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2022-2023学年湖南省名校联考联合体高一上学期12月月考数学试题（Word版含答案）
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这是一份2022-2023学年湖南省名校联考联合体高一上学期12月月考数学试题（Word版含答案），共11页。试卷主要包含了已知集合，则，将化成的形式是，下列函数与函数是同一个函数的是，已知，则，函数的零点一定位于区间，下列说法正确的是，下列各式正确的是等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
得分：__________
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.设：函数在区间上单调递增，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.将化成的形式是（ ）
A. B.
C. D.
4.下列函数与函数是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
6.函数的零点一定位于区间（ ）
A. B.
C. D.
7.为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（ ）
（参考数据：）
A.2030年 B.2029年 C.2028年 D.2027年
8.已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列说法正确的是（ ）
A.角为第一象限或第三象限角的充要条件是
B.终边在轴上的角的集合为
C.若是第三象限角，则是第二象限或第三象限角
D.用角度制和弧度制度量角，与所取圆的半径大小有关
10.下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.“双11”购物节中，某团购平台对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：
①若购物总额不超过50元，则不给予优惠；
②若购物总额超过50元但不超过100元，则可以使用一张15元优惠券；
③若购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予8折优惠，
④若购物总额超过300元，其中300元内的按第③条给予优惠，超过300元的部分给予7折优惠.
某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（ ）
A.若购物总额为66元，则应付款为51元
B.若应付款为208元，则购物总额为260元
C.若购物总额为360元，则应付款为252元
D.若购物时一次性全部付款为380元，则购物总额为500元
12.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知，则__________.
14.设，则__________.
15.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为__________.
16.北京时间2022年9月24日晚，在2022年世界赛艇锦标赛女子四人双浆决赛中，东京奥运冠军组合崔晓桐､吕扬､张灵､陈云霞再次联手出击，强势夺冠，继2019年世锦赛后为中国队实现该项目的成功卫冕，赛艇是一种靠浆手划浆前进的小船，分单人艇､双人艇､四人艇､八人艇四种，不同艇种虽大小不同，但形状相似.根据相关研究，比赛成绩t（单位：min）与奖手数量n（单位：个）间的关系为（为常数且）.已知在某次比赛中单人艇2000的比赛成绩为7.21，由于比赛记录员的疏忽，现有一个用时为6.67min的比赛成绩但不清楚属于哪一艇种，推断该比赛成绩所属的艇种最有可能是__________（从“单人艇”“双人艇”“四人艇”“八人艇”中选择一个即可）；若已知比赛的赛艇艇种为八人艇，推断在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为__________（结果保留两位小数，参考数据：，，）.
四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知集合.
（1）求；
（2）若且，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.（注：是自然对数的底数）
（1）求该函数的解析式并判断其奇偶性；
（2）若实数满足不等式，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知，其中为奇函数，为偶函数.
（1）求与的解析式；
（2）判断函数在其定义域上的单调性并用定义证明.
20.（本小题满分12分）
已知函数
（1）试讨论方程的实数解的个数，其中；
（2）若方程的实数解有3个，分别记为，其中，求的取值范围.
21.（本小题满分12分）
物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为T，则，其中，为环境温度，a为参数.某日室温为20，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到100，8点18分时，壶中热水自然冷却到60.
（1）求8点起壶中水温T（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数；
（2）若当日小王在1升水沸腾（100）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值50时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值50时，开始加热至80后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数）（参考数据：）
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，写出的单调区间（不需要说明理由）；
（2）当时，解不等式；
（3）若存在，使得，求实数的取值范围.
湖南省名校联考联合体2022-2023学年高一上学期12月月考
数学参考答案
一､二､选择题
1.A 【解析】集合A正确，B，C，D都错误，故选A.
2.A【解析】因为在区间上单调递增，的对称轴为，开口向上，所以，即，则是的充分不必要条件.故选A.
3.D【解析】，故选D.
4.B【解析】的定义域为，而的定义域为，故错误；
的定义域为，故错误；
，与对应关系不一致，故C错误；
，定义域为，与对应关系一致，B正确.故选B.
5.B【解析】因为，所以.故选B.
6.C【解析】.
又因为在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间.故选.
7.B【解析】设经过年之后，投入资金为万元，则，由题意可得，，即，所以，即，又因为，
即从2029年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.故选B.
