2022-2023学年湖南省怀化市溆浦县第一中学高一上学期期中模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省怀化市溆浦县第一中学高一上学期期中模拟数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合交集的概念求解即可.

【详解】解：根据题意得

故选：B

2．已知命题“，使得”，则命题p的否定是（    ）

A．，总有 B．，总有

C．，使得 D．，使得

【答案】B

【分析】考察特称命题的否定，先将存在量词改为全称量词，再否定结论即可

【详解】因为命题p为特称命题，所以命题p的否定为全称命题，即命题p的否定为：“，总有”，

故选：B．

3．“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根据充分、必要条件的定义，即可得出结论.

【详解】等边三角形是是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形，

“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的充分不必要条件.

故选:A

【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，属于基础题.

4．下列函数中表示同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】B

【分析】根据函数的定义域和解析式判断.

【详解】选项A：函数的定义域为R，函数的定义域为，故不是同一函数，

选项B：函数与的关系式相同，定义域相同，故是同一函数，

选项C：因为，则，函数，则，故不是同一函数，

选项D：因为，而，故不是同一函数，

故选：B．

5．若a，b，c为实数，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用不等式的基本性质判断.

【详解】对于A，因为，，必有，A正确；

对于B，因为，则，则有，B错误；

对于C，当时，有，C错误；

对于D，因为，则有，D错误；

故选：A．

6．函数中，有（    ）

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递减

【答案】D

【分析】函数是由函数向左平移得到的，函数为单调递减函数，单调减区间只要将原来的单调减区间向左平移一个单位即可

【详解】解：函数的图象向左平移1个单位可得函数的图象，

因为函数在和上单调递减，

则函数在和上单调递减．

故选：D．

7．若正数x，y满足，则的最小值为（    ）

A． B． C．25 D．27

【答案】C

【分析】利用“1”的代换凑出积的定值，然后由基本不等式求得最小值.

【详解】∵正数x，y满足，

∴，当且仅当时取等号．

故选：C．

8．定义在R上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性和单调性将不等式整理为，解不等式即可.

【详解】因为为R上的偶函数，且在上单调递减，

所以在上单调递增，

所以不等式可整理为，解得或.

故选：B.

9．已知集合中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将问题转化为方程至多只有一个根，对分和两种情况讨论，即可求解．

【详解】解：由题意，原问题转化为方程至多只有一个根，

当时，方程为，解得，此时方程只有一个实数根，符合题意；

当时，方程为一元二次方程，

所以，解得或．

综上，实数a的取值范围为．

故选：D．

10．函数对任意，都有的图形关于对称，且，则（    ）

A．1 B． C．0 D．2

【答案】B

【分析】根据可得函数的周期为，再根据的图形关于对称，则的图象关于点对称，从而根据周期性和对称性即可得解.

【详解】解：因为函数对任意，都有，

所以函数的周期为，

将的图形向左平移1个单位可得的图象，

又的图形关于对称，

所以的图象关于点对称，

故为R上的奇函数，

所以．

故选：B．

二、双空题

11．函数的定义域为___________，的表达式为___________．

【答案】          ，

【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，分母不为0，即可求得定义域，利用换元法，即可求得的表达式，即可得答案.

【详解】因为函数，则，

解得且，

故函数的定义域为；

令，则，且，

所以，，

则的表达式为，．

故答案为：；，．

12．设函数，则___________，_________．

【答案】     2    

【分析】根据分段函数的定义域求解.

【详解】因为函数，

所以，，

所以，

故答案为：2；．

13．函数的奇偶性是_________，在上的单调性是___________．

【答案】     奇函数     增函数

【分析】求出函数的定义域，再判断与的关系，即可判断奇偶性，利用比差法即可的出函数在上的单调性.

【详解】解：定义域为，

∵，

∴函数为奇函数，

任取，则，

∵，

∴，，

∴，即在上单调递增．

故答案为：奇函数；增函数．

14．已知函数，（）的图象关于原点对称，若它的定义域为，那么______，______.

【答案】         

【解析】根据题意知函数为奇函数，从而根据定义域关于原点对称及即可得解.

