2022-2023学年江苏省常州市田家炳高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省常州市田家炳高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．命题“”的否定是

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.

【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A选项正确.

故选A.

【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.

2．设集合U={1,2,3,4,5}，A={2,4}，B={1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A．{4} B．{2,4} C．{4,5} D．{1,3,4}

【答案】A

【解析】由图可知阴影部分所表示的集合为，计算出结果即可.

【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，

，

.

故答案为：A.

【点睛】本题考查根据Venn图得出集合关系，考查集合的运算，属于基础题.

3．与表示同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】可化简每个选项的两函数，看定义域和解析式是否都一样，都一样的为同一函数，否则不是．

【详解】解：对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

对于C，的定义域为，的定义域为，定义域和解析式都相同，是同一函数．

对于D，的定义域为，的定义域为，定义域不同，但，解析式不相同，不是同一函数．

故选：C.

4．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可.

【详解】若，，则，故充分性不成立；

若，则且，故必要性成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

5．已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（    ）

A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]

【答案】D

【分析】直接由两段函数分别为减函数以及端点值的大小关系解不等式组即可.

【详解】由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得解得.

故选：D.

6．心理学家有时用函数来测定人们在时间内能够记忆的单词量，其中表示记忆率.心理学家测定某学生在内能够记忆50个单词，则该学生在从能记忆的单词个数为（    ）

A．150 B．128 C．122 D．61

【答案】C

【分析】根据已知可求出，再代入即可求出.

【详解】由题可得，则，

所以，

即该学生在从能记忆的单词个数为122.

故选：C.

7．已知定义在上的函数，满足，的图象关于直线对称，且对任意的，都有成立，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数单调性和奇偶性，结合题意，求解即可.

【详解】函的图象关于直线对称，故关于对称，即为偶函数；

又对任意的，都有成立，即在单调递增；

故在单调递减，又，故，即，，

解得，即不等式的解集为.

故选：B.

8．已知，那么的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用基本不等式可求得，可所求式子，再次利用基本不等式可求得结果.

【详解】，，，

（当且仅当且，即，时取等号），

的最小值为.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求解最值的问题，解题关键是能够利用基本不等式将所求式子转化为关于的式子，需要注意的是要确定取等条件能够成立，从而确定最值能否取得.

二、多选题

9．设，则下列不等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据不等式的性质以及作差法比较大小即可判断.

【详解】解：对于A，当时，不满足，故A不正确；

对于B，，则，所以，故B正确；

对于C，，因为，所以，则，即，故C正确；

对于D，，即，故D正确.

故选：BCD.

10．在下列命题中不正确的是（    ）

A．当时，则

B．当时，则

C．当时，函数的最小值是3

D．若，则，当且仅当时，等号成立

【答案】BC

【分析】利用基本不等式或反例逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A，由基本不等式有，但，故等号不可取，故，

故A正确.

对于B，取，则，此时不成立，故B不正确.

对于C，，

因为，故，故等号不可取，故的最小值不是3，故C错误.

对于D，，故，

当且仅当时等号成立，故D正确.

故选：BC.

11．符号表示不超过的最大整数，如，定义函数：.则下列命题不正确的是（    ）

A．

B．当时，

C．函数是增函数，奇函数

D．函数的定义域为，值域为

【答案】ABD

【分析】根据函数定义和解析式依次判断即可得出.

【详解】对A，，故A正确；

对B，当时，，故B正确；

对C，当时，，当时，，

则，，所以不是增函数，故C错误；

对D，的定义域为，当时，其中，则，可得，所以的值域为，故D正确.

故选：ABD.

12．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，其中为有理数集，则称为狄利克雷函数.对于狄利克雷函数，下面4个命题中真命题是（    ）

A．对任意，都有

B．对任意，都有

C．对任意，都存在，

D．若，，则有

【答案】ACD

【分析】根据函数解析式依次判断每个选项即可得出.

【详解】对A，当时，，则，当时，，则，所以对任意，都有，故A正确；

对B，若，则，，故B错误；

对C，显然当时，对任意，，故C正确；

对D，由的解析式可得的值域为，故当时，，当时，，所以，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．函数的定义域为_________ .