8.D【解析】画出函数的大致图象如图所示，
设，则由图象知，当时，有两个根，当时，只有一个根.
函数有三个零点，等价为函数有两个零点，其中，因为函数对称轴为，则只需满足，解得.故选D.
9.AB【解析】对于，充分性：当角为第一象限角时，，则；当角为第三象限角时，，则，所以若角为第一象限或第三象限角，则.
必要性：因为，即且，或且，当且时，角为第一象限角；当且时，角为第三象限角，所以若，则角为第一或第三象限角.所以角为第一或第三象限角的充要条件是，故正确；正确；
对于，若是第三象限角，即，则，
当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角，则是第二象限或第四象限角，故C错误；
对于D，不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与所取圆的半径无关，故D不正确.故选AB.
10.AC 【解析】对于，故正确；对于，故错误；
对于，故C正确；对于，故D错误.故选AC.
11.ABD【解析】对于，若购物总额为66元，满足购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张15元优惠券，则应付款61元，故A正确；
对于B，若应付款为208元，则购物总额为元，故B正确；
对于C，若购物总额为360元，购物总额超过300元，则应付款为元，故C错误；
对于D，若购物时一次性全部付款380元，说明购物总额超过300元，
设购物总额为元，则，解得元，故正确.故选ABD.
12.ABD【解析】因为，所以，
在同一坐标系中画出的图象，则分别为
函数与图象交点的横坐标，
因为互为反函数，图象关于直线对称，
由图知，所以，A正确；
由可得，所以，B正确；，C错误；
因为，所以正确.故选ABD.
三､填空题
13.【解析】由平方关系和商数关系可得.
14.【解析】方法一：因为，所以，所以，所以.
方法二：，所以，则.
15.【解析】，则，即，当时，；
当时，；
当时，；当时，.
综上，函数的值域为.
16.双人艇；（第一空2分，第二空3分）
【解析】由已知得，当时，，代入解得，
当时，，
故该比赛成绩所属的艇种最有可能是双人艇；当时，，
故在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为.
四､解答题
17.【解析】（1）由题有解得，
所以，
又，
所以.
（2）因为，即，
所以，
所以解得.
18.【解析】（1）由题意，得
.因为的定义域为，关于原点对称.
且，故函数为偶函数.
（2）当时，，设，则
，所以，
故函数在上单调递增.
又由于函数是偶函数，则函数在上单调递减.
（对于时的单调性直接证明亦可酌情给分）
则原不等式可化为，
因为函数为偶函数，，则有.
又函数在上单调递增，则有.
（将和代入函数解析式，利用不等式性质和指数函数的单调性得到亦可酌情给分）两边平方，得，即，解得.
（对于绝对值不等式采用分类讨论的解法亦可酌情给分）
19.【解析】（1）由于函数为奇函数，为偶函数，
可得，
因为，
所以，
即，
解得.
（2）的定义域为，
，
且，
则.
所以，即，
所以函数在区间上单调递增.
20.【解析】（1）令，则..
画出的图象与直线，如图.
由图象可知，
当，即时，
有1个解；
当或，即时，
有2个解；
当，即时，有3个解.
（2）由（1）知，当时，有3个解，
根据图象以及3个解的大小关系，有，
其中，
对于，已知，解得，
故.
21.【解析】（1）当时，，
代入，则，
由题意，代入，得，
由题意
（2）若从降温至，
由题意有，代入，
计算得分钟，
故经过14分钟养生业（在保温状态下）开始第一次加热；
从加热至需要3分钟，
从降温至，代入计算得需10分钟，
则分钟，
故27分钟后养生壸（在保温状态下）第二次开始加热.
22.【解析】（1）当时，
故在上单调递增，在上单调递减，在单调递增.
（2）当时，，记
则，故为奇函数，且在上单调递增，
不等式化为，
即，
进一步化为，即，
从而由在上单调递增，得，即，解得.
故不等式的解集为.
（3）设，则问题转化为存在，使得，
又注意到时，，且，
知问题等价于存在，即在上有解.