【详解】函数，（）的图象关于原点对称，

所以为奇函数，则，解得，

，

解得.

故答案为：；.

【点睛】本题主要考查了应用奇函数求参数，属于基础题.

三、填空题

15．已知函数是上的增函数，则的取值范围是___________．

【答案】

【分析】题目考察分段函数的单调性，需要两段函数均为增函数，且在两短函数的衔接处单调递增，三个不等式取交集求出参数的取值范围

【详解】解：要使函数在上为增函数，须有在上递增，在上递增，

且，

所以有，解得，

故a的取值范围为．

故答案为：．

16．给定下列四个命题：其中为假命题的有___________.（填上假命题的序号）

（1），记，则；

（2）如果函数为偶函数，那么一定有；

（3）函数的最大值为；

（4）命题的否定为．

【答案】（4）

【分析】（1）直接用基本不等式即可求解；（2）根据偶函数的定义可以判断；（3）换元法求函数的最值；（4）考察命题的否定，但要注意定义域

【详解】对于（1），记，当且仅当时，等号成立，故（1）正确；

对于（2），函数为偶函数，则，故（2）正确

对于（3）函数，

令，

所以，故，由于，

所以，故（3）正确；

对于（4），等价于，命题的否定应为，而不能得到，故（4）错误．

故答案为：（4）

17．若正数、满足，则的最小值为________.

【答案】

【分析】由可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】已知正数、满足，则，

所以，，

当且仅当时，等号成立.

因此，的最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查了的妙用，考查计算能力，属于基础题.

四、解答题

18．集合，或，．

（1）求及；

（2）若，求实数m的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

【分析】（1）根据补集和交集的运算即可得出答案；

（2）根据，列出不等式组，即可得出答案.

【详解】（1）∵集合，或，

∴，

∴；

（2）∵或，，

∴，解得．

∴实数m的取值范围是．

19．（1）已知，求函数的最小值；

（2）当时，求的最大值．

【答案】（1）5；（2）8.

【分析】（1）将配凑成，利用基本不等式即可求解；

（2）将化为，利用基本不等式即可求解.

【详解】（1）∵，∴，

∴函数，

当且仅当，即时取等号，

∴函数的最小值为5．

（2）当时，则，

可得，

当且仅当，即时取等号，

∴的最大值为8．

20．已知函数．

(1)判断的奇偶性，并利用定义证明；

(2)当时，用函数单调性定义证明在上单调递减．

【答案】(1)为奇函数；证明见解析

(2)证明见解析

【分析】根据函数奇偶性和单调性定义证明即可.

【详解】（1）由题可知的定义域为，关于原点对称

又因为，所以为奇函数

（2）当时，

设，令，则

因为，所以，且，所以

由函数单调性定义可知在上单调递减

21．已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞)．

（1）当a＝时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意x∈[1，＋∞)，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）(－3，＋∞).

【分析】（1），利用作差法判断[1，＋∞)上的单调性，即可求得；

（2）f（x）＞0恒成立，等价于f（x）的最小值大于零，令y＝x2＋2x＋a，求y的最小值即可.

【详解】（1）当a＝时，，

设1≤x1＜x2，则，

∵1≤x1＜x2，

∴2x1x2＞2，2x1x2-1>0，>0，

∴，

∴f（x）在区间[1，＋∞)上为增函数，

∴f（x）在区间[1，＋∞)上的最小值为f（1）＝，

（2）在区间[1，＋∞)上f（x）＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立，

设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数，

∴当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，

于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，

故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞)．

【点晴】（1）判断函数单调性的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）四则运算法；（4）复合函数法；（5）导数法；此题也可以利用对勾函数的图像解决；

（2）恒成立等价于.

22．设函数．

（1）当时，解关于x的不等式；

（2）若，使得成立，求a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）当时，不等式可化简为，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.

（2），使得成立的否定为：恒成立，列出方程组，可求得a的范围，进而可得答案.

【详解】（1）当时，，整理可得

所以，解得或，

故原不等式的解集为．

（2）命题：，使得成立的否定为：恒成立，

则，解得，

若原命题成立，则a的取值范围为．