【答案】

【分析】此题考查函数的定义域，根据分母不为和被开方数大于等于即可得到结果.

【详解】要使函数有意义，则，即且，

的定义域为.

故答案为：[-2,0)

14．已知是定义在上的偶函数，则__________.

【答案】0

【分析】根据偶函数的定义域对称，，即可列方程求解的值，即可求的值.

【详解】解：已知是定义在上的偶函数，所以

且，所以，则，结合，解得，所以.

故答案为：0.

15．已知函数，对，使得成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】先求出两个函数在给定区间的值域，根据题意可得值域具有包含关系，列出不等式即可求出.

【详解】当时，，

当时，，则，

因为对，使得成立，

所以，

所以，解得，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数，若，则的值域是______；若的值域为，则实数的取值范围是_________.

【答案】     ；     ；

【分析】若，分别求出在及上的最值，取并集得答案；结合图像，只需即可得到的范围．

【详解】解：当时，．

当，时，

在，上单调递减，在，上单调递增，

可得的最大值为，最小值为；

当，时，为增函数，．

综上所述，的值域是；

根据题意得：，

如图，当，解得：或，令，解得：

故，故实数的取值范围是

故答案为：；．

五、解答题

17．求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）根据指数幂运算法则计算即可；

（2）根据对数运算法则，对数换底公式计算即可.

【详解】（1）解：

（2）解：

18．已知集合.

(1)当时，求；

(2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据交并补的定义直接运算即可；

（2）由题可得是的真子集，列出不等式即可求出.

【详解】（1）因为，所以或，

所以有，.

（2）若是的必要不充分条件，则有是的真子集，

则有，解得.

19．已知正实数满足：.

(1)求的最小值；

(2)求的最小值.

【答案】(1)25

(2)11

【分析】（1）利用均值不等式可得，令，转化为二次不等式求解即可；

（2）转化原式为，则，结合均值不等式，即得解.

【详解】（1）正实数

令，则，原不等式可化简为：

解得（舍）或，即

当且仅当即取得“”

的最小值为25

（2）由得，即

由正实数，得

当且仅当取得“”

的最小值为11.

20．已知函数.

(1)求证：是奇函数

(2)若.求证：在上是增函数

(3)当时，对于恒成立.求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）利用奇偶性的定义即可证明；

（2）利用单调性的定义即可证明；

（3）根据函数的单调性求出的最小值即可求出.

【详解】（1）定义域为，关于原点对称，

，是奇函数；

（2）任取且，

，，

，，

在上单调递增.

（3）由题意，.

当时，由（2）可知在上递增，

在[2，3]上的最小值为，

，解得，

21．设二次函数满足两个条件：①当时，函数的最小值为；②函数图像与直线交于两点，且线段的长度等于

（1）求的解析式.

（2）设函数的最小值为，求的解析式，并求的解集.

【答案】（1）；（2）；或.

【解析】（1）由题意可知，解方程组求出的值即可；

（2）由（1）得，然后分，和求得，再分，和解不等式即可

【详解】（1）由题意知

又函数图象与直线交于两点时

则 有

∴    

（2）

①当，即时，函数在上单调递减，则最小值

②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，则最小值

③当即时，函数在上单调递增，则最小值，

的解析式为

当时，，得，

当时，， 得或  不符题意

当时，得，

综上所述：不等式的解集为或.

【点睛】此题考查利用待定系数法求二次函数的关系式，考查动轴定区间上求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档题

22．已知定义在的函数下列条件：①对任意的实数，恒成立：②当时，：③

(1)求的值：

(2)判断的单调性并给出证明：

(3)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)在上单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）先令，可求得，再令即可求出；

（2）令，可得，任取，判断出即可证明；

（3）根据定义可得，再利用单调性即可解出.

【详解】（1）令，则，解得，

令，则，解得；

（2）在上单调递增，证明如下：

令，

任意，

，

即在上单调递增；

（3）由，得，

即，

由（2）得，解得或，

又，，

综上所述：.