即在上有解，于是或在上有解，
进而或在上有解，
由函数在上单调递减，在上单调递增，
一在上单调递增，
可知，
故的取值范围是或. 题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
D
B
B
C
B
D
AB
AC
ABD
ABD
时量：120分钟 满分：150分
得分：__________
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.设：函数在区间上单调递增，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.将化成的形式是（ ）
A. B.
C. D.
4.下列函数与函数是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
6.函数的零点一定位于区间（ ）
A. B.
C. D.
7.为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（ ）
（参考数据：）
A.2030年 B.2029年 C.2028年 D.2027年
8.已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列说法正确的是（ ）
A.角为第一象限或第三象限角的充要条件是
B.终边在轴上的角的集合为
C.若是第三象限角，则是第二象限或第三象限角
D.用角度制和弧度制度量角，与所取圆的半径大小有关
10.下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.“双11”购物节中，某团购平台对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：
①若购物总额不超过50元，则不给予优惠；
②若购物总额超过50元但不超过100元，则可以使用一张15元优惠券；
③若购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予8折优惠，
④若购物总额超过300元，其中300元内的按第③条给予优惠，超过300元的部分给予7折优惠.
某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（ ）
A.若购物总额为66元，则应付款为51元
B.若应付款为208元，则购物总额为260元
C.若购物总额为360元，则应付款为252元
D.若购物时一次性全部付款为380元，则购物总额为500元
12.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知，则__________.
14.设，则__________.
15.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为__________.
16.北京时间2022年9月24日晚，在2022年世界赛艇锦标赛女子四人双浆决赛中，东京奥运冠军组合崔晓桐､吕扬､张灵､陈云霞再次联手出击，强势夺冠，继2019年世锦赛后为中国队实现该项目的成功卫冕，赛艇是一种靠浆手划浆前进的小船，分单人艇､双人艇､四人艇､八人艇四种，不同艇种虽大小不同，但形状相似.根据相关研究，比赛成绩t（单位：min）与奖手数量n（单位：个）间的关系为（为常数且）.已知在某次比赛中单人艇2000的比赛成绩为7.21，由于比赛记录员的疏忽，现有一个用时为6.67min的比赛成绩但不清楚属于哪一艇种，推断该比赛成绩所属的艇种最有可能是__________（从“单人艇”“双人艇”“四人艇”“八人艇”中选择一个即可）；若已知比赛的赛艇艇种为八人艇，推断在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为__________（结果保留两位小数，参考数据：，，）.
四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知集合.
（1）求；
（2）若且，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.（注：是自然对数的底数）
（1）求该函数的解析式并判断其奇偶性；
（2）若实数满足不等式，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知，其中为奇函数，为偶函数.
（1）求与的解析式；
（2）判断函数在其定义域上的单调性并用定义证明.
20.（本小题满分12分）
已知函数
（1）试讨论方程的实数解的个数，其中；
（2）若方程的实数解有3个，分别记为，其中，求的取值范围.
21.（本小题满分12分）
物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为T，则，其中，为环境温度，a为参数.某日室温为20，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到100，8点18分时，壶中热水自然冷却到60.
（1）求8点起壶中水温T（单位：）关于时间t（单位：分钟）的函数；
（2）若当日小王在1升水沸腾（100）时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值50时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值50时，开始加热至80后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶（在保温状态下）多长时间后第二次开始加热？（结果保留整数）（参考数据：）
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，写出的单调区间（不需要说明理由）；
（2）当时，解不等式；
（3）若存在，使得，求实数的取值范围.
湖南省名校联考联合体2022-2023学年高一上学期12月月考
数学参考答案
一､二､选择题
1.A 【解析】集合A正确，B，C，D都错误，故选A.
2.A【解析】因为在区间上单调递增，的对称轴为，开口向上，所以，即，则是的充分不必要条件.故选A.
3.D【解析】，故选D.
4.B【解析】的定义域为，而的定义域为，故错误；
的定义域为，故错误；
，与对应关系不一致，故C错误；
，定义域为，与对应关系一致，B正确.故选B.
5.B【解析】因为，所以.故选B.
6.C【解析】.
又因为在区间上为增函数，所以其零点一定位于区间.故选.
7.B【解析】设经过年之后，投入资金为万元，则，由题意可得，，即，所以，即，又因为，
即从2029年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.故选B.
8.D【解析】画出函数的大致图象如图所示，
设，则由图象知，当时，有两个根，当时，只有一个根.
