在上单调递增，.

(1)求实数m的值；

(2)当时，记，的值域分别为集合A，B，设命题p：，命题q：，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用幂函数定义和性质列关系式即可求解；(2)先求出,的值域，，再利用命题是命题的必要不充分条件可以推出A⫋B，由此列不等式即可求解.

【详解】（1）因为是幂函数，所以，

解得或.

又因为在上单调递增，

所以即，故.

（2）又(1)知，

因为在上单调递增，

所以当时，，，

所以在上的值域为，

函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

所以的值域为，

因为命题q是命题p的必要不充分条件，

所以A⫋B，所以或，解得，

所以实数t的取值范围是.

19．已知正数a、b满足a＋b－ab＝0．

(1)求4a＋b的最小值；

(2)求的最小值．

【答案】(1)9

(2)16

【分析】（1）基本不等式“1”的妙用求最值；

（2）利用，结合基本不等式求最值.

【详解】（1）因为，所以，

又因为、是正数，

所以，

当且仅当时等号成立，

故的最小值为；

（2）因为且、为正数，

所以，，所以，，

则，

当且仅当、时等号成立，

故的最小值为．

20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．

(1)当时，求函数的表达式；

(2)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒

【答案】(1)；

(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.

【分析】（1）根据题意，时，v(x)为常数函数；时，设，根据题意函数过(200，0)和(20，60)两点，据此求出a、b即可；

（2）分段求出函数的最大值，比较最大值的大小即可判断f(x)的最大值．

【详解】（1）当时，；

当时，设，

由已知得解得，

故函数的表达式为；

（2）依题意并由(1)可得，

当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20＝1200；

当时，，

∴当时，在区间(20，200]上取得最大值，

∵3333＞1200，

∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

21．已知是定义在上的奇函数．

（1）用定义证明在上是增函数；

（2）解不等式．

【答案】（1）详见解析；（2）.

【分析】（1）用定义法证明函数的单调性即可；

（2）由函数的奇偶性结合（1）的结论得到关于实数的不等式组，求解不等式组即可.

【详解】（1）证明：对于任意的，且 ，则：

，

，，.

，即.

函数在上是增函数.

（2）由函数的解析式及（1）知，是奇函数且在上递增，

，即：，

结合函数的定义域和单调性可得关于实数的不等式：

，求解关于实数的不等式组可得：，

则不等式的解集.

【点睛】本题考查函数单调性的判断与证明，考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，考查逻辑思维能力，属于中档题.

22．已知函数．

（Ⅰ）关于的不等式的解集为，求在区间，的最小值；

（Ⅱ）解关于的不等式．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.

【解析】（Ⅰ）根据不等式和方程的关系求出的值，从而求出的解析式，求出函数的最小值即可；

（Ⅱ）问题转化为，通过讨论的范围，求出不等式的解集即可．

【详解】解：（Ⅰ）不等式的解集为

和3是方程的根

，解得：

故

当且仅当时“”成立

故在区间，的最小值是；

（Ⅱ）即，

故，故

①即时，

②即时，不等式无解

③即时，

综上：时，不等式的解集是

时，不等式无解

时，不等式的解集是．