函数有三个零点，等价为函数有两个零点，其中，因为函数对称轴为，则只需满足，解得.故选D.
9.AB【解析】对于，充分性：当角为第一象限角时，，则；当角为第三象限角时，，则，所以若角为第一象限或第三象限角，则.
必要性：因为，即且，或且，当且时，角为第一象限角；当且时，角为第三象限角，所以若，则角为第一或第三象限角.所以角为第一或第三象限角的充要条件是，故正确；正确；
对于，若是第三象限角，即，则，
当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角，则是第二象限或第四象限角，故C错误；
对于D，不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与所取圆的半径无关，故D不正确.故选AB.
10.AC 【解析】对于，故正确；对于，故错误；
对于，故C正确；对于，故D错误.故选AC.
11.ABD【解析】对于，若购物总额为66元，满足购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张15元优惠券，则应付款61元，故A正确；
对于B，若应付款为208元，则购物总额为元，故B正确；
对于C，若购物总额为360元，购物总额超过300元，则应付款为元，故C错误；
对于D，若购物时一次性全部付款380元，说明购物总额超过300元，
设购物总额为元，则，解得元，故正确.故选ABD.
12.ABD【解析】因为，所以，
在同一坐标系中画出的图象，则分别为
函数与图象交点的横坐标，
因为互为反函数，图象关于直线对称，
由图知，所以，A正确；
由可得，所以，B正确；，C错误；
因为，所以正确.故选ABD.
三､填空题
13.【解析】由平方关系和商数关系可得.
14.【解析】方法一：因为，所以，所以，所以.
方法二：，所以，则.
15.【解析】，则，即，当时，；
当时，；
当时，；当时，.
综上，函数的值域为.
16.双人艇；（第一空2分，第二空3分）
【解析】由已知得，当时，，代入解得，
当时，，
故该比赛成绩所属的艇种最有可能是双人艇；当时，，
故在相同比赛条件下该赛艇比赛成绩的理论估计值为.
四､解答题
17.【解析】（1）由题有解得，
所以，
又，
所以.
（2）因为，即，
所以，
所以解得.
18.【解析】（1）由题意，得
.因为的定义域为，关于原点对称.
且，故函数为偶函数.
（2）当时，，设，则
，所以，
故函数在上单调递增.
又由于函数是偶函数，则函数在上单调递减.
（对于时的单调性直接证明亦可酌情给分）
则原不等式可化为，
因为函数为偶函数，，则有.
又函数在上单调递增，则有.
（将和代入函数解析式，利用不等式性质和指数函数的单调性得到亦可酌情给分）两边平方，得，即，解得.
（对于绝对值不等式采用分类讨论的解法亦可酌情给分）
19.【解析】（1）由于函数为奇函数，为偶函数，
可得，
因为，
所以，
即，
解得.
（2）的定义域为，
，
且，
则.
所以，即，
所以函数在区间上单调递增.
20.【解析】（1）令，则..
画出的图象与直线，如图.
由图象可知，
当，即时，
有1个解；
当或，即时，
有2个解；
当，即时，有3个解.
（2）由（1）知，当时，有3个解，
根据图象以及3个解的大小关系，有，
其中，
对于，已知，解得，
故.
21.【解析】（1）当时，，
代入，则，
由题意，代入，得，
由题意
（2）若从降温至，
由题意有，代入，
计算得分钟，
故经过14分钟养生业（在保温状态下）开始第一次加热；
从加热至需要3分钟，
从降温至，代入计算得需10分钟，
则分钟，
故27分钟后养生壸（在保温状态下）第二次开始加热.
22.【解析】（1）当时，
故在上单调递增，在上单调递减，在单调递增.
（2）当时，，记
则，故为奇函数，且在上单调递增，
不等式化为，
即，
进一步化为，即，
从而由在上单调递增，得，即，解得.
故不等式的解集为.
（3）设，则问题转化为存在，使得，
又注意到时，，且，
知问题等价于存在，即在上有解.
即在上有解，于是或在上有解，
进而或在上有解，
由函数在上单调递减，在上单调递增，
一在上单调递增，
可知，
故的取值范围是或. 题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
D
B
B
C
B
D
AB
AC
ABD
ABD
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